苏科版数学八年级上册单元测试第3章 勾股定理（B卷）（2份，原卷版+解析版）

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班级 姓名 学号 分数 第3章 勾股定理（B卷·能力提升练）（时间：120分钟，满分：120分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）1．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　）A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2+b2＝c2 D．a2﹣b2＝c2【答案】C【解析】解：根据题意得：S＝（a+b）（a+b），S＝ab+ab+c2，∴（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得：a2+b2＝c2．故本题选：C．2．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝32°，∠B＝58° C．a＝1，b＝1，c＝2 D．a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5【答案】C【解析】解：A．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，不合题意；B．∵∠A＝32°，∠B＝58°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，不合题意；C．∵a＝1，b＝1，c＝2，12+12≠22，∴△ABC不是直角三角形，符合题意；D．∵a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5，0.32+0.42＝0.52，∴△ABC是直角三角形，不合题意．故本题选：C．3．已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，AD⊥BC于D，且AD＝12，则BC的长为（　　）A．14 B．4 C．14或4 D．14或9【答案】C【解析】解：①如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，即BD＝5，在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，即CD＝9，∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14，②如图，钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，即BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，即CD＝9，∴BC＝DC﹣BD＝9﹣5＝4．故本题选：C．4．如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（　　）A．9 B．5 C．53 D．45【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，∴S1＝S2+S3．∵S2＝7，S3＝2，∴S1＝7+2＝9．故本题选：A．5．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝3，BC＝4时，计算阴影部分的面积为（　　）A．6 B．6π C．10π D．12【答案】A【解析】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝32+42＝25，即AB＝5，∴阴影部分的面积S＝×π×（）2+×π×（）2+×3×4﹣×π×（）2＝6．故本题选：A．6．如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进木箱中的直木棒最长为（　　）A．12m B．13m C．15m D．24m【答案】B【解析】解：如图，∵侧面对角线BC2＝32+42＝52（m2），∴CB＝5m，∵AC＝12m，∴AB＝122+52＝169（m2），即AB＝13（m），∴空木箱能放的最大长度为13m．故本题选：B．7．学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉开6米后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为（　　）A．8米 B．10米 C．12米 D．14米【答案】A【解析】解：画出示意图如下所示：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴x2+62＝（x+2）2，解得：x＝8，∴AB＝8m，即旗杆的高是8m．故本题选：A．8．如图，△ABC中，CA＝CB＝15，AB＝18，且S(1)＝S(2)＝S(3)则，OA2+OB2+OC2的值为（　　）A．192 B．291 C．225 D．258【答案】D【解析】解：如图，延长CO交AB于点M，过点O作OE⊥AC于E，过点O作OF⊥BC于F，∵S(1)＝S(2)，AC＝BC，∴OE＝OF，在Rt△COE和Rt△COF中，∴Rt△COE≌Rt△COF（HL），∴∠OCE＝∠OCF，又∵AC＝BC，∴AM＝BM＝9，MC⊥AB，∴S△AOM＝S(3)＝S(1)，∴OM＝OC，在Rt△ACM中，AC＝15，AM＝9，∴CM2＝AC2﹣AM2＝144，即CM＝12，∴OC＝8，OM＝4，∴OC2＝64，∴OA2＝OM2+AM2＝97，OB2＝OM2+BM2＝97，∴OA2+OB2+OC2的值为258．故本题选：D．9．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则a4+b4的值为（　　）A．68 B．89 C．119 D．130【答案】B【解析】解：∵大正形面积11，∴c2＝a2+b2＝11①，∵小正形面积为3，∴（a﹣b）2＝3，∴a2+b2﹣2ab＝3②，①﹣②得：2ab＝8，∴ab＝4，∴a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝112﹣2×42＝89．故本题选：B．10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（　　）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∵∠ABD＝∠BCE，∴∠CBD+∠BCE＝90°，∴∠CEB＝90°，∵CT＝TB＝3，∴ET＝BC＝3，AT2＝AB2+TB2＝42+32＝25，即AT＝5，∵AE≥AT﹣ET，∴AE≥2，∴AE的最小值为2．故本题选：C．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）11．一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是　　．【答案】120【解析】解：∵三角形的三边长之比是5：12：13，∴三角形的三边长分别为：60×＝10，60×＝24，60×＝26，∵102+242＝262，∴三角形为直角三角形，∴三角形的面积＝×10×24＝120．故本题答案为：120．12．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支14cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为　　．【答案】1cm【解析】解：解：∵CD＝5cm，AD＝12cm，∴AC2＝52+122＝13（cm），露出杯口外的长度为＝14﹣13＝1（cm）.故本题答案为：1cm.13．如图，已知∠B＝45°，AB＝2cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，则当BP2＝　　cm时，△BAP为直角三角形．【答案】2或8【解析】解：①当∠APB＝90°时，∵∠B＝45°，AB＝2cm，∴BP1＝AP1，∴BP12+AP12＝AB2＝4，∴BP12＝2；②当∠BAP＝90°时，∵∠B＝45°，AB＝2cm，∴AB＝AP2＝2，∴BP22＝AB2+AP22＝8．故本题答案为：2或8．14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝3，D为BC边上的点，BD•DC＝16，则AC＝　　．【答案】5【解析】解：如图，作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，∴BE＝CE，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，AD2＝AE2+DE2，两式相减得：AB2﹣AD2＝（AE2+BE2）﹣（AE2+DE2）＝BE2﹣DE2＝（BE+DE）•（BE﹣DE）＝BD•DC，∴AB2＝AD2+BD•DC＝9+16，即AB＝5，∴AC＝AB＝5．故本题答案为：5．15．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝　　．【答案】2.5【解析】解：∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形，∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，∵a2+b2＝c2，∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF，∴S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n，∴S4＝3.5+5.5﹣6.5＝2.5．故本题答案为：2.5．16．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，对角线AC与BD相交于点E，点F，G分别是AC，BD的中点，当∠CBD＝15°，EG＝EC，FG2＝3时，则线段AC的长为　　．【答案】6【解析】解：如图，连接AG，CG，∵△ABD与△BCD均是BD为斜边的直角三角形，∴AG＝BD，CG＝BD，即AG＝CG，∴△ACG为等腰三角形，∵∠CBD＝15°，CG＝BG，∴∠CGE＝2∠CBD＝30°，∵EC＝EG，∴∠ECG＝∠CGE＝30°，又∵F为AC的中点，∴GF为△ACG的中线，AF＝CF，∴由“三线合一”知，GF⊥AC，∠GFC＝90°，∴CG＝2FG，∵FG2＝3，∴CG2＝4FG2＝12，由勾股定理得：CF2＝CG2﹣FG2＝9，即CF＝3，∴AC＝2FC＝6．故本题答案为：6．17．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD2的长是　　．【答案】【解析】解：在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，∴BC＝3，如图，过D作DE⊥AB于E，∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，∴CD＝ED，在Rt△BCD与Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BE＝BC＝3，∴AE＝AB﹣BE＝2，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，即DE2+22＝（4﹣DE）2，解得：DE＝，∴BD2＝DE2+BE2＝，故本题答案为：．18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC边上的中点，E为AB边上一点，AB＝4BE，连接CE、DE，延长DE交CB延长线于F，若BF＝3，AB＝10，则CE2＝　　．【答案】【解析】解：取AB的中点G，连接DG，则AB＝2BG，∵AB＝4BE，∴BE＝EG，∵D为AC边上的中点，G为AB的中点，∴DG为△ABC的中位线，∴BC＝2DG，DG∥BF，∴∠GDE＝∠F，在△GDE和△BFE中，，∴△GDE≌△BFE（AAS），∴DG＝BF＝3，DE＝EF，∴BC＝6，∴CF＝9，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝8，∴CD＝4，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2＝97，∵∠ACB＝90°，EF＝DE，∴CE＝DF，∴CE2＝DF2＝，故本题答案为：．三、解答题（本题共8小题，共66分。）19．（6分）已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．（1）求证：△ABC是直角三角形．（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．【答案】（1）证明过程详见解析；（2）3，4，5；8，6，10（答案不唯一）【解析】（1）证明：∵△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1，又当m＞1时，m2﹣1＜m2+1，2m＜m2+1，∴（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+1﹣2m2+4m2＝（m2+1）2，即a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；（2）解：当m＝2时，直角三角形的边长为3，4，5；当m＝3时，直角三角形的边长为8，6，10（答案不唯一）．20．（6分）已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点．若∠EDF＝90°，且BE2+FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°．【答案】证明过程详见解析【解析】证明：如图，延长FD到G使DG＝DF，连接BG，EG，∵D为BC中点，∴BD＝CD，∵在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝FC，∠GBD＝∠C，∴BG∥AC，DG＝DF，∵ED⊥DF，∴EG＝EF，∵BE2+FC2＝EF2，∴BE2+BG2＝EG2，∴∠ABG＝90°，∵BG∥AC，∴∠A+∠ABG＝180°，∴∠BAC＝90°．21．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．【答案】（1）BC＝4cm；（2）t的值为4s或s【解析】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝4cm；（2）由题意得：BP＝tcm，分两种情况：①当∠APB＝90°时，如图1，点P与点C重合，∴BP＝BC＝4cm，∴t＝4；②当∠BAP＝90°时，如图2所示，则CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°，在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2，∴AC2+CP2＝BP2﹣AB2，即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，解得：t＝；综上，当△ABP为直角三角形时，t的值为4s或s．22．（8分）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向320千米的B处，以24千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？【答案】（1）A市会受到台风影响，理由详见解析；（2）10小时【解析】解：（1）A市会受到台风影响，理由如下：如图，过A作AC⊥BF于C，∵AC＝AB＝160km＜200km，∴A市会受到台风影响；（2）过A作AD＝AE＝200km，交BF于点D，E，∴DC2＝AD2﹣AC2＝120km，∵DC＝CE，A市气象站测得台风中心在A市正东方向320km的B处，以24千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，∴该市受台风影响的时间为：＝10（小时）．23．（8分）如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．（1）若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．（2）在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最　　值（填“大”或“小”）为　　（两个空直接写出答案不需要解答过程）．【答案】（1）下移的距离为7m；（2）大，m2【解析】解：（1）设AA1＝BB1＝xm，则A1C＝（12﹣x）m，CB1＝（5+x）m，由勾股定理得：A1C2+CB12＝A1B12，即（12﹣x）2+（5+x）2＝132，解得：x＝7，即AA1＝7m．答：下移的距离为7m；（2）如图，以A1B1为底，过C作A1B1的垂线CD，D为垂足，设Rt△A1CB1斜边上的中线为CP，则CP＝m，在竹竿下滑过程中，当CD为△A1CB1的中线时，△A1CB1的面积最大，最大值＝×13×＝（m2）．24．（10分）操作与探究（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形．（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理．（3）应用：测量旗杆的高度校园内有一旗杆，小希想知道旗杆的高度，经观察发现从顶端垂下一根拉绳，于是他测出了下列数据：①测得拉绳垂到地面后，多出的长度为0.5米；②他在距离旗杆4米的地方拉直绳子，拉绳的下端恰好距离地面0.5米．请你根据所测得的数据设计可行性方案，解决这一问题．（画出示意图并计算出这根旗杆的高度）【答案】（1）作图详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）旗杆的高度为8米【解析】解：（1）如图所示即为拼接成的大正方形；（2）S大正方形＝4×ab+（b﹣a）2＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，且S大正方形＝c2，∴a2+b2＝c2；（3）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB长0.5米，BC＝4米，CD＝0.5米，求旗杆的高度即求AB的长．过点D作DE⊥AB，垂足为E，∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝∠DEB＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴ED＝BC＝4米，BE＝DC＝0.5米，设AB＝x米，则AD＝（x+0.5）米，AE＝（x﹣0.5）米，在Rt△AED中，根据勾股定理得：AD2＝AE2+ED2∴（x+0.5）2＝（x﹣0.5）2+42，解得：x＝8，答：旗杆的高度为8米．25．（10分）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是(9﹣1)，(9+1)；勾是五时，股和弦的算式分别是(25﹣1)，(25+1)．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．【答案】（1）(72﹣1)，(72+1)；（2）（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）勾2+股2＝弦2，证明过程详见解析；（3）m，()2﹣1，()2+1【解析】解：（1）(72﹣1)，(72+1)；（2）当n≥3，且n为奇数时，勾、股、弦分别为：n，(n2﹣1)，(n2+1)，它们之间的关系为：（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）勾2+股2＝弦2．如证明（ⅰ）：弦﹣股＝(n2+1)﹣(n2﹣1)＝n2+﹣n2+＝1；如证明（ⅱ）：勾2+股2＝n2+(n2﹣1)2＝n2+n4﹣n2+＝n4+n2+＝(n2+1)2＝弦2；（3）当m＞4，且m为偶数时，勾、股、弦分别为：m，()2﹣1，()2+1．26．（10分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ2的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．【答案】（1）PQ2＝52cm2；（2）秒；（3）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形【解析】解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，∴PQ2＝BQ2+BP2＝52cm2；（2）根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t＝，即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；（3）分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴AQ＝BQ＝CQ，∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，∴AC＝10cm，∴CQ＝AQ＝AC＝5cm，∴BC+CQ＝11cm，∴t＝11÷2＝5.5秒；②当CQ＝BC时，如图2，则BC+CQ＝12cm，∴t＝12÷2＝6秒；③当BC＝BQ时，如图3，过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝4.8cm，∴CE2＝BC2−BE2，即CE＝3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．综上，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．