2025年小升初复习(全国通用)：知识点17优化问题(原卷版+解析)

这是一份2025年小升初复习(全国通用)：知识点17优化问题(原卷版+解析)，共28页。

运筹问题
【例1】
用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。问煎3个饼至少需要多少分钟？
思路引导
先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一个取出，另一个翻过去，再放入第三个。又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把第三个翻过去，再将第一个放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。
正确解答：
3×2÷2×1＝3（分钟）
答：煎3个饼至少需要3分钟。
解决烙饼、煎鱼等怎样操作最省时间的问题，最佳答案是每一次尽可能地让锅中按要求放上最多的饼、鱼等，这样既不浪费资源，又节省时间。
【变式1】
1. 用面包机烤面包时，第一面烤2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟，小勤的面包机一次只能放2片，他每天早上吃3片面包，至少需要烤多少分钟？
【例2】
妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？
思路引导
经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。水壶不洗，不能烧开水，所以洗水壶和烧开水不能同时进行；而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。为此可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶。
正确解答：
15＋1＝16（分钟）
答：最少需要16分钟。
要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，把能同时进行的工作安排在同一时间段内进行，但要注意同时进行的两项任务应互不干扰。
【变式2】
2. 在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语30分钟，吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。最少需要多少分钟？
【例3】
六（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？
思路引导
校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，孙勇1＋3＝4分钟，赵明1＋3＋5＝9分钟。
正确解答：
1＋4＋9＝14（分钟）
答：最少需要14分钟。
依次从等候时间较少的事情做起，就可以使总的等候时间较少。
【变式3】
3. 甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。怎样安排，使3人所花的时间最少？最少时间是多少？
找次品问题
【例4】
质量检测人员在检测9个手机芯片时发现有1个不合格（质量稍轻），如果用天平找次品方法，我们至少称（ ）次保证找到这块芯片。
A.1 B.2 C.3 D.5
思路引导
第一次，把9个手机芯片分成3份：3个、3个、3个，取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有次品的一份（3个），取2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品是未取的那个，若天平不平衡，则较轻的为次品；所以用天平至少称2次能保证找出次品。
正确解答：
B
熟练掌握找次品的解答方法：待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。
【变式4】
4. 下列说法中正确的是（ ）。
①用天平找次品，最好把所称的物品分成相等的3份，就能保证用最快的速度找出次品。
②一把钥匙开一把锁。现在有4把钥匙、4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多试6次就一定能配好全部的钥匙和锁。
③用天平找次品时，所称物品的数目与称的次数成倍数关系。
④有3个零件，其中1个是次品，但是不知道是轻还是重。用天平称，至少称1次就能够找到。
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
【例5】
齐王与田忌赛马，他们都有上、中、下三等马，田忌每种等级的马都比齐王的马差一些，田忌要想赢齐王，他的中等马需要和齐王的什么马进行比赛？
思路引导
要使田忌获胜，可以这样安排顺序：第一场，田忌用下等马对齐王上等马，齐王胜；第二场，田忌用上等马对齐王中等马，田忌胜；第三场，田忌用中等马对齐王下等马，田忌胜。
正确解答：
可以这样安排：
这样田忌以两胜一负获胜。
答：他的中等马需要和齐王的下等马进行比赛。
田忌赛马的故事，开动脑筋，找出田忌获胜的方法，即找出三局两胜的方法是解答此题的关键；此类优化问题主要考查了简单的枚举法应用，根据已知得出所有符合要求的答案。
【变式5】
5. “田忌赛马”这个故事中只要齐王的上等马不对阵田忌的下等马，齐王就一定能获胜。（ ）
极值问题
【例6】
用18厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少？
思路引导
根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是18÷2＝9厘米。显然，当长与宽的差越小，围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是5厘米，宽是4厘米时，围成的长方形面积最大。
正确解答：
5×4＝20（平方厘米）
答：围成的长方形面积最大是20平方厘米。
周长相等的长方形或正方形，长与宽相差的越小，面积就越大。
【变式6】
6. 一个长方形的面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的周长最长是多少厘米？
【例7】
用3~6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。
思路引导
解决这个问题应考虑两点：（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能使两个数的差最小。所以应把6和5这两个数字放在十位，4和3放在个位。根据“两个因数的差越小，积越大”的规律，3应放在6的后面，4应放在5的后面。
正确解答：
63×54＝3402
答：两个两位数的最大乘积是3402。
此题主要考查了最大与最小问题，考查了分析推理能力，解答此题的关键是要掌握：乘法算式的因数越大，积就越大；因此要使两个数的乘积最大，就要使这两数尽量大，即两数差尽可能小。
【变式7】
7. 用3~8这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大。
【例8】
某旅游团共有成人30人，学生18人。他们到某风景区观光旅游，门票价格如下。如果你队长，你准备怎样购票最省钱？
思路引导
分别计算出两种购票形式的费用比较即可。A方式：成人票单价×人数＋学生票单价×人数＝总费用；B方式：求出总人数，总人数×团体票单价＝总费用；多考虑一种方式，即40人去买团体票，剩余学生去购买学生票，三种方式的价格进行比较，哪种钱数最少就用哪种方式购票。
正确解答：
40×30＋40÷2×18
＝1200＋360
＝1560（元）
（30＋18）×25
＝48×25
＝1200（元）
48－40＝8（人）
40×25＋40÷2×8
＝1000＋160
＝1160（元）
1160元＜1200元＜1320元
答：40人去买团体票，8个学生去买学生票最省钱。
此类推关键是将两种方案进行合理整合，让成人享受团体票的优惠，学生又能享受学生票的优惠。
【变式8】
8. 旅行社推出某景点一日游的A、B两种优惠方案（两种方案只能任选其一）。4个大人，6个小孩共约出游，选择哪种方案省钱？（通过计算说明理由）
一、填空题。
9. 小刚骑马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分钟，乙马过河需3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟，每次只能两匹马同时过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少需_______分钟．
10. 有13袋瓜子，其中12袋质量相同，另一袋质量轻一些，用天平称，至少称（ ）次才能保证找到较轻的那袋瓜子。
11. 甲、乙、丙三人都要从A地到B地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小时可以行48千米，乙、丙步行的速度为每小时6千米，已知A、B两地相距48千米。则三人同时到达的最短时间为（ ）小时。
12. 端午节妈妈包粽子．淘米、洗粽叶要用20分钟，包粽子要用1小时30分，把粽子煮熟要用50分钟．如果想在中午12时吃到粽子，妈妈最迟从上午________时________分开始动手做．
13. 聪聪和明明用扑克牌的点数比大小，采用三局两胜制。聪聪按8、6、4的顺序先出牌，明明想要获胜，应该按照（ ）的顺序出牌。
14. 在网络经济飞速发展的今天，消费者通过平台进行团购已经成为普遍现象。明明的爸爸妈妈准备星期天带他去吃火锅。妈妈说，她在网上发现团购代金券69元/张，可抵100元消费，每桌限用两张，不足部分用现金补齐。到饭店后发现，不用代金券可以享受七五折优惠。若一家三口吃火锅人均消费为70元，采用（ ）消费方式比较优惠。
15. 爸爸开车和妈妈一起从家外出办事。爸爸要去办公室取资料，妈妈要去商场购物。下图是他们的行走路线和所用时间。他们办完这些事回到家，至少需要（ ）分钟。
二、选择题。
16. 已知长方形的边长为整厘米数，周长为40厘米，求此长方形最小面积是多少？解决这个问题应该考虑的问题是（ ）。
A. 把20分解成两个整数相加，两个加数相乘积最小是多少
B. 把20分解成两个因数相乘，相加最小两个因数是多少
C. 把40分解成两个整数相加，两个加数相乘积最小是多少
D. 求40是哪两个整数的最小公倍数
17. 小华双休日想帮妈妈做下面的事情用全自动洗衣机洗衣服要用30分，扫地要用20分，擦家具要用10分，晾衣服要用5分。她经过合理安排，做完这些事至少要花（ ）分。
A. 30B. 35C. 40D. 45
18. 甲、乙、丙、丁四个人各拿一个水桶到自来水龙头前等候打水．甲打水要4分钟，乙打水要1分钟，丙打水要3分钟，丁打水要2分钟．怎样安排四个人的打水顺序，才能使他们花的时间最少？（ ）
A. 乙、丁、丙、甲B. 甲、乙、丙、丁C. 丙、丁、甲、乙
19. 刘叔叔要复印一份共5张的资料，正反面都要复印，复印机一次可以放2张，复印一次要6秒，最少需要复印的次数和最少需要的时间（单位：秒）分别是（ ）。
A. 5；30B. 6；36C. 3；18D. 4；24
三、解答题。
20. 两个图形的重合度＝重合面积÷（两个图形的面积和－重合面积）。例如：右图中小圆的面积是4cm2，大圆的面积是9cm2，重合部分的面积是2cm2，右图中大小两个圆的重合度是2÷（4＋9－2）＝。
根据以上描述，解答下面问题（π取3）。
（1）一个正方形和一个圆摆放在一起，有很多种摆法。小莹摆出了下面的三种。
①正方形的边长是8cm。计算图1中正方形和圆的重合度。
②上画的三幅中，正方形和圆的重合度最大的是图（ ），重合度最小的是图（ ）。
（2）有两个圆，半径分别是1cm和2cm，这两个的重合度最大是（ ）。
21. 学校打算7月1日这天组织130名优秀少先队员去参观大冶南山头革命纪念馆，某运输公司有两种车辆可供选择：
大客车：限乘50人，每人票价10元，如果满座，票价可打八折；
面包车：限乘10人，每人票价12元，如果满座，票价可打七五折。
请你为学校设计一种最省钱的租车方案，并求出租车费用。
22. 同一种演出服在甲、乙商场的促销活动不同。李老师要买90元一套的服装105套，如果只在一家商场购买，在哪个商场买更省钱？
第十七节：典型应用题（二） 优化问题
运筹问题
【例1】
用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。问煎3个饼至少需要多少分钟？
思路引导
先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一个取出，另一个翻过去，再放入第三个。又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把第三个翻过去，再将第一个放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。
正确解答：
3×2÷2×1＝3（分钟）
答：煎3个饼至少需要3分钟。
解决烙饼、煎鱼等怎样操作最省时间的问题，最佳答案是每一次尽可能地让锅中按要求放上最多的饼、鱼等，这样既不浪费资源，又节省时间。
【变式1】
1. 用面包机烤面包时，第一面烤2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟，小勤的面包机一次只能放2片，他每天早上吃3片面包，至少需要烤多少分钟？
【答案】至少需要烤5分钟
【解析】
【分析】可以这样烤面包：先烤第一、第二片面包的第一面，2分钟后，把第一片面包取出，将第二片翻个身，放上第三片面包．经过1分钟，第二片面包已熟，可把它取出来，放上第一片面包，烤另外一面，一分钟后，第一片面包又熟了，可把它取出，把第三片面包翻一个身，再过1分钟，第三片面包也熟了．
【详解】解：2+1+1+1=5（分钟）；
答：至少需要烤5分钟．
【例2】
妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？
思路引导
经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。水壶不洗，不能烧开水，所以洗水壶和烧开水不能同时进行；而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。为此可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶。
正确解答：
15＋1＝16（分钟）
答：最少需要16分钟。
要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，把能同时进行的工作安排在同一时间段内进行，但要注意同时进行的两项任务应互不干扰。
【变式2】
2. 在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语30分钟，吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。最少需要多少分钟？
【答案】60分钟
【解析】
【分析】先观察做事情的顺序，考虑哪些事情可以同时做，写出做事情的顺序，计算所需时间即可。收听广播（同时叠被、洗脸刷牙、吃早餐、收碗擦桌），再读外语，据此分析。
【详解】30＋30＝60（分钟）
答：最少需要60分钟。
【点睛】关键是确定哪些事情可以同时做，从而确定最少时间。
【例3】
六（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？
思路引导
校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，孙勇1＋3＝4分钟，赵明1＋3＋5＝9分钟。
正确解答：
1＋4＋9＝14（分钟）
答：最少需要14分钟。
依次从等候时间较少的事情做起，就可以使总的等候时间较少。
【变式3】
3. 甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。怎样安排，使3人所花的时间最少？最少时间是多少？
【答案】按丙、甲、乙的次序安排；60分钟
【解析】
【分析】按时间从短到长，即丙、甲、乙的次序安排洽谈业务，才能使所花的总时间最短；
当丙在谈的时候，甲和乙在等待，所以3个人都在，一共花费 8×3 分钟；
当甲在谈的时候，乙在等待，丙走了，所以乙和丙2个人在，一共花费 10×2 分钟；
当乙在谈的时候，丙和甲都走了，所以只有乙1个人在，一共花费 16×1 分钟；
【详解】8×3＋10×2＋16×1
＝24＋20＋16
＝44＋16
＝60（分钟）
答：按照丙、甲、乙的次序安排所花的时间最少，最少时间是60分钟。
【点睛】本题主要考查了最优化问题，要使3人所花的时间最少，则等待的总时间越少越好，所以应该先安排花费时间最少的人谈，最后安排花费时间最多的人谈。
找次品问题
【例4】
质量检测人员在检测9个手机芯片时发现有1个不合格（质量稍轻），如果用天平找次品的方法，我们至少称（ ）次保证找到这块芯片。
A.1 B.2 C.3 D.5
思路引导
第一次，把9个手机芯片分成3份：3个、3个、3个，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有次品的一份（3个），取2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品是未取的那个，若天平不平衡，则较轻的为次品；所以用天平至少称2次能保证找出次品。
正确解答：
B
熟练掌握找次品的解答方法：待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。
【变式4】
4. 下列说法中正确的是（ ）。
①用天平找次品，最好把所称物品分成相等的3份，就能保证用最快的速度找出次品。
②一把钥匙开一把锁。现在有4把钥匙、4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多试6次就一定能配好全部的钥匙和锁。
③用天平找次品时，所称物品的数目与称的次数成倍数关系。
④有3个零件，其中1个是次品，但是不知道是轻还是重。用天平称，至少称1次就能够找到。
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】用天平一次称两个，不用砝码，一边托盘放一个，看天平是否平衡，如果平衡，可以知道两个一样重，余下的那一个就是次品，但还不知道次品是轻还是重，需要用一个合格品和次品比较得出次品的轻重；如果第一次称不平衡，可知其中一个是次品，我们可以用重的一个再和余下的那一个比较，判断次品的轻重。
【详解】①次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重。找次品方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1；用天平秤其中相等的2份，若平衡，次品在余下的一份中，若不平衡，次品在稍高或稍低的1份中，这样一次就能排除掉的物品，是最快捷的方法，所以选项说法正确。
②想极端情况：
第1步，任意拿1把钥匙开锁，尝试3次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需3次；
第2步，再任意拿1把钥匙开锁，尝试2次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需2次；
第3步，再任意拿1把钥匙开锁，尝试1次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需1次；
最后1把钥匙与最后的锁肯定配对不用试。
所以最多要试3＋2＋1＝6（次）；所以选项说法正确。
③需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间；但是不成倍数关系，所以选项说法错误。
④把3个零件中的两个放在天平的两端，如果天平平衡，则次品就是余下的那一个，天平上的两个都是合格品，把一个合格品取下，换上次品，看次品那边是上升还是下降，上升就是比合格品轻，下降就是比合格品重，天平称两次可得结果；如果把3个零件中的两个放在天平的两端，如果天平不平衡，则其中有一个是合格品，一个是次品，但不知道哪一个是次品，把重的那一个取下，换上余下的那一个，如果重的依然还重，则重的那个就是次品，如果换上后，天平平衡，则轻的那个就是次品，还是称两次就能判断出次品是轻还是重。所以用天平至少称2次就能判断出次品比合格品轻还是重，选项说法错误。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查找次品方法，本题也可以用特值法验证。
【例5】
齐王与田忌赛马，他们都有上、中、下三等马，田忌每种等级的马都比齐王的马差一些，田忌要想赢齐王，他的中等马需要和齐王的什么马进行比赛？
思路引导
要使田忌获胜，可以这样安排顺序：第一场，田忌用下等马对齐王上等马，齐王胜；第二场，田忌用上等马对齐王中等马，田忌胜；第三场，田忌用中等马对齐王下等马，田忌胜。
正确解答：
可以这样安排：
这样田忌以两胜一负获胜。
答：他的中等马需要和齐王的下等马进行比赛。
田忌赛马的故事，开动脑筋，找出田忌获胜的方法，即找出三局两胜的方法是解答此题的关键；此类优化问题主要考查了简单的枚举法应用，根据已知得出所有符合要求的答案。
【变式5】
5. “田忌赛马”这个故事中只要齐王的上等马不对阵田忌的下等马，齐王就一定能获胜。（ ）
【答案】√
【解析】
【分析】“田忌赛马”这个故事中，只要齐王的上等马不对阵田忌的下等马，剩下的齐王的马，至少会赢2局；据此解答。
【详解】根据分析：“田忌赛马”这个故事中只要齐王的上等马不对阵田忌的下等马，齐王就一定能获胜。
故答案为：√
【点睛】本题考查的是优化问题中“田忌赛马”的解决方法。
极值问题
【例6】
用18厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少？
思路引导
根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是18÷2＝9厘米。显然，当长与宽的差越小，围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是5厘米，宽是4厘米时，围成的长方形面积最大。
正确解答：
5×4＝20（平方厘米）
答：围成的长方形面积最大是20平方厘米。
周长相等的长方形或正方形，长与宽相差的越小，面积就越大。
【变式6】
6. 一个长方形面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的周长最长是多少厘米？
【答案】74厘米
【解析】
【分析】，当长方形的面积一定时，长和宽的差越大，周长越长，据此解答即可。
【详解】根据长方形的面积是36平方厘米，可知当长是36厘米，宽是1厘米时，这个长方形周长最大，则：
（厘米）
答：这个长方形的周长最长是74厘米。
【点睛】本题考查因数，解答本题的关键是掌握求一个数的因数的计算方法。
【例7】
用3~6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。
思路引导
解决这个问题应考虑两点：（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能使两个数的差最小。所以应把6和5这两个数字放在十位，4和3放在个位。根据“两个因数的差越小，积越大”的规律，3应放在6的后面，4应放在5的后面。
正确解答：
63×54＝3402
答：两个两位数的最大乘积是3402。
此题主要考查了最大与最小问题，考查了分析推理能力，解答此题的关键是要掌握：乘法算式的因数越大，积就越大；因此要使两个数的乘积最大，就要使这两数尽量大，即两数差尽可能小。
【变式7】
7. 用3~8这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大。
【答案】853、764
【解析】
【分析】解决这个问题应考虑两点：（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能使两个数的差最小。所以应把8和7这两个数字放在百位，6和5放在十位，4和3放在个位。根据“两个因数的差越小，积越大”的规律，6应放在7的后面，4应放在6的后面，5应放在8的后面，3应放在5的后面。
【详解】853×764＝651692
答：要使两个三位数的乘积最大，这两个三位数分别是853、764。
【点睛】此题主要考查了最大与最小问题，考查了分析推理能力，解答此题的关键是要掌握：乘法算式的因数越大，积就越大；因此要使两个数的乘积最大，就要使这两数尽量大，即两数差尽可能小。
【例8】
某旅游团共有成人30人，学生18人。他们到某风景区观光旅游，门票价格如下。如果你是队长，你准备怎样购票最省钱？
思路引导
分别计算出两种购票形式的费用比较即可。A方式：成人票单价×人数＋学生票单价×人数＝总费用；B方式：求出总人数，总人数×团体票单价＝总费用；多考虑一种方式，即40人去买团体票，剩余学生去购买学生票，三种方式的价格进行比较，哪种钱数最少就用哪种方式购票。
正确解答：
40×30＋40÷2×18
＝1200＋360
＝1560（元）
（30＋18）×25
＝48×25
＝1200（元）
48－40＝8（人）
40×25＋40÷2×8
＝1000＋160
＝1160（元）
1160元＜1200元＜1320元
答：40人去买团体票，8个学生去买学生票最省钱。
此类推关键是将两种方案进行合理整合，让成人享受团体票的优惠，学生又能享受学生票的优惠。
【变式8】
8. 旅行社推出某景点一日游的A、B两种优惠方案（两种方案只能任选其一）。4个大人，6个小孩共约出游，选择哪种方案省钱？（通过计算说明理由）
【答案】B方案
【解析】
【分析】按照A方案，大人每人280元；小孩每人120元，4个大人和6个小孩，根据单价×数量＝总价，有数量关系：大人的人数×280＋小孩的人数×120＝总价，代入数据求出按照A方案所花费的钱数。
按照B方案，4个大人和6个小孩共10人，每人200元，用10×200求出总价为2000元，优惠后，根据分数乘法的意义，用2000×（1－）即可求出按照B方案所花费的钱数。再比较两个方案优惠后的价钱，即可得解。
【详解】A方案：4×280＋6×120
＝1120＋720
＝1840（元）
B方案：（4＋6）×200×（1－）
＝10×200×（1－）
＝2000×
＝1800（元）
1800＜1840
答：选择B方案更省钱。
【点睛】最优化问题常用比较法进行解答，分别计算出两种方案优惠后的价格，再进行比较。
一、填空题。
9. 小刚骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分钟，乙马过河需3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟，每次只能两匹马同时过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少需_______分钟．
【答案】18
【解析】
【分析】骑甲赶乙，骑回甲：3＋2＝5（分钟），再骑丙赶丁，骑乙回：7＋3＝10（分钟）；再骑甲赶乙过河不回，需3分钟，据此解答。
【详解】最少需要的时间是：3＋2＋7＋3＋3＝18（分钟）
【点睛】本题的关键是让用时最少的两匹马先过河，然后骑用时最少的回来，再把用时最多的赶过河，然后再骑用时最少的回来，然后再过河。
10. 有13袋瓜子，其中12袋质量相同，另一袋质量轻一些，用天平称，至少称（ ）次才能保证找到较轻的那袋瓜子。
【答案】3##三
【解析】
【分析】将13袋瓜子按（4，4，5）分成3份，第一次称重，在天平两边各放4袋，手里留5袋；
（1）如果天平平衡，则次品在手里。将手里的5袋分为（2，2，1），在天平两边各放2袋，手里留1袋；
如果天平平衡，则次品在手里；
如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2袋中；接下来，将这两袋分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的4袋中，将这4袋中的2袋在天平两边各放1袋，手里留2袋；
如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中；
如果天平平衡，则次品在手中的2袋中，接下来，将这两袋分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。
所以至少称3次能保证找到这袋次品瓜子。据此解答。
【详解】根据分析得，要找出13袋瓜子中质量轻一些的那一袋，用天平秤，至少称3次才能保证找到较轻的那袋瓜子。
【点睛】此题的解题关键是掌握找次品这类问题的处理方法和技巧。
11. 甲、乙、丙三人都要从A地到B地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小时可以行48千米，乙、丙步行的速度为每小时6千米，已知A、B两地相距48千米。则三人同时到达的最短时间为（ ）小时。
【答案】
【解析】
【分析】若甲先骑摩托车带乙前行，到达某处后，放下乙，返回接丙，然后带丙前行，与乙同时到达B地：设甲乙先行了x小时，则甲乙行程为48x千米，丙行程为6x千米，甲、乙和丙相距：48x－6x＝42x千米，甲丙相遇，需要：42x÷（48＋6）＝x小时，此时，乙和丙各自步行了：6×x＝x千米；甲、丙与乙的距离还是42x千米，三人同时到达，即甲丙正好追上乙，据此即可解答问题。
【详解】设甲乙先行了x小时，则甲乙行程为48x千米，丙行程为6x千米，
甲、乙和丙相距：48x－6x＝42x千米，
那么甲丙相遇，需要：42x÷（48＋6）
＝42x÷54
＝x（小时）
此时，乙和丙各自步行了：6×x＝x（千米）
甲、丙与乙的距离还是42x千米
三人同时到达，即甲丙正好追上乙，需要：
42x÷（48－6）
＝42x÷42
＝x（小时）
乙或丙的行程，就等于全程，以乙为例，列方程如下：
48x＋x＋6x＝48
解：x＋x＋x＝48
x＝48
x＝48÷
x＝
所以最短用时：
x＋x＋x
＝x＋x＋x
＝x
＝×
＝（小时）
所以三人同时到达的最短时间为小时。
【点睛】此题整体偏难，关键是弄清题意，把甲乙先行的时间设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
12. 端午节妈妈包粽子．淘米、洗粽叶要用20分钟，包粽子要用1小时30分，把粽子煮熟要用50分钟．如果想在中午12时吃到粽子，妈妈最迟从上午________时________分开始动手做．
【答案】 ①. 9 ②. 20
【解析】
【分析】根据题意可知，先求出包粽子、煮粽子一共用去的时间，然后用吃粽子的时间-包粽子和煮粽子一共用去的时间=妈妈开始动手包粽子的时间，据此列式解答.
【详解】20分+1小时30分+50分=2小时40分；
12时-2时40分=9时20分.
故答案为9；20.
13. 聪聪和明明用扑克牌的点数比大小，采用三局两胜制。聪聪按8、6、4的顺序先出牌，明明想要获胜，应该按照（ ）的顺序出牌。
【答案】3、7、5
【解析】
【分析】聪聪出8时，明明出3，聪聪赢；聪聪出6时，明明出7，明明赢；聪聪出4时，明明出5，明明赢；所以明明出牌顺序是3、7、5。
【详解】根据分析可知，聪聪按8、6、4的顺序先出牌，明明想要获胜，应该按照3、7、5的顺序出牌。
【点睛】本题是优化类题目，明明要想获胜，就要想办法赢2局，这是解答本题的关键。
14. 在网络经济飞速发展今天，消费者通过平台进行团购已经成为普遍现象。明明的爸爸妈妈准备星期天带他去吃火锅。妈妈说，她在网上发现团购代金券69元/张，可抵100元消费，每桌限用两张，不足部分用现金补齐。到饭店后发现，不用代金券可以享受七五折优惠。若一家三口吃火锅人均消费为70元，采用（ ）消费方式比较优惠。
【答案】团购代金券
【解析】
【分析】一家三口吃火锅人均消费预计为70元，那么总共花费3×70＝210元，每桌限用两张，可以用两张，花费69×2＋（210－200）元；享受七五折优惠后，花费210×75%元，比较即可判断哪种消费方式比较优惠。
【详解】3×70＝210（元）
69×2＋（210－200）
＝138＋10
＝148（元）
210×75%＝157.5（元）
因为148元＜157.5元，所以团购代金券消费方式比较优惠。
【点睛】此题应通过分析，得出最佳方案，进而列式计算得出问题结论。
15. 爸爸开车和妈妈一起从家外出办事。爸爸要去办公室取资料，妈妈要去商场购物。下图是他们的行走路线和所用时间。他们办完这些事回到家，至少需要（ ）分钟。
【答案】60
【解析】
【分析】爸爸可以先开车带着妈妈到街心花园，然后爸爸开车去取资料，这时候妈妈步行去商场购物，然后爸爸取完资料去商场接妈妈一块儿回家，据此解答。
【详解】爸爸取资料后再去商城需要的时间是：
15×2＋10＋2
＝30＋10＋2
＝40＋2
＝42（分钟）
妈妈步行去购物需要的时间是：12＋30＝42（分钟）时间相等；
所以一共用：
12＋30＋8×2＋2
＝42＋16＋2
＝58＋2
＝60（分钟）
【点睛】解答此题的关键是他们所用的时间不能重复相加。
二、选择题。
16. 已知长方形的边长为整厘米数，周长为40厘米，求此长方形最小面积是多少？解决这个问题应该考虑的问题是（ ）。
A. 把20分解成两个整数相加，两个加数相乘积最小是多少
B. 把20分解成两个因数相乘，相加最小的两个因数是多少
C. 把40分解成两个整数相加，两个加数相乘积最小是多少
D. 求40是哪两个整数的最小公倍数
【答案】A
【解析】
【分析】长方形周长公式：（长＋宽）×2，周长是40厘米，那么长方形的长＋宽＝20厘米，长方形的边长为整厘米数，长方形的面积是：长×宽，长方形的面积最小，也就是长×宽最小，已知长＋宽=20厘米，也就是把20分解成两个整数相加，它的乘积最小，即可解答。
【详解】根据长方形周长公式：（长＋宽）×2，周长＝40厘米，长＋宽＝20厘米，长方形的面积公式：长×宽，长方形面积最小，也就是长×宽最小，长＋宽＝20，就把20分解成两个加数，让这两个加数乘积最小，考虑把20分解成两个整加数，这两个加数相乘积最小。
胡答案选：A
【点睛】本题考查长方形周长公式和长方形面积公式的运用，以及求最小公倍数。
17. 小华双休日想帮妈妈做下面的事情用全自动洗衣机洗衣服要用30分，扫地要用20分，擦家具要用10分，晾衣服要用5分。她经过合理安排，做完这些事至少要花（ ）分。
A. 30B. 35C. 40D. 45
【答案】B
【解析】
【分析】用全自动洗衣机洗衣服的时间（同时扫地、擦家具）再加上晾衣服的时间，据此计算即可。
【详解】经过合理安排，做完这些事至少要花的时间为：30＋5＝35（分）。
故答案为：B
【点睛】此题的关键是明确哪些事可以同时做，然后再进一步解答。
18. 甲、乙、丙、丁四个人各拿一个水桶到自来水龙头前等候打水．甲打水要4分钟，乙打水要1分钟，丙打水要3分钟，丁打水要2分钟．怎样安排四个人的打水顺序，才能使他们花的时间最少？（ ）
A. 乙、丁、丙、甲B. 甲、乙、丙、丁C. 丙、丁、甲、乙
【答案】A
【解析】
【详解】排队和打水时间的总和最少是：1×4+2×3+3×2+4=4+6+6+4=20（分钟）
答：应该让打水用时少的先接水，即接水顺序是：1分钟、2分钟、3分钟、4分钟，乙→丁→丙→甲，最少时间是20分钟．
故选A．
19. 刘叔叔要复印一份共5张的资料，正反面都要复印，复印机一次可以放2张，复印一次要6秒，最少需要复印的次数和最少需要的时间（单位：秒）分别是（ ）。
A. 5；30B. 6；36C. 3；18D. 4；24
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，先复印第一、第二张，共需要时间（6×2）秒，再穿插复印后3张，第一次复印第三、第四张的正面，第二次复印第三张的反面和第五张的正面，第三次复印第四张的反面和第五张的反面，需要（6×3）秒；据此解题即可。。
【详解】2＋1＋1＋1＝5（次）
6×2＋6×3
＝12＋18
＝30（秒）
所以，最少需要复印的次数是5次和最少需要的时间30秒。
故答案为：A
【点睛】烙饼问题中，要使时间最短，应使每次复印机里没有空位，合理安排复印顺序。
三、解答题。
20. 两个图形的重合度＝重合面积÷（两个图形的面积和－重合面积）。例如：右图中小圆的面积是4cm2，大圆的面积是9cm2，重合部分的面积是2cm2，右图中大小两个圆的重合度是2÷（4＋9－2）＝。
根据以上描述，解答下面问题（π取3）。
（1）一个正方形和一个圆摆放在一起，有很多种摆法。小莹摆出了下面的三种。
①正方形的边长是8cm。计算图1中正方形和圆的重合度。
②上画三幅中，正方形和圆的重合度最大的是图（ ），重合度最小的是图（ ）。
（2）有两个圆，半径分别是1cm和2cm，这两个的重合度最大是（ ）。
【答案】（1）①；②2；3。（2）
【解析】
【分析】（1）①重复部分的面积是半圆的面积，圆的面积S＝πr2，正方形的面积＝边长×边长，根据两个图形的重合度＝重合面积÷（两个图形的面积和－重合面积），解答即可。
②重合的面积越大，重合度越大，据此填空。
（2）当小圆完全被覆盖时，重合度最大，根据重合度的计算方法列式解答即可。
【详解】（1）①3×（8÷2）2
＝3×16
＝48（平方厘米）
（48÷2）÷（48＋8×8－48÷2）
＝24÷88
＝
答：正方形和圆的重合度。
②上画的三幅中，正方形和圆的重合度最大的是图2，重合度最小的是图3。
（2）3×12＝3（平方米）
3÷（3×22＋3－3）
＝3÷12
＝
这两个的重合度最大是。
【点睛】此题属于创新性题目，明确重合度的含义认真解答即可。
21. 学校打算7月1日这天组织130名优秀少先队员去参观大冶南山头革命纪念馆，某运输公司有两种车辆可供选择：
大客车：限乘50人，每人票价10元，如果满座，票价可打八折；
面包车：限乘10人，每人票价12元，如果满座，票价可打七五折。
请你为学校设计一种最省钱的租车方案，并求出租车费用。
【答案】2辆大客车3辆面包车；1070元
【解析】
【分析】单价×数量＝总价，总价×折扣＝实际费用。如果大客车能坐满，同样人数，大客车比面包车省钱，所以先尽可能租大客车，保证每车都能坐满，剩下的人数租面包车，据此分析。
【详解】130÷50＝2（辆）……30（人）
30÷10＝3（辆）
50×2×10×80%＝800（元）
10×3×12×75%＝270（元）
800＋270＝1070（元）
答：租2辆大客车3辆面包车，共需1070元。
【点睛】关键是理解折扣的意义，进行组合，根据人数确定租车方案。
22. 同一种演出服在甲、乙商场的促销活动不同。李老师要买90元一套的服装105套，如果只在一家商场购买，在哪个商场买更省钱？
【答案】乙商场买更省钱。
【解析】
【分析】甲商场按“每满100减25”的方式促销，算出105套衣服的总价里面有几个100，就减几个25元；乙商场打七五折，也就是标价90元的75%，根据一个数乘分数的意义，用乘法计算；据此进一步计算出两个商场优惠后的价格，比较即可。
【详解】甲商场：（元）
（个）……50（元）
（元）
（元）
乙商场：
（元）
答：在乙商场买更省钱。
【点睛】本题考查最优化问题，解题的关键是分别计算出两个商场优惠后的价格，通过比较得出最优方案。
齐王
田忌
本场胜者
第一场
第二场
第三场
齐王
田忌
本场胜者
第一场
上等马
下等马
齐王
第二场
中等马
上等马
田忌
第三场
下等马
中等马
田忌
A：成人票每张40元学生票半价
B：满40人可购买团体票，按每张25元计算
A方案（单人）
大人每人280元；小孩每人120元。
B方案（团体）
每人200元，团体10人以上（含10人）可优惠。
齐王
田忌
本场胜者
第一场
第二场
第三场
齐王
田忌
本场胜者
第一场
上等马
下等马
齐王
第二场
中等马
上等马
田忌
第三场
下等马
中等马
田忌
A：成人票每张40元学生票半价
B：满40人可购买团体票，按每张25元计算
A方案（单人）
大人每人280元；小孩每人120元。
B方案（团体）
每人200元，团体10人以上（含10人）可优惠。