数学七年级下册7.4 认识三角形练习题

这是一份数学七年级下册7.4 认识三角形练习题，文件包含苏科版数学七下培优提升训练专题75三角形的内角和与外角和原卷版doc、苏科版数学七下培优提升训练专题75三角形的内角和与外角和解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋•楚雄州期末）在△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝35°，则△ABC是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠C的度数，由该值大于90°，可得出△ABC为钝角三角形．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝35°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣35°＝105°．
又∵105°＞90°，
∴△ABC为钝角三角形．
故选：B．
2．（2022•天津模拟）直角三角形的一锐角是50°，那么另一锐角是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可求解．
【解答】解：∵直角三角形的一锐角是50°，
∴另一锐角是90°﹣50°＝40°．
故选：A．
3．（2021秋•绥德县期末）如图，∠BCD是△ABC的一个外角，E是边AB上一点，连接CE，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠BCD＞∠AB．∠BCD＞∠1C．∠2＞∠3D．∠BCD＝∠A+∠B
【分析】三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，根据以上知识点逐个判断即可．
【解答】解：A、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＞∠A，不符合题意．
B、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠1是△BEC的一个外角，∠BCD与∠1无法比较大小，符合题意．
C、∠2是△AEC的一个外角，则∠2＞∠3，不符合题意．
D、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＝∠A+∠B，不符合题意．
故选：B．
4．（2022春•九龙坡区校级月考）如图，已知AD和AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝56°，∠EAD＝10°，则∠C的度数为（ ）
A．80°B．76°C．74°D．66°
【分析】根据三角形的内角和得出∠BAD＝18°，再利用角平分线得出∠BAC＝68°，利用三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵AD是高，∠B＝56°，
∴∠BAD＝90°﹣56°＝34°，
∵∠DAE＝10°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD＝34°﹣10°＝24°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝48°，
∵∠CAD＝∠CAE﹣∠EAD＝24°﹣10°＝14°
∴∠C＝180°﹣90°﹣14°＝76°．
故选：B．
5．（2022秋•江汉区期中）如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．42°B．40°C．38°D．35°
【分析】根据AP、CP分别是△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线，得出，，根据∠P＝70°，得出∠PAC+∠PCA＝110°，根据∠FAC+∠BAC＝180°，∠ECA+∠ACB＝180°，得出∠BAC+∠BCA＝140°，最后根据三角形的内角和，得出∠B＝40°．
【解答】解：∵AP、CP分别是△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线，
∴，，
∵∠P＝70°，
∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣70°＝110°，
∴∠CAF+∠ACE＝2（∠PAC+∠PCA）＝220°，
∵∠FAC+∠BAC＝180°，∠ECA+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°+180°﹣（∠FAC+∠ECA）＝140°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝40°，故B正确．
故选：B．
6．（2022秋•延平区校级月考）将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2的度数等于（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【分析】根据三角形的内角和定理和四边形的内角和即可得到结论．
【解答】解：如图，∵∠C＝50°，
∴∠3+∠4＝∠A+∠B＝∠A′+∠B′＝180°﹣∠C＝130°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A′+∠B′＝360°，∠1＝85°，
∴∠2＝360°﹣85°﹣2×130°＝15°，
故选：B．
7．（2022秋•阜阳期中）如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C＝64°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．44°B．46°C．48°D．50°
【分析】连接EF，根据三角形内角和定理得出∠AEF+∠AFE＝∠B+∠C＝64°，∠D+∠1+∠2+∠AEF+∠AFE＝180°，进而即可求解．
【解答】解：如图，连接EF，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AEF+∠AFE＝∠B+∠C＝64°，
∵∠D+∠DEF+∠DFE＝180°，
即∠D+∠1+∠2+∠AEF+∠AFE＝180°，
∵∠D＝70°，
∴∠1+∠2＝180°﹣64°﹣70°＝46°，
故选：B．
8．（2022秋•新洲区期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，已知∠DAC＝α，∠DAB＝90°﹣，CE平分∠ACB交AB于点E，连接DE，则∠DEC的度数为（ ）
A．B．C．30°﹣D．45°﹣α
【分析】过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EH⊥BC于H，如图，先计算出∠EAM，则AE平分∠MAD，根据角平分线的性质得EM＝EN，再由CE平分∠ACB得到EM＝EH，则EN＝EH，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分∠ADB，再根据三角形外角性质解答即可．
【解答】解：过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EH⊥BC于H，如图，
∵∠DAC＝α，∠DAB＝90°﹣，
∴∠EAM＝90°﹣，
∴AE平分∠MAD，
∴EM＝EN，
∵CE平分∠ACB，
∴EM＝EH，
∴EN＝EH，
∴DE平分∠ADB，
∴∠1＝∠ADB，
由三角形外角可得：∠1＝∠DEC+∠2，
∵∠2＝∠ACB，
∴∠1＝∠DEC+∠ACB，
而∠ADB＝∠DAC+∠ACB，
∴∠DEC＝∠DAC＝α，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋•阜康市校级月考）在△ABC中，已知∠A＝∠B+∠C，那么△ABC的形状 直角三角形 ．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠A＝90°，进而可得出△ABC是直角三角形．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
10．（2022秋•衢江区期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝ 75 度．
【分析】由题意可得∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACB＝90°，由三角形的外角性质可求得∠BDA＝120°，再次利用三角形的外角性质即可求∠α的度数．
【解答】解：如图，
由题意得：∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠BDA＝∠A+∠ACB＝120°，
∴∠α＝∠BDA﹣∠B＝75°．
故答案为：75．
11．（2022•永丰县模拟）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，AD∥BC，则∠D的度数为 25° ．
【分析】由直角三角形的性质可得∠ACB＝50°，再由角平分线的定义可求得∠BCD＝25°，利用平行线的性质即可求得∠D＝∠BCD＝25°．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝25°，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠BCD＝25°．
故答案为：25°．
12．（2022秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，F在射线AD上，FE⊥BC于E，∠C＝80°，∠B＝36°，则∠F＝ 22 度．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义，可求出∠CAD的度数，由FE⊥BC于E，可得出∠DEF＝90°，再利用三角形的外角性质，可求出∠F的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝36°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣36°﹣80°＝64°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×64°＝32°．
∵FE⊥BC于E，
∴∠DEF＝90°．
∵∠ADB是△ACD的外角，∠ADB是△DEF的外角，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠F+∠DEF，
∴32°+80°＝∠F+90°，
∴∠F＝22°．
故答案为：22．
13．（2022秋•武昌区校级期中）在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，∠BOC＝150°，则∠A的度数为 120° ．
【分析】根据三角形内角和定理易得∠OBC+∠OCB＝30°，利用角平分线定义可得∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝60°，进而利用三角形内角和定理可得∠A的的度数．
【解答】解：如图，
∵∠BOC＝150°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣150°＝30°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于O点，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
14．（2022秋•新田县期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1＝ ，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，∠A2021BC的平分线与∠A2021CD的平分线交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022＝ ．
【分析】先根据角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质证明，同理可证，，…据此求解即可．
【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴，，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
∴，
∴，
同理可得，，
…
∴，
故答案为：，．
15．（2022•寻乌县二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是边AB上一点，点D是边AC上一点，将△ABC沿PD折叠，使点A落在边BC上的A′处，若A′P∥AC，则∠PDA′的度数为 60° ．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据图形翻折变换的性质得出∠A＝∠PA′D，再由A′P∥AC可知∠A′DC＝∠PA′D，∠A′PD＝∠PDA，据此可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°．
∵△A′PD由△APD翻折而成，
∴∠A＝∠PA′D＝60°，∠PDA＝∠PDA′．
∵A′P∥AC，
∴∠A′DC＝∠PA′D＝60°，
∴2∠PDA′+∠A′DC＝180°，即2∠PDA′+60°＝180°，解得∠PDA′＝60°．
故答案为：60°．
16．（2021秋•昭阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝α，则∠2＝ ，∠BOC＝ 90°+ ．（用含α的式子表示）
【分析】由三角形的内角和可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，再由角平分线的定义可得∠CBE＝∠ABC，∠BCO＝，∠ACE＝∠ACD，从而可求得∠CBE+∠BCO＝90°﹣α，∠OCE＝90°，即可求∠BOC，再利用三角形的外角性质即可求∠2．
【解答】解：∵∠1＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，
∴∠CBE＝∠ABC，∠BCO＝，
∴∠CBE+∠BCO＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBE+∠BCO）＝90°+，
∵CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝∠ACD，
∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD），
∵∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∴∠2＝∠BOC﹣∠OCE＝．
故答案为：，90°+．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022春•渝中区校级月考）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝42°，∠C＝58°．求∠ADE的度数．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义和已知得到∠BAD＝∠DAC，进而根据直角三角形的锐角互余求出∠ADE即可．
【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝58°，
∴∠BAC＝180°﹣42°﹣58°＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝40°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAC＝50°．
18．（2022秋•中江县校级月考）已知△ABC中，∠B＝5∠A，∠C﹣∠B＝15°，求∠A，∠B，∠C的度数．
【分析】根据各角之间的关系，可得出∠C＝5∠A+15°，结合三角形内角和定理，可求出∠A的度数，再分别将其代入∠B＝5∠A及∠C＝5∠A+15°中，即可求出结论．
【解答】解：∵∠B＝5∠A，∠C﹣∠B＝15°，
∴∠C＝5∠A+15°．
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+5∠A+5∠A+15°＝180°，
∴∠A＝15°，
∴∠B＝5∠A＝5×15°＝75°，∠C＝5∠A+15°＝5×15°+15°＝90°．
答：∠A的度数为15°，∠B的度数为75°，∠C的度数为90°．
19．（2022秋•江汉区期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°．
（1）∠AOB的度数为 125° ；
（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），根据三角形内角和定理得出∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，进而即可求解；
（2）根据三角形内角和定理求得∠DAC，∠BAC，根据AE是∠BAC的角平分线，得出∠CAE＝∠CAB＝25°，根据∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD，即可求解．
【解答】（1）解：∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），
在△ABC中，∠C＝70°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝125°．
故答案为：125°；
（2）解：∵在△ABC中，AD是高，∠C＝70°，∠ABC＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝50°
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE＝∠CAB＝25°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°，
∴∠DAE＝5°．
20．（2022秋•阜阳期中）如图，在△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于点F，交BC于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠AFE；
（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD交BC于点G，EH⊥BE交BC于点H，求∠HEG的度数．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质得出∠AFE＝∠ABE+∠BAD，结合已知条件即可得证；
（2）根据三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余进行分析解答即可．
【解答】（1）证明：∵∠AFE＝∠ABE+∠BAD，∠BAD＝∠EBC，
∴∠AFE＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC，
即∠ABC＝∠AFE；
（2）解：∵∠BFD＝∠ABC＝35°，
∵EG∥AD，
∴∠BEG＝∠BFD＝35°，
∵EH⊥BE，
∴∠BEH＝90°，
∴∠HEG＝∠BEH﹣∠BEG＝55°．
21．（2021秋•长乐区期末）如图，在△ABC中，DE∥AC交AB，BC于点D，E，EF平分∠DEB交AB于点F，且∠B＝42°，∠DFE＝73°，求∠A的度数．
【分析】由∠DFE＝∠B+∠BEF，可求∠BEF，由EF平分∠DEB求出∠DEB，再由DE∥AC得到∠C，最后由三角形内角和定理即可求出∠A．
【解答】解：∵∠DFE＝∠B+∠BEF，∠B＝42°，∠DFE＝73°，
∴∠BEF＝73°﹣42°＝31°，
∵EF平分∠DEB，
∴∠DEB＝2∠FEB＝62°，
∵DE∥AC，
∴∠C＝∠DEB＝62°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣42°﹣62°＝76°．
22．（2021秋•兴庆区校级期末）（1）如图1，已知任意△ABC，过点C作DE∥AB，求证：△ABC的三个内角（即∠A，∠B，∠ACB）之和等于180°；
（2）如图2，求证：∠AGF＝∠AEF+∠F；
（3）如图3，AB∥CD，∠CDE＝119°，GF交∠DEB的平分线于点F，∠AGF＝150°，求∠F的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得出结论；
（2）根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到∠DEB＝119°，∠AED＝61°，由角平分线的性质得到∠DEF＝59.5°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图1所示，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠BCE，∠A＝∠ACD（内错角相等）．
∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝180°，即三角形的内角和为180°；
（2）证明：∵∠AGF+∠FGE＝180°，
由（1）知，∠GEF+∠EFG+∠FGE＝180°，
∴∠AGF＝∠AEF+∠F；
（3）解：∵AB∥CD，∠CDE＝119°，
∴∠DEB＝119°，∠AED＝61°，
∵GF交∠DEB的平分线EF于点F，
∴∠DEF＝59.5°，
∴∠AEF＝120.5°，
∵∠AGF＝150°，
∵∠AGF＝∠AEF+∠F，
∴∠F＝150°﹣120.5°＝29.5°．
23．（2022秋•阜阳期中）如图，△AOB与△COD中的∠AOB与∠COD是对顶角．
（1）如图1，证明：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，AP，DP分别是∠BAO，∠CDO的平分线，探索∠P，∠B和∠C之间的数量关系并加以证明；
（3）如图3，∠BAO与∠CDO的相邻补角平分线交于点P，探索∠P，∠B和∠C之间的数量关系并加以证明．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，根据对顶角相等∠AOB＝∠CDO，即可得证；
（2）根据角平分线的定义得出∠BAP＝∠PAC＝∠BAO，∠BDP＝∠PDC＝∠CDO，由（1）可知，∠BAO+∠B＝∠DOC+∠C，两式相加即可得出结论；
（3）根据题意得出∠PAB＝（180°﹣∠BAO），∠PDB＝（180°﹣∠BDC），即2∠P﹣∠BAO＝2∠B﹣∠BDC①，根据（1）的结论得出∠BAO+∠B＝∠C+∠BDC②，两式相加即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠CDO，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）解：结论：∠B+∠C＝2∠P，理由如下，
∵AP，DP分别是∠BAO，∠CDO的平分线，
∴∠BAP＝∠PAC＝∠BAO，∠BDP＝∠PDC＝∠CDO，
由（1）可知，∠BAO+∠B＝∠DOC+∠C，∠B+∠BAP＝∠BDP+∠P，∠PDC+∠C＝∠PAO+∠P，
即∠B+∠BAO＝∠ODC+∠P，∠C+∠CDO＝∠BAO+∠P，
∴∠B+∠C＝2∠P；
（3）解：结论：2∠P＝∠B+∠C．
理由如下，
∵∠BAO与∠CDO的相邻补角平分线交于点P，
∴∠PAB＝（180°﹣∠BAO），∠PDB＝（180°﹣∠BDC），
∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，
∴∠P+（180°﹣∠BAO）＝∠B+（180°﹣∠BDC），
即2∠P﹣∠BAO＝2∠B﹣∠BDC①，
又∵∠BAO+∠B＝∠C+∠BDC②，
①+②得2∠P＝∠B+∠C．
24．（2022春•泰州月考）如果三角形的两个内角a与β满足2a+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．
（1）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，求证：△ABD是“奇妙互余三角形”．
（2）关于“奇妙互余三角形”，有下列结论：
①在△ABC中，若∠A＝130°，∠B＝40°，∠C＝10°，则△ABC是“奇妙互余三角形”；
②若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；
③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形．
其中，结论正确的有 ①③ ．（填写序号）
（3）在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝52°，点P是射线CB上的一点，且△ABP是“奇妙互余三角形”，请直接写出∠APB的度数．
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余得∠ABC+∠A＝90°，而∠ABC＝2∠ABD，所以2∠ABD+∠A＝90°，所以△ABD是“奇妙互余三角形”；
（2）①由∠A＝130°，∠C+∠B＝50°，而∠B＝40°，∠C＝10°，2∠B+∠C＝90°，则△ABC是“奇妙互余三角形”，可判断①正确；
②若△ABC是“奇妙互余三角形”，且∠C＞90°，则2∠A+∠B＝90°或2∠B+∠A＝90°，而∠A＝60°，∠B＝20°，所以2∠A+∠B＝140°≠90°，2∠B+∠A＝100°≠90°，显然与△ABC是“奇妙互余三角形”相矛盾，可判断②错误；③三角形为“奇妙互余三角形”的条件是它的两个内角α与β满足2α+β＝90°，则α+β＝90°﹣α＜90°，则它的第三个内角一定大于90°，即“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形，可判断③正确；
（3）分为三种情况，当P在线段BC上时，2∠PAB+52°＝90°，有∠PAB＝19°，可得∠APB＝109°；当P在CB延长线上，△ABP是“奇妙互余三角形”，2∠APB+∠BAP＝90，有2∠APB+（52°﹣∠APB）＝90°，当P在CB延长线上，△ABP是“奇妙互余三角形”，∠APB+2∠BAP＝90时，有∠APB+2（52°﹣∠APB）＝90°，分别可解得答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∴2∠ABD+∠A＝90°，
∴△ABD是“奇妙互余三角形”．
（2）解：①∵∠A＝130°，
∴∠C+∠B＝180°﹣130°＝50°，
∵∠B＝40°，∠C＝10°，
∴2∠B+∠C＝90°，
∴△ABC是“奇妙互余三角形”，故①正确；
②∵∠C＞90°，
∴2∠C+∠A≠90°，2∠C+∠B≠90°，2∠A+∠C≠90°，2∠B+∠C≠90°，
若△ABC是“奇妙互余三角形”，只能是2∠A+∠B＝90°或2∠B+∠A＝90°，
∵∠A＝60°，∠B＝20°，
∴2∠A+∠B＝140°≠90°，2∠B+∠A＝100°≠90°，
∴∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°作为条件，与△ABC是“奇妙互余三角形”相矛盾，故②错误；
③三角形为“奇妙互余三角形”，则它的两个内角α与β满足2α+β＝90°，
∴α+β＝90°﹣α，
设它的第三个内角为γ，
∴γ＝180°﹣（α+β）＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，
∴γ一定是钝角，
∴“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形，故③正确，
故答案为：①③；
（3）解：当P在线段BC上时，如图：
∵∠C＝90°，∠ABC＝52°，△ABP是“奇妙互余三角形”，
∴2∠PAB+52°＝90°，
∴∠PAB＝19°，
∴∠APB＝180°﹣52°﹣19°＝109°；
当P在CB延长线上，△ABP是“奇妙互余三角形”，2∠APB+∠BAP＝90时，如图：
∵∠ABC＝52°，
∴∠BAP＝52°﹣∠APB，
∵2∠APB+∠BAP＝90°，
∴2∠APB+（52°﹣∠APB）＝90°，
解得∠APB＝38°，
当P在CB延长线上，△ABP是“奇妙互余三角形”，∠APB+2∠BAP＝90时，如图：
∵∠ABC＝52°，
∴∠BAP＝52°﹣∠APB，
∵∠APB+2∠BAP＝90°，
∴∠APB+2（52°﹣∠APB）＝90°，
解得∠APB＝14°，
综上所述，∠APB的度数为109°或38°或14°．