安徽省2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．若复数z满足，则z的共轭复数( )
A.B.C.D.
3．“，”的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
4．已知，，三点，点P在圆上运动，则的最大值与最小值之和为( )
A.96B.98C.100D.102
5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则( )
A.B.C.D.
6．已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A.B.C.D.
7．已知函数，函数满足，，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为( )
A.B.C.D.
8．记数列的前n项和为，若，且，则的最小值为( )
A.0B.1C.2D.3
二、多项选择题
9．已知平面向量，，则( )
A.B.
C.与的夹角是D.在上的投影向量是
10．如图，在棱长为1的正四面体中，点O是顶点A在底面内的射影，M为的中点，则( )
A.B.
C.点D到平面的距离为D.三棱锥的外接球体积为
11．已知函数，则下列说法错误的是( )
A.的图象关于直线对称
B.存在a，b，使得为奇函数
C.当时，，使得
D.当时，的最小值为
三、填空题
12．数据7.4，7.5，7.5，7.8，8.0，8.0，8.2，8.4，8.4，8.5的第70百分位数是________.
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，，则C的离心率________.
14．对任意实数a，b，c，d，均有，当且仅当时等号成立，这个不等式称为柯西不等式.若关于x的方程有实根，则的最小值为________.
四、解答题
15．从甲、乙两名同学中选派一人代表班级参加学校活动，制定如下规则：将大小、材质相同的1个红球和2个黑球放入抽签箱中，由班长随机摸出2个球，若颜色相同，则甲得1分，若颜色不同，则乙得1分，每次摸球记录结果后将小球放回，重新摸取，首先得3分的一人将被选派.
（1）求每次摸球甲得分的概率.
（2）现有两个方案：①增加1个红球；②增加1个黑球.为了使选派结果更加公平，应选哪个方案？
16．如图，在四棱锥中，O，M，N分别为棱，，的中点，平面，，四边形是边长为4的正方形.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知椭圆的一个焦点F与抛物线的焦点重合，左、右顶点分别为A，B，且E上存在点P，使得直线与的斜率之积为.
（1）求E的方程.
（2）过点F作直线交E于G，H两点（与A，B均不重合），过原点O作直线的平行线交E于M，N两点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．已知函数.
（1）记的图象在点处的切线方程为，证明：当时，；
（2）若当时，，求实数a的最大整数值.
19．16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式.
积化和差：，，
，
.
和差化积：，，
，
.
运用上面的公式解决下列问题：
（1）证明：；
（2）若，证明：；
（3）若函数，判断的零点个数，并说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由题可知，或，故.
2．答案：A
解析：由题可知，故.
3．答案：D
解析：，，则，
由函数的单调性可知，当时，，所以，，
""的一个充分不必要条件为"".
4．答案：D
解析：设，则，
由于，所以，
因为，所以的最大值与最小值之和为.
5．答案：B
解析：由，得，
由正弦定理和余弦定理得，
结合，，可得，所以，
所以.
6．答案：C
解析：，，，
根据函数，，图象的变化特征可知，所以.
7．答案：A
解析：因为，所以为奇函数，
由题可知的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，
又恰有2025个零点，所以有2024个零点关于点对称，另一个零点为，所有零点之和为.
8．答案：C
解析：由，得，
所以，所以，
因为，所以，所以当时，，
如当，，，，，时，可以取到最小值.
9．答案：ACD
解析：对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，由于，所以，不共线，故B错误；
对于C，设与的夹角为，则，所以，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，故D正确.
10．答案：AC
解析：对于A，由于正四面体的棱长为1，所以，
可以解得，，所以，
于是，所以，
所以，故A正确；
对于B，与A同理可得，，假设，则平面，这显然是不成立的，故假设不成立，故B错误；
对于C，因为，，两两垂直，所以平面，则点D到平面的距离为，故C正确；
对于D，三棱锥的四个顶点可视为棱长为的正方体的四个顶点，其外接球半径为，体积为，故D错误.
11．答案：BCD
解析：对于A，
，故A正确；
对于B，，所以不可能为奇函数，故B错误；
对于C，当时，，
当时，，，
因为，所以，
所以，
所以，，故C错误；
对于D，当时，，，
由于，，所以，故D错误.
12．答案：8.3
解析：因为，所以第70百分位数为.
13．答案：
解析：由于，，所以，
由离心率、双曲线的定义及正弦定理得，
14．答案：
解析：记，根据题意可知存在，使得，
所以，当且仅当时等号成立，
故，
设，则，记，则在上单调递增，
当时，，此时，可得，，
故的最小值为.
15．答案：（1）；
（2）应选方案②
解析：记事件"每次摸球甲得分"，红球记为，，黑球记为，，.
（1）每次摸球的样本空间，，
所以.
（2）在方案①中：
每次摸球的样本空间，
，所以.
在方案②中：
每次摸球的样本空间，
，所以，
为了使选派结果更加公平，应选方案②.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）方法一：O，M，N分别为棱，，的中点，
，.
平面，平面，平面.
，，
又平面，平面，平面.
，
平面平面.
又平面，平面.
方法二：取的中点F，连接，.
M为的中点，，，
又，，，，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面.
（2）取的中点E，连接，则，
平面，平面，，.
以O为原点，直线，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
同理得平面的一个法向量为.
记平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
17．答案：（1）；
（2）存在，使得恒成立
解析：（1）设，由题知，，
则，
又点P在E上，所以，
又抛物线的焦点为，所以，解得，，
所以E的方程为.
（2）由题知，的斜率不为0，
设，，，，，
联立与E的方程得，
所以，所以.
联立与E的方程得，所以，
所以.
所以，
所以存在，使得恒成立.
18．答案：（1）当时，；
（2）4
解析：（1）由题可知，，所以，所以，
令，则，
易知的定义域为，由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以.
令，则当时，，
所以.
综上，当时，.
(II)当时，由，得.
记，则，
记，则，
所以在上单调递增，
又，，所以，使得，
即，当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以a的最大整数值为4.
19．答案：（1）
（2）
（3）仅有一个零点
解析：（1）根据二倍角公式与和差化积恒等式可得：
（2）左边
.
右边
.
因为，所以，
故.
（3）仅有一个零点.理由如下：
显然，下面证明当时，.
当时，，，，
所以，
所以当时，.
综上，仅有一个零点.