专题五 数列——高考数学二轮复习专题进阶训练

这是一份专题五 数列——高考数学二轮复习专题进阶训练，共16页。试卷主要包含了在等差数列中，，则的值为，已知数列中，，，，则，记等差数列的前n项和为，，，则，定义“等和数列”，已知等比数列满足等内容，欢迎下载使用。
基础题
1.在等差数列中，，则的值为( )
A.45B.75C.180D.300
2.已知数列中，，，，则( )
A.B.C.1D.2
3.在等比数列中，首项，公比，若，则( )
A.3B.4C.5D.6
4.记等差数列的前n项和为，，，则( )
A.120B.140C.160D.180
5.已知数列满足，，则数列的前n项和( )
A.B.C.D.
6.（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的有( )
A.a，b，c依次构成公比为2的等比数列
B.a，b，c依次构成公比为的等比数列
C.
D.
7.（多选）已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是( )
A.数列的首项为1B.
C.D.数列的公比为
8.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2023项和__________.
9.已知等比数列满足：，，则的值为_________.
10.已知数列是公比为的等比数列，为的前n项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前n项和，求数列的前n项和.
中等题
11.正项等比数列的前n项和为，，，则( )
A.90B.50C.40D.30
12.数列的通项公式为，前n项和为，则( )
A.B.4950C.D.5050
13.已知等比数列的前n项的乘积记为，若，则( )
A.1024B.2048C.4096D.8192
14.南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中后一项与前一项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列.现有二阶等差数列，其前7项依次为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第20项为( )
A.324B.325C.362D.399
15.设正项数列的前n项和为，数列的前n项积为，且，则( )
A.B.C.D.
16.（多选）在数列中，若，，则下列结论正确的有( )
A.为等差数列B.的前n项和
C.的通项公式为D.的最小值为
17.（多选）已知数列的前n项和为，，则( )
A.B.
C.数列是等比数列D.数列的前n项和为
18.已知等比数列的前n项和为，数列为等差数列，则的公比__________.
19.已知函数满足.若数列满足，则数列的前16项和为__________.
20.已知数列的通项公式为，其前n项和为.
（1）若，求正整数n；
（2）若，求数列的前n项和.
拓展题
21.已知数列满足，，设，若，则正整数m的最大值为( )
A.672B.673C.674D.675
22.对于数列，定义为的“最优值”.现已知数列的“最优值”，记数列的前n项和为，则( )
A.2021B.2022C.2023D.2024
23.小红在手工课上设计了一个剪纸图案，她先在一个半径为r的圆纸片上画一个内接正方形，再画该正方形的内切圆，依次重复以上画法，得到了一幅由6个圆和6个正方形构成的图案，依次剪去夹在正方形及其内切圆之间的部分，并剪去最小正方形内的部分，得到如图所示的一幅剪纸，则该图案（阴影部分）的面积为( )
A.B.C.D.
24.已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，设，数列的前n项和为，则满足的正整数n的最小值为( )
A.15B.16C.3D.4
25.已知数列满足，，且数列的前n项和.若，则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
26.（多选）定义为数列的“优值”.已知某数列的“优值”，前n项和为，则( )
A.数列为等差数列
B.数列为递减数列
C.
D.，，成等差数列
27.（多选）对于正整数n，是小于n且与n互质的正整数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.例如，则( )
A.B.数列为等比数列
C.数列不具有单调性D.数列的前n项和恒小于4
28.若数列满足，则称是“紧密数列”.设数列是公比为q的等比数列，其前n项和为，若数列与都是“紧密数列”，则实数q的取值范围为__________.
29.外观数列是一类有趣的数列，该数列的首项是正整数，从第2项开始，后一项是前一项的外观描述.例如：首项为1，其外观描述为“1个1”，则第2项为11；第2项的外观描述为“2个1”，则第3项为21；第3项的外观描述为“1个2，1个1”，则第4项为1211；第4项的外观描述为“1个1，1个2，2个1”，则第5项为111221……这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出后面的项.对于外观数列，下列说法正确的是__________（填序号）.
①若，则从第4项开始出现数字2；
②若，则的最后一位数字均为k；
③不可能为等差数列或等比数列；
④若，则均不包含数字4.
30.若项数为的数列满足：①，对恒成立；
②当时，（d为常数），则称为“山顶数列”.
（1）若数列为“山顶数列”且，求的通项公式；
（2）若数列为“山顶数列”且，记为数列的前n项和，求.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由，得，则.故选C.
2.答案：B
解析：因为，所以，.
3.答案：D
解析：因为，所以，所以.故选D.
4.答案：C
解析：设的公差为d，则由题意得解得所以.
5.答案：C
解析：因为，
所以，则，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，故选C.
6.答案：BD
解析：由条件，知a，b，c依次构成公比为的等比数列.又，所以，所以，.
7.答案：BCD
解析：设的公差为d，由，得，，不确定，A错误，B正确；，，，，，C正确，D正确.故选BCD.
8.答案：1010
解析：由等和数列的概念可得，，，…，，所以.
9.答案：10
解析：因为为等比数列，所以，
.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1），，解得或（舍去），
又，解得，.
（2），，
.
11.答案：B
解析：因为是正项等比数列的前n项和，所以，所以.
又因为，，所以，，所以，解得或（舍）.故选B.
12.答案：B
解析：.故选B.
13.答案：C
解析：设等比数列的公比为.由可知，即，所以，即.
又因为，所以，即，所以，所以，所以.
14.答案：C
解析：设该数列为，则由，，，，…
可知该数列逐项之差构成的数列成等差数列，首项为1，公差为2，故，故，则，，，…，，上述个式子相加，得，即，故.故选C.
15.答案：B
解析：当时，，解得；当时，由得时，即，，数列是以为首项，2为公差的等差数列，，即，
当时，.
经检验，满足，
，，故选B.
16.答案：ABC
解析：因为，易知，所以，所以是首项为，公差为3的等差数列，故A正确；
由A知，，所以的前n项和，故B正确；
由B可知，所以，故C正确；因为，，所以的最小值不为，故D错误.故选ABC.
17.答案：ACD
解析：因为①，所以②，两式作差，得，所以，，即.因为，所以，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，则，.由上述内容可知，选项A，C正确.当时，，选项B错误.因为，，，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则数列的前n项和为，选项D正确.
18.答案：1或
解析：由数列为等差数列得，当时，，即，则.又，则，解得或.
19.答案：76
解析：由，①
得，②
又因为，
所以由得，所以，
所以的前16项和
.
20.答案：（1）
（2）
解析：（1）由，知，，
所以数列是首项，公差的等差数列，
则，
令，解得或，
因为n是正整数，所以.
（2），
所以
，
即数列的前n项和.
21.答案：C
解析：由数列满足，，可知，又，故数列为递增数列.由，可知时，.因为，所以，所以，
.因为，所以，所以，故正整数m的最大值为674.
22.答案：D
解析：因为，且，所以.当时，有，两式相减可得，所以.当时，，满足上式，所以.所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，所以，所以.故选D.
23.答案：C
解析：将6个圆从外到内依次记为，，将6个正方形从外到内依次记为，，记6次形成的阴影部分从外到内的面积依次为，其中表示的半径.
由题意可知，，…，，，故半径成等比数列，且公比为，，，所以，，故为等比数列，且首项为，公比为，所以，故选C.
24.答案：A
解析：由题意可得，，且当时，，则，当时，，则，可得，所以.当时，将中的用替换，则，则，又也成立，故是首项、公差均为1的等差数列，则，即.又，所以，即，故满足的正整数n的最小值为15.
25.答案：B
解析：由，，得，即，所以是等差数列，公差为，首项为，所以，则，所以数列的前n项和为①，②，由可得，即，由，得，因为单调递增，所以当时，的值最小，即，所以，所以实数的取值范围为.
26.答案：AC
解析：由，得①，所以当时，②，①-②得当时，，即当时，.当时，由①知，满足，所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B错误.又，所以，故C正确.，，，故D错误.
27.答案：BCD
解析：因为7为质数，所以小于或等于且与不互质的正整数为7，，，…，，共有个，所以小于且与互质的正整数个数为，即，故A错误.类比选项A，知小于且与互质的正整数个数为，即，所以数列为等比数列，故B正确.因为，，所以，故数列不是递增数列，又，所以数列不是递减数列，所以数列不具有单调性，故C正确.类比选项A，知，则，记数列的前n项和为，则，则，两式相减得，所以，故D正确.
28.答案：
解析：当时，，，则，.因为数列是“紧密数列”，所以或.当时，，，所以，满足题意.当时，，不满足题意.当时，，，则，，所以数列与均是“紧密数列”.综上，实数q的取值范围为.
29.答案：②④
解析：对于①，由，得，，不含数字2，故①错误.对于②，由外观数列的定义，每次都是从左到右描述，故始终在最右边，即的最后一位数字为k，故②正确.对于③，取，则，此时数列既是等差数列，也是等比数列，故③错误.对于④，由，得，，，设（，）中首次出现数字4，则中必出现了4个连续的相同数字，如时，，则在的外观描述中必包含“1个1，1个1”，即，但此时的外观描述应为“2个1”，矛盾，不符合题意；同理，当时，均不符合题意，故均不包含数字4，故④正确.
30.答案：（1）
（2）
解析：（1）数列为“山顶数列”，则项数为39项，
当时，数列是以1为首项，公差为1的等差数列，
则，
当时，，则，
综上，
（2）由（1）可得
则令，
则，
则，
两式相减得，
即，
化简得，
即.