昔阳县中学校2025届高三上学期第六次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份昔阳县中学校2025届高三上学期第六次模拟考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若复数，则( )
A.B.C.D.
2．已知集合，若，则( )
A.1B.2C.3D.4
3．在中，D是AB边上的中点，则=( )
A.B.C.D.
4．设，，则( )
A.B.C.D.
5．下列说法正确的是( )
A.若函数为奇函数，则
B.函数在上是减函数
C.若函数的定义域为，则函数的定义域为
D.若函数为偶函数，且在上是单调递增，则在上是单调递减
6．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
7．已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
8．木桶效应，也可称为短板效应，是说一只水桶能装多少水取决于它最短的那块木板.如果一只桶的木板中有一块不齐或者某块木板有破洞，这只桶就无法盛满水，此时我们可以倾斜木桶，设法让桶装水更多.如图，棱长为2的正方体容器，在顶点和棱的中点M处各有一个小洞（小洞面积忽略不计），为了保持平衡，以为轴转动正方体，则用此容器装水，最多能装水的体积( )
A.4B.C.6D.
二、多项选择题
9．已知等差数列和等比数列的前n项和分别为.和，且，则下列正确的是( )
A.B.
C.D.
10．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是( )
A.四叶草曲线有四条对称轴
B.设P为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过P作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为
C.四叶草曲线上的点到原点的最大距离为
D.四叶草曲线的面积小于
11．已知，则下列说法中正确的是( )
A.在R上可能单调递减
B.若在R上单调递增，则
C.是的一个对称中心
D.所有的对称中心在同一条直线上
三、填空题
12．已知向量，，若，则___________.
13．若动直线，圆，则直线与圆C相交的最短弦长为___________.
14．在等差数列中，数列的前n项和为，，，若，则的最小值为___________.
四、解答题
15．已知圆C经过点，且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边上，且满足，的面积
(1)证明：
(2)求.
17．如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且D为棱AB的中点.
(1)证明：平面.
(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18．已知函数.
(1)求曲线的斜率为1的切线方程；
(2)当时，求证：；
(3)设，记在区间上的最大值为，当最小时，求a的值.
19．已知数列的前n项积为.定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“k数列”.
（1）若，且为“2数列”，求.
（2）若，且为“k数列”，的前n项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求k的值和的通项公式.
（3）若，，且为“k数列”，的前n项和为，证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：由题得，
所以.
故选：B
2．答案：B
解析：由题意可得，解得.
故选：B.
3．答案：C
解析：
故选：C
4．答案：A
解析：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
故选：A.
5．答案：D
解析：对于选项A：例如为奇函数，但无定义，故A错误；
对于选项B：因为，
所以函数在定义域上不是减函数，故B错误；
对于选项C：因为函数的定义域为，
即，则，
所以函数的定义域为，故C错误；
对于选项D：因为函数为偶函数，且在上是单调递增，
所以在上是单调递减，故D正确；
故选：D.
6．答案：A
解析：如图：
在中，，
由余弦定理：
,
所以，
所以外接圆半径为，
即.
在直角三角形中，，，
所以.
设棱锥外接球半径为R，
在直角三角形中，，
解得：.
所以球O的表面积为：.
故选：A
7．答案：A
解析：时，到的距离为，
故，解得，
满足存在唯一k使得直线l与相切”，充分性成立，
经过定点，
若，，
若，此时直线，
直线与相切，另一条切线斜率不存在，
故满足存在唯一k使得直线l与相切”，
当在上，
满足存在唯一k使得直线l与相切，
故，
又，解得，必要性不成立，
故“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的充分不必要条件.
故选：A
8．答案：C
解析：棱长为2的正方体的体积为，
在，上分别取P，Q，使得，
又M为棱的中点，
故由勾股定理得，
故四边形为菱形，
故P，M，Q，四点共面，
取，，的中点T，R，X，
连接，，，
则平面将长方体的体积平分，
故以为轴转动正方体，则用此容器装水，
则最多能装入的体积为长方体的体积加上长方体的体积的一半，
故最多能装水的体积.
故选：C
9．答案：AC
解析：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
因为等差数列的前n项和；
等比数列的前n项和；
又，所以等比数列的公比，即.
不妨设，，k是不为0的常数，
所以当时，
当时，
则，，
所以，.
故选：AC.
10．答案：ABD
解析：对于A，将x换为方程不变，所以曲线关于y轴对称；
将y换为方程不变，所以曲线关于x轴对称；
将x换为y，y换为x方程不变，所以曲线关于对称；
将x换为，y换为方程不变，所以曲线关于对称.故A正确；
对于B，设曲线C第一象限任意一点为，则围成矩形面积为，
则，
即，当且仅当时取得最大值，故B正确；
对于C，设距离为d，，
要求d的最大值，即求的最大值，
显然，，
又，
当且仅当时，等号成立，
所以曲线C上的点到原点距离最大值为，故C错误；
对于D，由C可知，得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内，
故四叶草面积小于，故D正确.
故选：ABD
11．答案：BCD
解析：，则，
对A：当时，恒成立，单调递增，
当或时，不恒成立，不可能单调递减，
综上，在R上不可能单调递减，故A错误；
对B：若在R上单调递增，则恒成立，
所以，故B正确；
对C：因为，
所以关于对称，故C正确；
因为
，，
所以关于，对称，
所以所有的对称中心在直线上，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：，
由，
则有，解得.
故答案为：.
13．答案：2
解析：直线，
则，
令，解得，
所以动直线恒过点，
又圆的圆心为，半径，
所以，
所以点在圆内，
所以当直线时直线与圆C相交的弦长最短，
最短弦长为.
故答案为：2
14．答案：17
解析：在等差数列中，，
解得，而，则，
数列的公差，
则，由，得，
而，则或或或，
所以当时，
的最小值为.
故答案为：17
15．答案：(1)；
(2).
解析：(1)由题可设圆C的标准方程为，
则，
解之得，，
所以圆C的标准方程为；
(2)设，，
由及M为线段EF的中点得，
解得,
又点E在圆上，
所以有，
化简得：,
故所求的轨迹方程为.
16．答案：(1)证明见解析
(2)或
解析：(1)点D在边上，且满足,
所以，，
，
故，即；
(2)由图可知，
可得，
解得或，
①当时，，
；
②当时，，
；
综上所述或.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)由三棱柱的性质可知.
因为平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为D为的中点，且是等边三角形，
所以.
因为，平面，
且，
所以平面.
(2)取的中点，连接.
由题意可得，，两两垂直，故以D为坐标原点，
，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，
，，
故，，
，
设平面的法向量为，
则
令，得.
设平面的法向量为，
则
令，得.
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
18．答案：(1)和.
(2)见解析；
(3).
解析：(1)，
令得或者.
当时，，
此时切线方程为，即；
当时，，
此时切线方程为，
即；
综上可得所求切线方程为和.
(2)设，，
令得或者，
所以当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
当时，，为增函数；
而，所以，即；
同理令，
可求其最小值为，所以，
即，综上可得.
(3)由(2)知，
所以是，中的较大者，
若，即时，；
若，即时，；
所以当最小时，，此时.
19．答案：（1）257
（2）；数列的通项公式为
（3）证明见解析
解析：（1）由，且为“2数列”，得，即，
则，
，
，
.
（2）设数列的公比为，
由，得，
即，
则.
两式相减得，
即.
因为是首项为2的“k数列”，所以，
即，
所以，
即对任意的恒成立.
因为，，
则，
即，
解得，.
又由，即，得，所以.
检验可知符合要求，故数列的通项公式为.
（3）因为为“k数列”，所以，
即对任意的恒成立，
因为，，所以.
再结合，，，反复利用，
可得对任意的，.
设函数，则.
由，得.
当时，，所以在上单调递减.
所以当时，，即.
又，所以.
可得，，…，，
累加可得，
即，即，
所以.