2025年中职对口升学数学模拟卷（5）-江西省（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷( 选择题共 70分)
是非选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题做出判断，对的选A, 错的选B.
1．若集合，，则．( )
【答案】A
【分析】根据集合与集合之间的关系即可判断.
【详解】因为N为自然数集，所以集合，
又因为集合，所以.
故答案为：A.
2．复数（i为虚数单位）的实部是3，虚部是．( )
【答案】B
【分析】根据复数实部与虚部的定义判断即可.
【详解】复数的虚部是4．
故答案为：B.
3．掷一颗质地均匀的骰子，得到点数为偶数的概率为.( )
【答案】A
【分析】利用古典概型求其概率，从而得以判断.
【详解】掷一颗质地均匀的骰子得到的点数的总的基本事件为，共6件，
其中点数为偶数的基本事件为，共3件，
则点数为偶数的概率为.
故答案为：A.
4．若点和关于直线对称，则，.( )
【答案】A
【分析】求出两点的中点坐标代入直线和两点所在直线和直线垂直即可解得.
【详解】由题，两点关于直线对称，
则的中点在直线上，即①，
又知直线与所在直线垂直，直线斜率为k=1，
则所在直线斜率为②，
联立①②，解得.
故答案为：A
5．设全集为R，集合，那么.( )
【答案】A
【分析】根据补集的定义运算，并用区间表示法表示即可.
【详解】已知，
则，
故答案为：A.
6．若数列满足，，则数列的通项公式为．( )
【答案】A
【分析】先根据定义求出等差数列的公差，再结合首项和公差求出等差数列的通项公式即可求解.
【详解】因为，，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
根据等差数列的通项公式可知.
故答案为：A
7．设向量，，已知．则．( )
【答案】B
【分析】根据向量数量积的坐标运算与垂直定义即可解得.
【详解】由题，，
则，
解得k=1，
故答案为：B
8．将函数的图象向左平移个单位后的图象的解析式为．( )
【答案】B
【分析】根据正弦型函数图像的平移变换规律即可解得.
【详解】由题，函数图像向左平移个单位，
即，
故答案为：B
9．求值：.( )
【答案】B
【分析】逆用余弦函数的和差公式即可判断.
【详解】.
故答案为：B.
10．若，则．( )
【答案】B
【分析】利用对数函数的单调性可求.
【详解】以为底的对数函数为增函数，则，即；
以为底的对数函数为增函数，则，即；
则，；与题干不符；
故答案为：B.
二、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
11．已知函数，则（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】D
【分析】在函数中，令可求值.
【详解】因为，
所以.
故选：D
12．已知集合，那么的非空真子集的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】运用集合中元素的个数从而计算子集的个数．
【详解】根据题意知，集合中3个元素，
的非空真子集的个数为.
故选:B.
13．已知向量，，点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性坐标运算即可解得.
【详解】由题，，
则，又知A-1,2，
则，，
则，即.
故选：C
14．设是等比数列，若，则（ ）
A．63B．64C．127D．128
【答案】B
【分析】先由等比数列，求出，再求出即可.
【详解】因为是等比数列，设公比为，又
则，所以，
则.
故选：B.
15．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次不等式的解法即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以.
即不等式的解集是.
故选：C.
16．若直线经过椭圆的左焦点，则实数等于（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】由椭圆方程求出，可得左焦点，代入直线方程求解.
【详解】由椭圆，可得，，
所以，左焦点为.
又因为直线经过椭圆的左焦点，
所以，解得.
故选：B
17．现有甲、乙、丙、丁、戊 种在线教学软件，若某学校要从中随机选取 种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙至少有 种被选取的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算基本事件总数，再求甲、乙都未被选中的事件数，其对立事件的概率即为所求概率.
【详解】基本事件数为.
甲、乙都未被选中的事件数为.
则甲、乙至少有 种被选取的事件数为，其概率为.
故选：C.
18．已知，且，则（ ）
A．B．1C．D．-2
【答案】D
【分析】根据韦达定理结合对数的运算性质，换底公式即可求解.
【详解】由题意得，为方程的两个实数根，所以.
则.
故选：D.
第Ⅱ卷(非选择题共80分)
三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
19．在边长为2的正三角形中，
【答案】
【分析】先求与的夹角，然后利用内积公式求内积即可.
【详解】因为为正三角形，所以，
即与的夹角为，则与的夹角为，
又因为正三角形边长为2，
则，
则；
故答案为：.
20．用一平面去截球所得截面的面积为，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是 .
【答案】
【分析】由截面的面积为，可得截面的圆的半径，进而可得球的半径,再由球的体积公式计算即可得解.
【详解】设球的半径为，截面圆的半径为， 球心到该截面的距离为，
因为截面圆的面积为，则，则，
又球心到该截面的距离为1，
则球的半径为，所以，
所以球的体积为.
故答案为：.
21．过点与直线平行的直线方程为： ．
【答案】
【分析】根据两条直线平行设出所求直线方程，将点代入即可得解.
【详解】设所求直线的方程是，
因为点在直线上，所以，
解得，即所求直线方程是．
故答案为：.
22．书包内有中职课本语文、数学、英语、政治各1本，从中任取1本，则取出数学课本的概率是 .
【答案】/
【分析】根据古典概型的公式即可得解.
【详解】从这语文、数学、英语、政治的本书中，任取本，取出数学课本的概率为，
故答案为：.
23．在的二项展开式中，第6项的系数为 .
【答案】
【分析】利用二项式定理展开式通项公式即可求解.
【详解】.
故第6项系数为.
故答案为：.
24．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据对数函数的性质以及二次函数的图象与性质求解定义域即可.
【详解】由题可知，即，解得或，
故函数的定义域为，
故答案为: .
四、解答题：本大题共6小题，25～28小题每小题8分，29～30小题每小题9分，共50 分.解答应写出过程或步骤.
25．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且满足
(1)求；
(2)若，求△ABC的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理化简，结合两角和的正弦公式易得答案；
（2）根据余弦定理求出，再代三角形面积公式易得答案.
【详解】（1）由正弦定理可得，
得，
得
整理可得，则.
（2）因为，
因为，
所以，
把代入，得，
则三角形面积.
26．已知数列的前n项和，
(1)求该数列的通项公式；
(2)求该数列所有正数项的和．
【答案】(1)
(2)26．
【分析】（1）根据即可求得数列的通项公式；
（2）根据数列的通项公式求出数列的正数项即可求出数列正数项的和.
【详解】（1）时，．
时，．
因为时，．
所以．
（2）由（1）得
；
；
；
；
；
．
所有正数项的和为26．
27．如图，在四棱锥中，平面，，，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证平面，只须证，可证,且，而由题设只须证和即得；
（2）通过第（1）题结论可建系，求得相关点的坐标，继而得到两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，，．
又，，所以，所以．
又，所以．
又，所以，即．
又，，平面，所以平面．
（2）
如图，由（1）可知，，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系．设．因为，所以为等边三角形，所以，
所以A0,0,0，，，，
，，，．
设为平面的法向量，则有
即可取．
设为平面的法向量，则有
即可取，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
28．某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；
(2)现从技术参数位于区间，，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至多1件”，事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至少1件”，求事件的概率.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由频率分布直方图结合平均数和分位数的求法即可得解；
（2）利用分层抽样的方法，结合列举法以及古典概型即可得解.
【详解】（1）由频率分布直方图知，样本技术参数的平均数
，
因为前三组的频率之和为，
第四组的频率为，，
所以百分位数一定在第四组，设百分数为x，则，
解得，所以百分数约为.
（2）采用分层抽样的方法，
从技术参数唯一区间40,50，50,60，60,70三组的产品中抽取6件产品，
则从技术参数位于区间40,50的产品应抽取件，记为，
从技术参数位于区间50,60的产品应抽取件，记为，
从技术参数位于区间60,70的产品应抽取件，记为，
从这6件产品中任选3件产品，样本空间
，
则，
事件包含了三类，一是在这三组分别抽取1件，1件，1件；
二是在这三组分别抽取0件，2件，1件；
三是在这三组分别抽取1件，2件，0件.
则
，
故，
所以.
29．已知分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若双曲线的虚轴长为6，求双曲线的标准方程.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）设双曲线的标准方程为：，焦距为.由抛物线的定义与题意可得，即为双曲线的离心率.
（2）由虚轴长与，结合双曲线的离心率，可得与的值，即可求得双曲线的标准方程.
【详解】（1）由分别为双曲线的左、右焦点，双曲线焦点在轴上，
可设双曲线的标准方程为：，焦距为.
则.
由抛物线的定义知.
由题意知.
故双曲线的离心率.
（2）由题意知.
由（1）得且.
，即，
又分别为双曲线的左、右焦点，双曲线焦点在轴上，
故双曲线的标准方程为.
30．已知函数，其中且．
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)若，求使成立的x的集合．
【答案】(1)是偶函数，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可求解.
（2）根据对数函数的单调性即可求解.
【详解】（1）是偶函数，理由如下：
∵函数，
所以，解得，
即函数的定义域为，关于原点对称，
又，
∴函数是偶函数；
（2）因为，
又，
所以，
所以，即，
因为，即，
，即，解得，
所以使成立的的集合为．