2025年小升初复习(全国通用)：知识点16和倍差问题(原卷版+解析)

这是一份2025年小升初复习(全国通用)：知识点16和倍差问题(原卷版+解析)，共18页。

和差问题
【例1】
某粮店购进大米和面粉共24吨，已知大米比面粉多6吨。这个粮店购进大米和面粉各多少吨？
思路引导
大米和面粉共24吨，大米比面粉多6吨，如果给面粉添上6吨，总质量为（24＋6）吨，正好是大米质量的2倍，可以用除法求出大米的质量。同样的道理，把大米质量减去6吨，这时的总质量为（24－6）吨，正好是面粉质量的2倍。
正确解答：
解法一：大米：（24＋6）÷2＝15（吨）
面粉：24－15＝9（吨）
解法二：面粉：（24－6）÷2＝9（吨）
大米：24－9＝15（吨）
答：这个粮店购进大米15吨，面粉9吨。
解答和差问题的关键：首先找出两个数的和是多少，然后找出这两个数的差是多少，再用两数和加上两数差等于大数的2倍，可求出大数，或者用两数和减去两数差等于小数的2倍，可求出小数。如果以上两数和或两数差没有直接给出，必须根据已知条件先求出来。
变式1】
1. 甲、乙两班共有学生98人，从甲班调出4人到乙班后，两班人数相等。两班原来各有多少人？
和倍问题
【例2】甲班和乙班共有图书160本。甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
思路引导
设：乙班的图书本数为1倍数，则甲班图书为3倍数，那么甲班和乙班图书本数的和是4倍数。4倍数的数量是160本，可以求出1倍数，即乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数。下图表示它们的关系：
正确解答：
160÷（3＋1）＝40（本）乙班
40×3＝120（本）或160－40＝120（本）甲班
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。
【变式2】
（2022六上·江苏南京）
2. 南京长江大桥是长江上第一座由我国自行设计和建造的双层式铁路、公路两用桥，它的主桥比南昌八一大桥主桥长得多，这两座桥主桥共长5630米。两座大桥的主桥各长多少米？
差倍问题
【例3】
甲班的图书本数比乙班80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
思路引导
如图：把乙班的图书本数看作1倍数，则甲班的图书本数是3倍数，那么甲班的图书本数比乙班多2倍数。又知“甲班的图书比乙班多80本”，即2倍数与80本相对应，可以理解为2倍数是80，这样可以算出1倍数是多少本。最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。
正确解答：
80（3－1）＝40（本）乙班
403＝120（本）或40＋80＝120（本）甲班
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍数，再画图确定解题方法。被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍数，然后求出另一个数，最后答题和验算。
【变式3】
（2022六上·广东珠海）
3. 甲、乙两个数，如果甲数加上320就等于乙数了。如果乙数加上460就等于甲数的3倍，两个数各是多少？
一、填空。
（2021六下·湖南长沙）
4. 两杯橙汁一共980g，将多的一杯中的橙汁倒入另一杯40g，两杯的橙汁就一样多了，则原来两杯橙汁分别是（ ）g和（ ）g。
（2021六下·浙江金华）
5. 果园里有苹果树和梨树一共1690棵，苹果树的棵数是梨树的9倍，果园里苹果树有（ ）棵，梨树有（ ）棵。
（2022六下·湖南长沙）
6. 有两杯饮料，第一杯比第一杯多85毫升，两杯同时倒掉30毫升后，第一杯剩下是第二杯的2倍，则原来两杯中共有（ ）毫升饮料。
（2022六下·福建三明）
7. 一个小数的小数点向右移动一位后，与原小数的和是12.1，原来这个小数是________。
（2022六下·江苏苏州）
8. 用一根60cm长的铁丝搭一个长大方体框架，搭成的长方体的长、宽、高的厘米数是3个连续的奇数，搭成的长方体的体积是（ ）cm3。
二、解决问题。
（2020六下·江苏苏州）
9. 在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是200，减数比差小40，被减数和减数是多少？
（2022六下·天津）
10. 学校购买防疫物口罩和消毒液共花2.45万元，口罩花钱是消毒液的2.5倍，口罩花了多少钱？（先在线段图中画出题中的已知条件和所求问题，再列综合算式计算。）
（2021六下·山东济南）
11. 佳佳和小华折纸星星，佳佳折的个数是小华的6倍，若佳佳给小华36个，则小华比佳佳多2个。佳佳和小华原来各折了多少个纸星星？
（2020六下·山西阳泉）
12. 剪纸艺术是最古老中国民间艺术之一，春节贴福字、贴窗花是我国的传统习俗。福字和春字各剪了多少个？（先画一画，再解答。）
（2021六下·上海）
13. 秋天到了，橘子成熟了小明与爸爸、妈妈一起去果园摘橘子，他们三人一共摘了78个橘子，爸爸比妈妈多摘11个，小明比妈妈少摘2个。他们三人各摘橘子多少个？（先用线段图表示题意，再解答。）
（2021六下·江苏盐城）
14. 端午佳节，明都社区给敬老院送去些肉粽和蜜粽，共3箱，每箱80个，第一箱里的肉粽与第二箱里的蜜粽同样多，第三箱里肉粽比蜜粽多10个。这三箱粽里一共有多少个肉粽？
（2021六下·福建福清）
15. 原创文化类电视节目《中国诗词大会》的热播，带领人们重温经典诗词，感受传统文化的魅力。某学校图书馆购进了与本节目同步出版的书籍《中国诗词大会》，《中国诗词大会》的本数是《人间词话》的3倍，______，《中国诗词大会》和《人间词话》各有多少本？（先选择条件把序号写在横线上，再解答）
条件：
①《中国诗词大会》和《人间词话》共有180本；②《中国诗词大会》比《人间词话》多90本。
第十六节：典型应用题（一）和倍差问题
和差问题
【例1】
某粮店购进大米和面粉共24吨，已知大米比面粉多6吨。这个粮店购进大米和面粉各多少吨？
思路引导
大米和面粉共24吨，大米比面粉多6吨，如果给面粉添上6吨，总质量为（24＋6）吨，正好是大米质量的2倍，可以用除法求出大米的质量。同样的道理，把大米质量减去6吨，这时的总质量为（24－6）吨，正好是面粉质量的2倍。
正确解答：
解法一：大米：（24＋6）÷2＝15（吨）
面粉：24－15＝9（吨）
解法二：面粉：（24－6）÷2＝9（吨）
大米：24－9＝15（吨）
答：这个粮店购进大米15吨，面粉9吨。
解答和差问题关键：首先找出两个数的和是多少，然后找出这两个数的差是多少，再用两数和加上两数差等于大数的2倍，可求出大数，或者用两数和减去两数差等于小数的2倍，可求出小数。如果以上两数和或两数差没有直接给出，必须根据已知条件先求出来。
【变式1】
1. 甲、乙两班共有学生98人，从甲班调出4人到乙班后，两班人数相等。两班原来各有多少人？
【答案】甲班53人，乙班45人
【解析】
【分析】甲、乙两班共有学生98人，从甲班调出4人到乙班后，两班人数相等。那么可以设甲班有x人，则乙班有（98－x）人，列方程为：x－4＝98－x＋4，解得x＝53，即甲班有53人，那么乙班有98－53＝45人，据此解答。
【详解】解：设甲班有x人，则乙班有（98－x）人，
x－4＝98－x＋4
x－4＝102－x
x－4＋4＝102－x＋4
x＝106－x
x＋x＝106－x＋x
2x＝106
2x÷2＝106÷2
x＝53
98－53＝45（人）
答：原来甲班53人，乙班45人。
【点睛】本题考查用简易方程解决实际问题。
和倍问题
【例2】甲班和乙班共有图书160本。甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
思路引导
设：乙班的图书本数为1倍数，则甲班图书为3倍数，那么甲班和乙班图书本数的和是4倍数。4倍数的数量是160本，可以求出1倍数，即乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数。下图表示它们的关系：
正确解答：
160÷（3＋1）＝40（本）乙班
40×3＝120（本）或160－40＝120（本）甲班
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。
【变式2】
（2022六上·江苏南京）
2. 南京长江大桥是长江上第一座由我国自行设计和建造的双层式铁路、公路两用桥，它的主桥比南昌八一大桥主桥长得多，这两座桥主桥共长5630米。两座大桥的主桥各长多少米？
【答案】南京长江大桥4590米；南昌八一大桥1040米
【解析】
【分析】把南京长江大桥主桥长度看作“1”，南昌八一大桥主桥长度占“1”的，根据两座桥主桥共长5630米，可以计算出南京长江大桥主桥长度，最后计算南昌八一大桥主桥长度即可。
【详解】南京长江大桥：5630÷（1＋）
＝5630÷
＝5630×
＝4590（米）
南昌八一大桥：5630－4590＝1040（米）
答：南京长江大桥主桥长4590米，南昌八一大桥主桥长1040米。
【点睛】掌握单位“1”的计算方法是解答题目的关键。
差倍问题
【例3】
甲班的图书本数比乙班80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
思路引导
如图：把乙班的图书本数看作1倍数，则甲班的图书本数是3倍数，那么甲班的图书本数比乙班多2倍数。又知“甲班的图书比乙班多80本”，即2倍数与80本相对应，可以理解为2倍数是80，这样可以算出1倍数是多少本。最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。
正确解答：
80（3－1）＝40（本）乙班
403＝120（本）或40＋80＝120（本）甲班
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍数，再画图确定解题方法。被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍数，然后求出另一个数，最后答题和验算。
【变式3】
（2022六上·广东珠海）
3. 甲、乙两个数，如果甲数加上320就等于乙数了。如果乙数加上460就等于甲数的3倍，两个数各是多少？
【答案】甲数为390，乙数为710
【解析】
【分析】如果甲数加上320就等于乙数，则甲数＋320＝乙数，如果乙数加上460就等于甲数的3倍，则乙数＋460＝甲数×3，设甲数为x，乙数为（x＋320），据此列方程为x＋320＋460＝3x，然后解出方程即可。
【详解】解：设甲数为x，乙数为（x＋320）。
x＋320＋460＝3x
x＋320＋460－x＝3x－x
320＋460＝2x
780＝2x
2x＝780
2x÷2＝780÷2
x＝390
390＋320＝710
答：甲数为390，乙数为710。
【点睛】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。
一、填空。
（2021六下·湖南长沙）
4. 两杯橙汁一共980g，将多一杯中的橙汁倒入另一杯40g，两杯的橙汁就一样多了，则原来两杯橙汁分别是（ ）g和（ ）g。
【答案】 ①. 530 ②. 450
【解析】
【分析】将多的一杯中的橙汁倒入另一杯40g，两杯的橙汁就一样多了，那么多的一杯比少的一杯多40＋40＝80（g），然后再根据和差公式进行解答。
【详解】40＋40＝80（g）
（980＋80）÷2
＝1060÷2
＝530（g）
980－530＝450（g）
原来两杯橙汁分别是530g和450g。
【点睛】本题关键是根据题意，求出两杯橙汁的质量差，然后再根据和差公式：（和＋差）÷2＝较大数进行解答。
（2021六下·浙江金华）
5. 果园里有苹果树和梨树一共1690棵，苹果树的棵数是梨树的9倍，果园里苹果树有（ ）棵，梨树有（ ）棵。
【答案】 ①. 1521 ②. 169
【解析】
【分析】由题意可知，设梨树有x棵，则苹果树有9x棵，根据等量关系：苹果树的棵数＋梨树的棵数＝1690，据此列方程解答即可。
【详解】解：设梨树有x棵，则苹果树有9x棵。
x＋9x＝1690
10x＝1690
10x÷10＝1690÷10
x＝169
169×9＝1521（棵）
则梨树有169棵，苹果树有1521棵。
【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。
（2022六下·湖南长沙）
6. 有两杯饮料，第一杯比第一杯多85毫升，两杯同时倒掉30毫升后，第一杯剩下的是第二杯的2倍，则原来两杯中共有（ ）毫升饮料。
【答案】315
【解析】
【分析】观察题意可知，第一杯比第一杯多85毫升，两杯同时倒掉30毫升后，两杯剩下的差不变，已知第一杯剩下的是第二杯的2倍，则第一杯剩下的比第二杯多1倍，用85÷（2－1）即可求出第二杯剩下的量，再乘2即可求出第一杯剩下的量，然后将两杯剩下的量分别加上30毫升，即可求出两杯原来各自的量，最后相加即可。
【详解】第二杯剩下的量：85÷（2－1）
＝85÷1
＝85（毫升）
第一杯剩下量：85×2＝170（毫升）
第一杯原来的量：170＋30＝200（毫升）
第二杯原来的量：85＋30＝115（毫升）
总共：200＋115＝315（毫升）
原来两杯中共有315毫升饮料。
【点睛】本题主要考查了差倍问题的应用，关键是抓出差不变。
（2022六下·福建三明）
7. 一个小数的小数点向右移动一位后，与原小数的和是12.1，原来这个小数是________。
【答案】1.1
【解析】
【分析】小数点向右移动一位原小数扩大10倍，即和就是原数的11倍，据此分析解答。
【详解】由分析得：
12.1÷（10＋1）
＝12.1÷11
＝1.1
即原来这个小数是1.1。
（2022六下·江苏苏州）
8. 用一根60cm长的铁丝搭一个长大方体框架，搭成的长方体的长、宽、高的厘米数是3个连续的奇数，搭成的长方体的体积是（ ）cm3。
【答案】105
【解析】
【分析】由题意可知，铁丝的长度就是长方体的总棱长，根据长方体的总棱长＝（长＋宽＋高）×4，据此求出长方体的长、宽和高的和，再用它们的和除以3即可求出其中一个数，再用这个数减去2和加上2即可求出长方体的长、宽和高，最后根据长方体的体积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可。
【详解】60÷4＝15（cm）
15÷3＝5（cm）
5－2＝3（cm）
5＋2＝7（cm）
5×3×7
＝15×7
＝105（cm3）
则搭成的长方体的体积是105cm3。
【点睛】本题考查长方体的总棱长和体积，熟记公式是解题的关键。
二、解决问题。
（2020六下·江苏苏州）
9. 在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是200，减数比差小40，被减数和减数是多少？
【答案】被减数是100，减数是30
【解析】
【分析】被减数、减数与差的和是200，被减数是100，减数与差的和是100，减数与差的差是40，按照和差问题求解。
【详解】如图所示：
答：被减数是100，减数是30。
【点睛】被减数、减数、差的和是被减数的2倍，这是解题的关键。
（2022六下·天津）
10. 学校购买防疫物口罩和消毒液共花2.45万元，口罩花的钱是消毒液的2.5倍，口罩花了多少钱？（先在线段图中画出题中的已知条件和所求问题，再列综合算式计算。）
【答案】1.75万元
【解析】
【分析】由“口罩和消毒液共花2.45万元，口罩花的钱是消毒液的2.5倍”可得：消毒液钱数的（1＋2.5）倍是2.45万元，由此可得：消毒液的钱数是2.45÷（1＋2.5）＝0.7万元，再乘2.5得出口罩的钱数。
【详解】画图如下：
2.45÷（2.5＋1）×2.5
＝2.45÷3.5×2.5
＝0.7×2.5
＝1.75（万元）
答：口罩花了1.75万元。
【点睛】本题主要考查和倍问题，解答方法：小数＝和÷（倍数＋1）；大数＝小数×倍数＝和－小数。
（2021六下·山东济南）
11. 佳佳和小华折纸星星，佳佳折的个数是小华的6倍，若佳佳给小华36个，则小华比佳佳多2个。佳佳和小华原来各折了多少个纸星星？
【答案】小华折了14个，佳佳折了84个
【解析】
【分析】由题意可知，设小华折了x个，则佳佳折了6x个，根据等量关系：佳佳折个数－36＝小华折的个数＋36－2，据此列方程解答即可。
【详解】解：设小华折了x个，则佳佳折了6x个。
6x－36＝x＋36－2
6x－36＝x＋34
6x－36＋36＝x＋34＋36
6x＝x＋70
6x－x＝x＋70－x
5x＝70
5x÷5＝70÷5
x＝14
14×6＝84（个）
答：小华折了14个，佳佳折了84个。
【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。
（2020六下·山西阳泉）
12. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，春节贴福字、贴窗花是我国的传统习俗。福字和春字各剪了多少个？（先画一画，再解答。）
【答案】福字剪了42个；春字剪了26个
【解析】
【分析】已知数量一共有68个，再剪16个春字，福字和春字的数量一样多，则总数量变为（68＋16）个，除以2即可求出福字的数量，然后用68减去福字的数量，即可求出春字的实际数量。
【详解】如图：
福：（68＋16）÷2
＝84÷2
＝42（个）
春：68－42＝26（个）
答：福字剪了42个；春字剪了26个。
【点睛】本题主要考查了和差问题，关键是求出它们的总量是解题的关键。
（2021六下·上海）
13. 秋天到了，橘子成熟了。小明与爸爸、妈妈一起去果园摘橘子，他们三人一共摘了78个橘子，爸爸比妈妈多摘11个，小明比妈妈少摘2个。他们三人各摘橘子多少个？（先用线段图表示题意，再解答。）
【答案】图见详解；妈妈摘了23个，爸爸摘了34个，小明摘了21个
【解析】
【分析】可以设妈妈摘了x个，则爸爸摘了（x＋11）个，小明摘了（x－2）个，于是依据“他们三人一共摘了78个橘子”这个等量关系，即可列方程求解。
【详解】作图如下：
解：设妈妈摘了x个，则爸爸摘了（x＋11）个，小明摘了（x－2）个，
x＋（x＋11）＋x－2＝78
2x＋x＋11－2＝78
3x＋9＝78
3x＋9－9＝78－9
3x＝69
3x÷3＝69÷3
x＝23
23＋11＝34（个）
23－2＝21（个）
答：妈妈摘了23个，爸爸摘了34个，小明摘了21个。
【点睛】解答此题的关键是：分析题意，弄清楚数量间的关系，得出等量关系式，问题即可得解。
（2021六下·江苏盐城）
14. 端午佳节，明都社区给敬老院送去些肉粽和蜜粽，共3箱，每箱80个，第一箱里的肉粽与第二箱里的蜜粽同样多，第三箱里肉粽比蜜粽多10个。这三箱粽里一共有多少个肉粽？
【答案】125个
【解析】
【分析】根据题意可知，每箱80个，第一箱的肉粽＝第二箱的蜜粽，第二箱的肉粽＋第二箱的蜜粽＝80个，则第二箱的肉粽＋第一箱的肉粽＝80个，已知第三箱的肉粽比第三箱的蜜粽多10个，则第三箱的肉粽＝第三箱的蜜粽＋10，第三箱的肉粽＋第三箱的蜜粽＝80，设第三箱蜜粽有x个，第三箱肉粽有（x＋10）个，列方程为x＋x＋10＝80，然后解出方程，进而求出第三箱肉粽的个数，再加上80即可求出肉粽的总个数。
【详解】解：设第三箱蜜粽有x个，第三箱肉粽有（x＋10）个。
x＋x＋10＝80
2x＋10＝80
2x＋10－10＝80－10
2x＝70
2x÷2＝70÷2
x＝35
35＋10＝45（个）
45＋80＝125（个）
答：这三箱粽里一共有125个肉粽。
【点睛】本题可列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。
（2021六下·福建福清）
15. 原创文化类电视节目《中国诗词大会》的热播，带领人们重温经典诗词，感受传统文化的魅力。某学校图书馆购进了与本节目同步出版的书籍《中国诗词大会》，《中国诗词大会》的本数是《人间词话》的3倍，______，《中国诗词大会》和《人间词话》各有多少本？（先选择条件把序号写在横线上，再解答）
条件：
①《中国诗词大会》和《人间词话》共有180本；②《中国诗词大会》比《人间词话》多90本。
【答案】选①；《中国诗词大会》有135本；《人间词话》有45本
【解析】
【分析】《中国诗词大会》的本数是《人间词话》的3倍，《中国诗词大会》和《人间词话》共是《人间词话》的3＋1倍，再用180除以（3＋1）得出《人间词话》的本数，再乘3得《中国诗词大会》的本数。
详解】180÷（3＋1）
＝180÷4
＝45（本）
45×3＝135（本）
答：《中国诗词大会》有135本，《人间词话》有45本。
【点睛】此题考查的是和倍问题，掌握数量和÷份数和＝1份数量是解题关键。