2024-2025学年山西省太原市高三上学期10月联考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山西省太原市高三上学期10月联考数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．
3．等比数列中，，公比，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，平行四边形中，，，若，，则（ ）
A．B．C． D．
6．函数 的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知关于的方程在内有2个不同的解，，则（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知，则；
B．已知，则；
C．已知一次函数满足，则；
D．定义在上的函数满足，则
10．已知非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若则
C．向量与向量垂直
D．若，则
11．已知函数，则下面说法正确的是（ ）
A．π是的一个周期B．的最大值为334
C．是的对称轴D．是的对称中心
三、填空题（本大题共3小题）
12．命题“，”的否定是 ．
13．函数在内存在单调递增区间，则的取值范围是 .
14．已知函数恰有两个零点和一个极大值点，且成等比数列.若的解集为，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，，，分别是角所对的边，且满足．
(1)求角的大小；
(2)设向量，向量，且，，求的面积．
16．已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
17．已知函数.
(1)讨论在区间上的单调性；
(2)若时，不等式有解，求的取值范围.
18．已知的面积为9，点D在BC边上，．
(1)若，，
①证明：；
②求AC；
(2)若，求AD的最小值．
19．当一个函数值域内任意一个函数值都有且只有一个自变量与之对应时，可以把这个函数的函数值作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数.例如，由，得，通常用表示自变量，则写成，我们称与互为反函数.已知函数与互为反函数，若两点在曲线y=fx上，两点在曲线y=gx上，以四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线垂直，则我们称这个矩形为与的“关联矩形”.
(1)若函数，且点在曲线y=fx上.
（i）求曲线y=fx在点A处的切线方程；
（ii）求以点A为一个顶点的“关联矩形”的面积.
(2)若函数fx=lnx，且与的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S.证明.（参考数据：）
答案
1．【正确答案】B
【详解】由集合，解得，故.
故选：B
2．【正确答案】D
【分析】利用向量数量积的坐标运算计算可得结果.
【详解】由可得，即，
也即，解得.
故选：D
3．【正确答案】C
【分析】由等比数列通项公式直接求解即可.
【详解】数列为等比数列，，解得.
故选C.
4．【正确答案】A
【详解】函数是上的增函数，
则，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
5．【正确答案】D
【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.
【详解】因为四边形为平行四边形，且，，
所以，即①，
又，即②，
由①②得到，又，，所以.
故选：D.
6．【正确答案】C
【分析】根据与的正负关系，即可排除选项，再根据的值，排除选项，即可判断.
【详解】当时，若，则 ； 若，则 .
当时，若，则；若，则，排除 A， D.
，显然 不恒等于 0，故 不是奇函数，排除 B.
故选：C
7．【正确答案】B
【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义求出切线方程，用表示出，再构造函数，利用导数探讨函数图象性质，进而求出的范围.
【详解】依题意，设切点坐标为，由，求导得，
则函数的图象在点处的切线方程为，
由切线过点，得，
令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点，
，当或时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，而当时，恒有，
又，因此当时，直线与函数的图象有3个公共点，
所以实数的取值范围是.
故选：B
关键点点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.
8．【正确答案】D
【分析】辅助角公式得，取为锐角且，由，得，，则，求值即可.
【详解】因为，取为锐角且，，
所以，由题意可得.
因为，不妨设，
由，有，，即，
所以，
.
故选D.
【思路导引】
辅助角公式的作用之一是将含有正弦、余弦两种三角函数的表达式合并为只含有一种三角函数的表达式.
若两个角的正弦值相等，则这两个角终边重合或终边关于轴对称.
9．【正确答案】ABD
【分析】对于A，用替换中的 ，求出的解析式，即可判断；对于B，由题意可得，再由，即可得的解析式，即可判断；对于C，设，根据题意求出的值，即可判断；对于D，用替换中的，由两式中消去，可得的解析式，即可判断.
【详解】解：对于A，因为，
所以，故正确；
对于B，因为，
因为，
所以，故正确；
对于C，设，
则，
所以，解得或，
所以或，故错误；
对于D，因为定义在上的函数满足①，
所以②，
由①+②，得，
所以，故正确.
故选：ABD.
10．【正确答案】ABC
【详解】对于A：因为为非零向量，若，则，故，故A正确；
对于B：若，故，故В正确；
对于C：因为
，
所以，故C正确；
对于D：若，则，
得到，不能确定，故D错误；
故选：ABC．
11．【正确答案】AD
【分析】根据二倍角公式可得，即可判断A；；利用即可判断C；利用导数求出函数的最大值即可判断B.利用即可判断D
【详解】，
因为的最小正周期为，的最小正周期为，
所以的最小正周期为，故A正确；
，
又，令，
因为的周期为，所以只需讨论内的的最大值，
此时当时，，当时，，
故当即时，有极大值，
又，
因为，
所以直线不是图象的对称轴，故B错误，C错误.
，
所以点是图象的对称点，故D正确；
故选：AD
关键点点睛：解决本题D选项的关键是利用导数讨论函数的单调性，方可求出最大值.
12．【正确答案】
【分析】根据存在量词命题的否定形式即可得解.
【详解】由存在量词命题的否定形式可知：
命题“，”的否定是“”.
故
13．【正确答案】.
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用在内有解即可.
【详解】函数，求导得，
由函数在内存在单调递增区间，得不等式在内有解，
不等式，而函数在上单调递增，
当时，，因此，
所以的取值范围是.
故答案为.
14．【正确答案】2
【分析】根据已知，结合三次函数的图象特征可得是的极小值点，借助导数及函数零点可得的关系，由不等式的解集求出.
【详解】因三次函数有一个极大值点，
则该函数必有一个极小值点，且极小值点大于，
又恰有两个零点，且，因此是的极小值点，
求导得：，即是方程的二根，
有，即，
显然，
则，整理得，
两边平方得：，因成等比数列，即，
于是得，即，
而，有，显然有，
，
因的解集为，则5是方程的根，
即有，整理得：，解得或，
当时，，，
不等式，
解得，符合题意，函数的极大值为，
当时，，，
不等式，解得，不符合题意，舍去，
所以.
故2.
方法点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理，，因，则；
（2）由，
因，则，
因，且，则，故，
因，则，
则的面积为.
16．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由等差数列的定义得到数列an为以3为公差的等差数列，进而求得其通项公式；
（2）由（1）求得，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，数列an满足，即，
由等差数列的定义，可得数列an是以3为公差的等差数列，⋯⋯⋯⋯4分
因为，可得，
所以数列an的通项公式为. ⋯⋯⋯⋯7分
解：由（1），
可得，⋯⋯⋯⋯11分
所以数列bn的前项和为.⋯⋯⋯⋯15分
17．【正确答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，按分类讨论，求出函数的单调区间.
（2）根据给定条件，将不等式分离参数得，再构造函数，，利用导数求出函数的最大值即可.
【详解】
函数，求导得，⋯⋯⋯⋯1分
由，得，
当时，，当且仅当时取等号，
函数在上单调递减；⋯⋯⋯3分
当时，，当且仅当时取等号，
函数在上单调递增； ⋯⋯⋯⋯5分
当时，由，得；由，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，⋯⋯⋯⋯6分
所以当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增.⋯⋯⋯⋯7分
依题意，不等式在时有解，
即在时有解，⋯⋯⋯⋯9分
令，，
求导得，
由，得；由，，
函数在上单调递增，在上单调递减，⋯⋯⋯⋯12
当时，函数取得最大值，因此，⋯⋯⋯⋯14
所以实数的取值范围是.⋯⋯⋯⋯15
关键点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论.
18．【正确答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）①因为，，所以，
在中，由正弦定理可得，
所以；
②设，则，
因为，所以，
设，因为，所以，
在中，，
由①知，
所以，
所以，
整理得，又因为，，
所以，
因为，所以，
在中，因为，，
所以，所以，
则，
所以；
（2）记的内角为，所对边为，
因为，
所以，
所以，
在中，因为，
所以由余弦定理可得，
整理得，
因为，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以AD的最小值为4.
19．【正确答案】(1)（i）；（ii）；
(2)证明见解析.
【详解】（1）（i）因为点在曲线上，所以，即，
由，得，则，
所以曲线y=fx在点A处的切线方程为即.
（ii）由（1），由得其反函数为，
则函数和图象关于直线对称，设A关于直线对称的点为D，
则D在曲线上，且，，
则，
由题意以及由图象特征可知，则，直线的方程为，
联立方程组解得或（舍去），
则，
则该“关联矩形”的面积.
（2）证明：由fx=lnx得其反函数为，
所以和图象关于直线对称，且由其性质可知，
根据对称性可设关于直线对称，关于直线对称，则，
设，其中，
则，，因为“关联矩形”是正方形，
所以，，
所以，
由，得，所以，
所以由得即.
对于函数，则，
故函数在0,+∞上单调递增，故即，
令，
则且，
则ℎx在0,+∞上单调递增，所以，
所以，因为，
令，则，当x∈0,+∞时，单调递增，
则，
从而.