山西省晋中市昔阳县中学校2024-2025学年高三上学期第六次模拟考试（12月）检测数学试卷

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15、解：(1)由题可设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a2＋1－b2＝r2，,－1－a2＋3－b2＝r2，,3a－b－2＝0，))解得a＝2，b＝4，r2＝10，
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
(2)设M(x，y)，E(x1，y1)，由F(4,0)及M为线段EF的中点得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋4,2)，,y＝\f(y1＋0,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝2x－4，,y1＝2y，))又点E在圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝10上
所以有(2x－4－2)2＋(2y－4)2＝10，化简得(x－3)2＋(y－2)2＝eq \f(5,2)，
故所求的轨迹方程为(x－3)2＋(y－2)2＝eq \f(5,2).
16．【解析】（1）点在边上，且满足,
所以，， 故，即；
（2）由图可知，
可得，解得或，
1°当时，，；
2°当时，，；
综上所述或.
17．（1）证明：由三棱柱的性质可知．
因为平面，所以平面．
因为平面，所以．
因为为的中点，且是等边三角形，所以．
因为平面，且，所以平面．
（2）取的中点，连接．由题意可得两两垂直，故以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，
故．
设平面的法向量为，
则令，得．
设平面的法向量为，
则令，得．
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
18.（本小题满分17分）
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=34x2−2x+1，由f′（x）＝1得x（x−83）＝0，
得x1=0，x2=83．又f（0）＝0，f（83）=827，∴y＝x和y−827=x−83，即y＝x和y＝x−6427；
（Ⅱ）证明：欲证x﹣6≤f（x）≤x，只需证﹣6≤f（x）﹣x≤0，
令g（x）＝f（x）﹣x=14x3−x2，x∈[﹣2，4]，则g′（x）=34x2−2x=34x(x−83)，
可知g′（x）在[﹣2，0]为正，在（0，83）为负，在[83，4]为正，
∴g（x）在[﹣2，0]递增，在（0，83]递减，在（83，4]递增，
又g（﹣2）＝﹣6，g（0）＝0，g（83）=−6427＞−6，g（4）＝0，
∴﹣6≤g（x）≤0，∴x﹣6≤f（x）≤x；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，
F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|＝|f（x）﹣x﹣a|＝|g（x）﹣a|
∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g（x）≤0，令t＝g（x），h（t）＝|t﹣a|，
则问题转化为当t∈[﹣6，0]时，h（t）的最大值M（a）的问题了，
①当a≤﹣3时，M（a）＝h（0）＝|a|＝﹣a，此时﹣a≥3，当a＝﹣3时，M（a）取得最小值3；
②当a≥﹣3时，M（a）＝h（﹣6）＝|﹣6﹣a|＝|6+a|，∵6+a≥3，∴M（a）＝6+a，
也是a＝﹣3时，M（a）最小值为3．综上，当M（a）取最小值时a的值为﹣3．
另解：由（2）可得x﹣6≤f（x）≤x，又F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|≤M（a）恒成立，
所以x+a﹣M（a）≤f（x）≤x+a+M（a），则a+M(a)≥0a−M(a)≤−6，所以M（a）≥3，当取最小值时得a＝﹣3．
19．（17分）
（1）由，且为“2数列”，得，即，
则，，
．
（2）设数列bn的公比为，由，得，
即，则．
两式相减得， ．
因为是首项为2的“数列”，所以，
即，所以，
即对任意的恒成立．
因为，，
则，即，
解得，．又由，即，得，所以．
检验可知符合要求，故数列bn的通项公式为．
（3）因为为“数列”，所以，即对任意的恒成立，因为，，所以．再结合，，，反复利用，可得对任意的，．
设函数，则．由，得．当时，f'x