专题三 三角函数与解三角形——高考数学二轮复习专题进阶训练

这是一份专题三 三角函数与解三角形——高考数学二轮复习专题进阶训练，共20页。试卷主要包含了已知函数，，则等内容，欢迎下载使用。
基础题
1.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，它的图象关于y轴对称，则的值可以为( )
A.B.C.D.
2.一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形半径为( )
A.4B.1C.D.2
3.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则( )
A.B.C.或D.2或
4.音叉由钢质或铝合金材料所制成，由两个振动臂（叉臂）和一个叉柄组成（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定的值为( )
A.200B.400C.D.
5.已知角的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将角的终边绕O点顺时针旋转后，经过点，则( )
A.B.C.D.
6.（多选）已知函数，，则( )
A.是最小正周期为的奇函数B.最小值为，最大值为
C.最小值为0，最大值为D.是最小正周期为的偶函数
7.（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，，则a的可能取值为( )
A.1B.C.D.
8.已知为锐角，且满足，则__________.
9.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则___________.
10.在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边的长，已知，，，则边的长是__________.
中等题
11.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为S，且，，则外接圆的面积为( )
A.B.C.D.
12.若将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度，所得图象过点，则的最小值为( )
A.1B.2C.D.
13.已知函数，若在区间内没有解，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
14.若，则( )
A.B.0C.D.1
15.已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到.若在上恰有5个解，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
16.（多选）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若边BC的中线，则下列结论正确的有( )
A.B.
C.D.的面积为
17.（多选）设函数，则( )
A.的最小正周期为
B.是图象的一个对称中心
C.的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为偶函数
D.先将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象
18.已知函数（，）为偶函数，且在区间上没有最小值，则的取值范围是__________.
19.已知，求的值为__________.
20.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的外接圆半径为R，且，.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的周长.
拓展题
21.已知，满足，，则的值为( )
A.B.C.D.
22.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为，则估算黄鹤楼的高度CD为( )
A.B.C.D.
23.已知函数，，则存在，使得( )
A.B.
C.D.
24.在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
25.已知函数，的一个零点是，函数图象的一条对称轴是直线，则当取得最小值时，函数的单调递增区间是( )
A.B.
C.D.
26.（多选）设函数，已知在上有且仅有4个实根，则( )
A.的取值范围是
B.的图象与直线在上的交点恰有2个
C.的图象与直线在上的交点恰有2个
D.在上单调递减
27.（多选）定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作.定义：为一组数据，，…，相对于常数的“正弦方差”.若，一组数据0，相对于的“正弦方差”为，则的取值可能是( )
A.B.C.D.
28.已知函数在上单调，，则的可能取值为__________.
29.在中，角A，，C所对的边分别为a，b，c，，D是边AC上一点，且，，若为钝角，则当最小时，__________.
30.如图，在四边形ABCD中，，，，，M为边BC的中点.
（1）若，求的面积；
（2）当变化时，求DM长度的最大值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意，得，它的图象关于y轴对称，则，，所以，，当时，.故选B.
2.答案：D
解析：圆心角为，设扇形的半径为R，
，解得.故选D.
3.答案：C
解析：在中，，，，由余弦定理得，
，即，解得或，故选C.
4.答案：D
解析：由题图可得，，即，则.故选D.
5.答案：B
解析：角的终边绕O点顺时针旋转后得到的角为，由三角函数的定义，可得，，.
6.答案：CD
解析：因为，所以的最小正周期为，且为偶函数，最小值为0，最大值为.
7.答案：AD
解析：因为，所以，即.
当，即时，因为，，所以；
当时，，由正弦定理可得，由余弦定理可得，解得（负值舍去）.
综上，或.故选AD.
8.答案：
解析：因为，所以，即.因为为锐角，所以，所以.
9.答案：
解析：由题意，得，又是偶函数，所以，，解得，.因为，所以.
10.答案：8
解析：因为，，所以，.又因为，所以.又因为，在中，由正弦定理得.
11.答案：B
解析：由及，得，所以，即，于是有.因为，所以，所以外接圆的半径为，所以外接圆的面积为.故选B.
12.答案：C
解析：由题意，得，因为函数的图象过点，所以，即，则或，，得或，.又，当时，的最小值为.
13.答案：D
解析：若，则，因为在区间内没有解，所以，解得.（【另解】由，得，又在区间内没有解，所以，解得.）又所以.又，所以或0.当时，；当时，.综上，或，故选D.
14.答案：B
解析：因为，所以，即，则，故.所以，则，即.故选B.
15.答案：D
解析：将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到的图象.若在上恰有5个解，因为，所以，得.故的取值范围是.（【另解】由，得，，当时，根在内，故，解得.）
16.答案：ACD
解析：根据正弦定理，由，因为，所以，因此.因为，所以，因此选项A正确，选项B不正确；
因为是中线，所以.
或（舍去）.因此，所以选项C正确；
的面积为，所以选项D正确，故选ACD.
17.答案：BCD
解析：因为，所以的最小正周期，故A错误；，所以是图象的一个对称中心，故B正确；的图象向左平移个单位长度后得到的图象，此时函数为偶函数，故C正确；先将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，即函数的图象，故D正确.
18.答案：
解析：因为（，）为偶函数，所以，所以.令，，则，因为在区间上没有最小值，所以函数在时没有最小值，所以所以.
19.答案：
解析：.因为，所以为第一或第二象限角.当为第一象限角时，，则原式；当为第二象限角时，，则原式.
20.答案：（1）
（2）
解析：（1）由，
结合正弦定理，
得，
化简得，
故.
又，所以，
因此.
（2）由（1）知，，
则，
由正弦定理得，
令，则，，
则，解得，
因此的周长为.
21.答案：A
解析：因为，所以，即，显然，两边同时除以得，即，即，则，，故选A.
22.答案：C
解析：在中，，在中，，，所以，由正弦定理，得，在中，.所以估算黄鹤楼的高度CD为，故选C.
23.答案：C
解析：当时，，，所以，即，故排除A，D.
对于B，设，则.因为当时，，所以，即，所以在上单调递减，.又当时，，，所以，所以，即，故B错误.
对于C，令，因为，，且函数的图象是连续不断的，所以函数在内存在零点，即存在，使得，即存在，使得，故C正确，选C.
24.答案：B
解析：因为，由正弦定理可得，，又，所以，所以，所以，即.又是锐角三角形，所以，则，，所以，即，所以，解得.所以.又，所以，则，则，即，故选B.
25.答案：B
解析：依题意得，即，解得或（其中）.①
又，即（其中）.②
由得或，
即或（其中），又，所以的最小值为.因为，所以.
又，所以，
所以，
令，则.
因此当取得最小值时，的单调递增区间是.
26.答案：AB
解析：当时，，由题可知在上有且仅有4个零点，所以，解得，故A正确；由以上分析可知，函数在上有且仅有4个零点，且，则在上，出现两次最大值，此时函数的大致图象如图所示，即在上出现两次最大值1，即的图象与直线在上的交点恰有2个，故B正确；
由于当时，，，当时，取最小值，但是否取到不确定，故的图象与直线在上的交点可能是1个或2个，故C错误；当时，，因为，所以，，故的值不一定小于，所以在上不一定单调递减，故D错误.
27.答案：BCD
解析：由正矢和余矢的定义可得，由题知
.
因为，所以，所以，
所以，，
而，故的值域为.
因为，所以函数值不可能取.函数的最大值是，而，故，即，故函数值可取BCD.
28.答案：或或
解析：设的最小正周期为T，由函数在上单调，得，所以.由以及函数在上单调，得.由，，，得或或.若，即，则，满足题意.若，即，则，满足题意.若，即，则，满足题意.故的可能取值为或或.
29.答案：
解析：在中，由，得，又，，，
所以，.
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.此时，，，.
在中，由余弦定理得，，即，解得或，因为中，是钝角，所以，所以.
30.答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，由余弦定理，得.
取AC中点N，连接DN，MN，如图所示，，，N为AC的中点，，.
则的面积.
（2）设，，，N分别为边BC，AC的中点，，，，在中，由余弦定理，得.
由正弦定理，得.
在中，，
由余弦定理，得，
令，，，，
则，.
令，易知在上单调递增，当时，的最大值为，.长度的最大值为.