山西省祁县中学校2025届高三上学期12月阶段测试数学试卷(含答案)

这是一份山西省祁县中学校2025届高三上学期12月阶段测试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．若复数z满足,则( )
A.1B.C.2D.
4．已知向量,,若,则( )
A.B.C.1D.
5．若函数满足,则的值为( )
A.B.2C.3D.4
6．已知是等比数列的前项和,若,,则( )
A.B.C.D.
7．已知,则( )
A.B.C.D.
8．曲线与的公切线的斜率为( )
A.1B.C.eD.
二、多项选择题
9．已知,,,则( )
A.B.C.D.
10．已知l为空间内的一条直线,,为空间内两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
11．已知直三棱柱中,,,与平面ABC和平面所成角均为,则下列结论正确的是( )
A.直线AB与平面所成角为B.直线与平面所成角为
C.点C到直线的距离为D.点C到平面的距离为
三、填空题
12．已知,,且,则的最小值为______________.
13．若非零向量,满足：,且,则,夹角的大小为_____________.
14．已知曲线上有不同的两点P和Q,若点P,Q关于直线的对称点,在曲线上,则实数k的取值范围为_____________.
四、解答题
15．已知为锐角,且满足.
(1)求的值;
(2)求的值.
16．已知数列的前n项和为,对一切正整数n,点都在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,,求数列的通项公式.
17．已知向量,,函数.
(1)求的最小正周期;
(2)若函数在区间上恰有两个零点,求实数a的取值范围.
18．在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.
(1)证明：.
(2)若是锐角三角形,求的取值范围.
19．已知函数.
(1)证明：曲线是轴对称图形;
(2)若函数在上有三个零点,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由,得,则;由,得,则,
所以.
故选：B.
2．答案：B
解析：由集合,解得,故.
故选：B.
3．答案：D
解析：由,得,
所以.
故选：D.
4．答案：D
解析：由可得,即,
也即,解得.
故选：D.
5．答案：C
解析：由,得,
则,解得,
故选：C.
6．答案：B
解析：设等比数列的公比为q,由,
解得,所以,解得,
所以.
故选：B.
7．答案：A
解析：,
故选：A.
8．答案：A
解析：因为,则,
设切点坐标为,,切线斜率为,
可得切线方程为,即;
因为,则,
设切点坐标为,,切线斜率为,
可得切线方程为,即;
由题意可得：,解得,
所以公切线的斜率为.
故选：A.
9．答案：ABD
解析：因为单调递减,所以,因为单调递增,
所以,因为单调递增,所以,
故,即A正确,C错误;则,所以B正确;则,所以D正确.
故选：ABD.
10．答案：BC
解析：对于A,若,,则可能或与相交,故A错误;
对于B,根据面面垂直的判定定理可知B正确;
对于C,根据面面平行的性质可知C正确;
对于D,若,,则可能,,或l与相交且成“任意”的角,故D错误.
故选：BC.
11．答案：BCD
解析：因为平面,则与平面ABC所成的角为,
且,则,,
因为平面,平面,则,
且,,,平面,可得平面,
又因为,则平面,
可知与平面所成角均为,则,
可得,.
对于选项A：设点B到平面的距离为d,
因为,即,解得,
设直线AB与平面所成角为,
则,所以直线AB与平面所成角不为,故A错误;
对于选项B：因为平面,平面,则,
且,,平面,可得平面,
可知直线与平面所成角为,
则,所以直线与平面所成角为,故B正确;
对于选项C：在中,,,
设点C到直线的距离为h,
由的面积可得：,解得,
所以点C到直线的距离为,故C正确;
对于选项D：设点C到平面的距离为,
因为,即,解得,
所以点C到平面的距离为,故D正确;
故选：BCD.
12．答案：
解析：因为,解得：,
则
当且仅当,时,“=”成立
故答案为：.
13．答案：
解析：因为,所以,
即,即,
因为,所以,
即,
所以,即,所以,
又,,所以,
又,所以,即,夹角的大小为.
故答案为：.
14．答案：
解析：曲线与关于直线对称,
又点P,Q关于直线的对称点,在曲线上,
曲线与有2个交点,即有2个不同的实根,
即方程有2个不同的实根,
设函数,则,
当时,,在上单调递增,当时,,在上单调递增,
,再根据当时,,当时,,
作出的大致图象,如图,
由于直线过定点,当直线与的图象相切时,设切点为,此时,
即,可得,此时切线的斜率为1,
由图可知,时,直线与的图象有2个交点,
实数k的取值范围为,
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为为锐角,所以,
所以,所以,
所以;
(2)由(1)知,
,
所以
.
16．答案：(1),
(2),
解析：(1)因为点都在函数,
所以
当时,,
当时,,时,也满足此式.
所以,
(2)由(1)可得,
由
所以
当时,,满足此式;
所以,
17．答案：(1)
(2).
解析：(1)
的最小正周期;
(2)由题知在区间上恰有两个不同的实数根,
即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点,
令,,,
作出的图象与直线,如图.
由图知,当时,的图象与直线有两个交点,
实数a的取值范围为.
18．答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：(1)由题设,
所以,
则,即,
又,则,且,
所以,得证.
(2)由题设,即,得,
由,而,故.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)由函数,定义域为R,
则,
因此可得,
故函数的图象关于,即曲线是轴对称图形.
(2)由,
若函数在上有三个零点,
则方程在上有三个实根,
即在上有三个实根,
令,则与的图象在上有三个交点,
又,
当或时,,
则在和上单调递减,
当时,,则在上单调递增,
又,,
,,
因此可得的图象如图所示,
结合图象,要使与的图象在上有三个交点,
则实数a的取值范围为.