山西省晋中市部分校2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题

这是一份山西省晋中市部分校2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题，共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知，，且，则的最小值为，下列说法错误的是，已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A.8B.7C.16D.15
2.已知，为实数，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A.B.
C.D.
4.已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（ ）
A.B.C.D.
5.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（ ）
A.B.C.D.
6.记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
7.已知，，且，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（ ）
A.2B.3C.4D.5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法错误的是（ ）
A.命题，的否定为，
B.已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2
C.已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D.已知函数的值域为，则的取值范围是
10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.是函数的周期
B.函数的图象关于直线对称
C.函数在区间上单调递减
D.当时，
11.已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ）
A.函数是奇函数B.
C.函数的图象关于点对称D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的值为______.
13.已知，，则______.
14.已知点，，定义为，的“镜像距离”，若点，在曲线上，则，的“镜像距离”的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知集合，.
（1）若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围；
（2）若函数的定义域为，且，求的取值范围。
16.（本小题满分15分）
已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且.
（1）求的值，并求出的解析式；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
17.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若，，求的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若在区间上没有零点，求的取值范围.
18.（本小题满分17分）
在中，点是边上一点，且，
（1）若，，且，求的值；
（2）若，且，求面积的最小值；
（3）若，，且的面积为12，求的值.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；
（2）若；求证：；
（3）设，是函数的两个极值点，求证：.
2024～2025学年高三9月质量检测卷・数学
参考答案、提示及评分细则
1.B 因为，，所以，所以的真子集的个数为.故选B.
2.A 当时，，同号，所以，所以“”是“”的充分条件；若时，，此时，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.
3.C 由的解集为，可得，且方程的解为，所以，则，所以，即，又，所以，解得，即关于的不等式的解集为.故选C.
4.C 由题意知，所以，解得，又，所以，解得，所以.故选C.
5.B 因为，由余弦定理得，所以，又，所以.因为，所以，即，又，所以，所以或（舍），所以，所以.故选B.
6.A 在上单调递减，在上单调递增，当时，，所以所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，即在区间上的值域为.，令，得，解得或，画出，的图象如图所示，若，，使得成立，则解得，即的取值范围是.故选A.
7.C 因为，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为.故选C.
8.D 令，则，且，又，所以，所以，所以.设，则，所以，所以，则，故在上单调递增，所以函数在区间上的最大值为.故选D.
9.AD 命题，的否定为，，故A说法错误；由，解得，所以扇形的弧长，故B说法正确；由，得，所以的定义域为，故C说法正确；因为的值域为，所以函数的值域满足，所以，解得，故D说法错误.故选AD.
10.ACD 因为，所以是函数的周期，故A正确；因为，，所以，故B错误；设，所以，所以，当时，可得，则，又，所以函数在上单调递减，又在上单调递增，所以由复合函数的单调性，可得函数在区间上单调递减，故C正确；当时，可得，则，又由，在上单调递减，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减，由复合函数的单调性，可得函数在上单调递减，在上单调递增，所以，故D正确.故选ACD.
11.BCD 因为，所以，所以函数是偶函数，故A错误；因为为偶函数，所以，即，所以，即，令，得，所以，故B正确；因为，所以，即，又，所以，所以，所以，即，所以函数的图象关于点对称，故C正确；因为，令，得，所以，又，所以，，…，所以，故D正确.故选BCD.
12.8 .
13. 由题意可知，所以，由题意可知，，所以.
14. 设，，由点在曲线上可知点在函数上，所以相当于上的点到曲线上点的距离，又与的图象关于对称，所以，的“镜像距离”的最小值为点到的距离的最小值的2倍.由，得，令，解得，又点到直线的距离，所以，的“镜像距离”的最小值为。
15.解：（1）由题意知，
解不等式，解得，所以，
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
所以且等号不同时成立，
解得，即的取值范围是.
（2）因为，所以在上有解，所以，
令，则，所以，即的取值范围是.
16.解：（1）因为是偶函数，所以，
解得，
当时，可得，所以，
所以函数的解析式为
（2）由（1）知，当时，，
因为在上恒成立，
所以，
又因为，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，即的取值范围是.
17.解：（1）由题意知，
因为，
所以，令，则，，因为，所以，
由，得，所以，
所以
.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到，
将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），
得到函数.
令，得，解得，又在区间上没有零点，所以，
解得，，又，所以当时，；当时，，
即的取值范围是.
18.解：（1）由题意知，所以，
在中，由余弦定理得解得，
由正弦定理，得，
所以，
所以.
（2）设，，因为，
所以，
即，
所以，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的面积，即面积的最小值为.
（3）设，，
则，，.
在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，，即，所以，所以，
所以，所以，
又，，解得，，
所以，，
所以，又，，
所以，所以，解得，所以.
在中，由余弦定理，得，
解得或，又，所以.
19.（1）解：由题意知函数的定义域为，在上恒成立，所以在上恒成立，
又，当且仅当时，等号成立，
所以，即的取值范围是.
（2）证明：若，，所以，
令，解得，所以当时，，
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，当且仅当时，等号成立.
令，，所以，令，解得，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，又等号不同时成立，所以.
（3）证明：由题意可知，
因为有两个极值点，，
所以，是方程的两个不同的根，则且
所以
，
所以要证，即证，
即证，即证，即证.
令，则证明，令，则，
所以在上单调递增，则，即，
所以原不等式成立.