山西省晋中市山西现代双语学校南校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

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12． 13．/ 14．
15．(1) (2) (3)
【详解】（1）原式.
（2）原式
.
（3）
16．(1)； (2)； (3).
【详解】（1）点到原点的距离，所以.
（2）.
（3）.
17．(1)2 (2)1或 (3)
【详解】（1）依题意知的解集为，
所以方程的解为，，
根据韦达定理，得，解得，即实数的值为2.
（2）函数的值域为..又且函数的定义域为，的最小值.而，，解得，即，
所以实数的值为1或.
（3）在上为增函数，函数在上是减函数，
函数在上为减函数且，
解得即，故实数的取值范围为.
18．(1)选择模型③，，178千人． (2)．
【详解】（1）由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快，
模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③，
于是，解得，所以，
当时，预测2024年年末的会员人数为千人．
（2）由（1）及已知得，对，都有，令，则，
令，则不等式右边等价于函数，函数在区间上单调递增，因此，则，所以的最小值为．
19．(1) (2) (3)
【详解】（1）由题意知，，
即，所以，
故
（2）由（1）知，，所以在R上单调递增，所以不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时，等号成立，所以，
故实数的取值范围是
（3）因为对任意的，存在，使得，所以在[0，3]上的最小值不小于在[1，3]上的最小值，因为在[0，3]上单调递增，所以当时，，
又的对称轴为，当时，在[1，3]上单调递增，，解得，所以；
当时，在上单调递减，在[m，3]上单调递增，
，解得，所以；
当时，在[1，3]上单调递减，，解得，
所以，综上可知，实数的取值范围是题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
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D
C
C
D
B
D
AD
BC
ACD