第3章《勾股定理》-2024-2025学年八年级上册数学期末复习单元易错必刷题练习（苏科版）

这是一份第3章《勾股定理》-2024-2025学年八年级上册数学期末复习单元易错必刷题练习（苏科版），共28页。试卷主要包含了直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理的证明，勾股定理的逆定理，勾股数，勾股定理的应用等内容，欢迎下载使用。
一、直角三角形的性质（共5小题）
1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③④⑤D．①②③④
2．在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，则这两个锐角分别为_______．
3．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝50°，∠E＝65°，则①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝40°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，则有AC∥DE，上述结论中正确的是_______．（填写序号）
4．如图，∠AOB＝50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为_______时，△AOP为直角三角形．
5．把下面的证明过程补充完整：
如图，△ABO中，∠AOB＝90°，DE⊥AO于点E，∠CFB＝∠EDO．求证：CF∥DO．
证明：∵DE⊥AO（已知），
∴_______＝90°（垂直的定义），
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝_______（等量代换）
∴_______（______________）．
∴∠EDO＝_______（______________）．
又∵∠CFB＝∠EDO
∴∠CFB＝_______（等量代换），
∴CF∥DO（______________）．
二、勾股定理（共5小题）
6．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
7．若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为_______．
8．如图，以直角三角形一边向外作正方形，其中两个正方形的面积为100和64，则正方形A的面积为_______．
9．已知直角三角形的两条边长为3和4，则第三边的长为_______．
10．已知△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°，作CD⊥AB．AF平分∠CAB，点M、N分别为AC、EF的中点，且AC＝6，BC＝8．
（1）求证：CE＝CF；
（2）求证：MN∥AB；
（3）请你连接DN，并求线段DN的长．
三、勾股定理的证明（共1小题）
11．“赵爽弦图”是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它与数学中著名的勾股定理有着密切关系．在学完我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图后，我校某同学想在逐梦运动场规划出一块活动场地，如图所示，现规划土地由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10m，BE＝24m，则EF的长是_______m．
四、勾股定理的逆定理（共13小题）
12．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝7，b＝24，c＝25B．a＝5，b＝13，c＝12
C．a＝1，b＝2，c＝3D．a＝30，b＝40，c＝50
13．在下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝6B．a＝5，b＝6，c＝7
C．a＝6，b＝8，c＝9D．a＝7，b＝24，c＝25
14．以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．4，5，6C．6，8，10D．9，12，15
15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．6B．36C．5D．25
16．下列4组数中，能构成直角三角形的三边长有（ ）
（1）9，12，15（2）12，18，22（3）12，35，36（4）15，36，39
A．1组B．2组C．3组D．4组
17．以下列各组线段为边作三角形，能作出直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．6，8，10C．3，7，8D．，，
18．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝5：12：13B．∠A＝∠B﹣∠C
C．b2＝a2﹣c2D．a：b：c＝3：5：4
19．下列各组中的三个数值，分别以它们为边长，能够构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．9，12，20C．，，D．3，4，5
20．已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＝b2﹣c2B．a＝6，b＝8，c＝10
C．∠A＝∠B+∠CD．∠A：∠B：∠C＝5：12：13
21．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝2：3：4B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．∠A﹣∠B＝∠CD．BC＝3，AC＝4，AB＝5
22．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
23．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．
（1）直接写出AB＝_______，BC＝_______，AC＝_______；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）直接写出AC边上的高＝_______．
24．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝
（1）求AD的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
五、勾股数（共1小题）
25．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47B．62C．79D．98
六、勾股定理的应用（共5小题）
26．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A．2mB．3mC．3.5mD．4m
27．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为_______m．
28．位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？
29．如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？
30．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．
（1）求两船的速度分别是多少？
（2）求客船航行的方向．
参考答案
一、直角三角形的性质（共5小题）
1．C
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；证明∠ADC+∠ACD＝90°，∠GCD+∠BCD＝90°，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC＝135°，即可判断④⑤；根据现有条件无法推出②．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCA，∠ACD＝∠BCD，
∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCA，故①正确；
∵∠A＝90°，CG⊥EG，EG∥BC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，CG⊥BC，
∴∠GCD+∠BCD＝90°，
∵∠BCD＝∠ACD，
∴∠ADC＝∠GDC，故③正确；
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣（∠ABC+）＝135°，
∴∠DFB＝180°﹣∠BFC＝45°，
∴∠DFB＝∠A，故④正确；
∵∠BFC＝135°，
∴∠DFE＝∠BFC＝135°，故⑤正确；
根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故②错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
2．在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，则这两个锐角分别为 30°和60° ．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设一个锐角为2x，则另一个锐角为x，
∵三角形是直角三角形，
∴2x+x＝90°，
解得：x＝30°，
则2x＝60°，
所以这两个锐角分别为30°和60°，
故答案为：30°和60°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
3．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝50°，∠E＝65°，则①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝40°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，则有AC∥DE，上述结论中正确的是 ①②③ ．（填写序号）
【分析】根据平行线的判定和性质、直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠3，故①结论正确；
②∵∠1+∠2+∠2+∠3＝180°，
∴∠CAD+∠2＝180°，故②结论正确；
③∵∠2＝40°，
∴∠3＝90°﹣40°＝50°，
∴∠3＝∠B，
∴BC∥AD，故③结论正确；
④∵∠2＝30°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝65°，
∴AC与DE不平行，故④不正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
4．如图，∠AOB＝50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为 90°或40° 时，△AOP为直角三角形．
【分析】分两种情况：①∠A为直角；②∠APO为直角．
【解答】解：若△AOP为直角三角形，则
①∠A＝90°时，△AOP为直角三角形；
②当∠APO＝90°时，△AOP为直角三角形，此时∠A＝40°．
故答案为90°或40°．
【点评】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，同时运用分类讨论思想解决直角三角形的角度问题是解题的途径．
5．把下面的证明过程补充完整：
如图，△ABO中，∠AOB＝90°，DE⊥AO于点E，∠CFB＝∠EDO．求证：CF∥DO．
证明：∵DE⊥AO（已知），
∴ ∠AED ＝90°（垂直的定义），
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝ ∠AED （等量代换）
∴ DE∥OB （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠EDO＝ ∠BOD （ 两直线平行，内错角相等 ）．
又∵∠CFB＝∠EDO
∴∠CFB＝ ∠BOD （等量代换），
∴CF∥DO（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据垂直的定义、平行线的判断定理和性质定理解答即可．
【解答】证明：∵DE⊥AO（已知），
∴∠AED＝90°（垂直的定义），
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝∠AED（等量代换），
∴DE∥OB（同位角相等，两直线平行）．
∴∠EDO＝∠BOD（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠CFB＝∠EDO，
∴∠CFB＝∠BOD（等量代换），
∴CF∥DO（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠AED，∠AED，DE∥OB，同位角相等，两直线平行，∠BOD，两直线平行，内错角相等，∠BOD，同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定和性质，掌握平行线的判断定理是解题的关键．
二．勾股定理（共5小题）
6．
【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．
【解答】解：由a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，得
a4+b2c2﹣a2c2﹣b4
＝（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）
＝（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）
＝（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）
＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∵a+b＞0，
∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0，
即a＝b或a2+b2＝c2，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
7．若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为 10 ．
【分析】已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．
【解答】解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，
故斜边长＝＝10，
故答案为 10．
【点评】本题考查了根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．
8．如图，以直角三角形一边向外作正方形，其中两个正方形的面积为100和64，则正方形A的面积为 36 ．
【分析】根据正方形可以计算斜边和一条直角边，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来．
【解答】解：
由题意知，BD2＝100，BC2＝64，且∠DCB＝90°，
∴CD2＝100﹣64＝36，
正方形A的面积为CD2＝36．
故答案为36．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，本题中解直角△BCD是解题的关键．
9．已知直角三角形的两条边长为3和4，则第三边的长为 5或 ．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】解：设第三边为x，
（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
32+42＝x2，
∴x＝5；
（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
32+x2＝42，
∴x＝；
∴第三边的长为5或．
故答案为：5或．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
10．已知△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°，作CD⊥AB．AF平分∠CAB，点M、N分别为AC、EF的中点，且AC＝6，BC＝8．
（1）求证：CE＝CF；
（2）求证：MN∥AB；
（3）请你连接DN，并求线段DN的长．
【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余和对顶角相等即可得∠CEF＝∠AFC，进而可得CE＝CF；
（2）如图，连接CN，根据等腰三角形三线合一可得CN⊥EF，再根据△ACN是直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半可得MN＝AM，进而可得∠MNA＝∠NAD，所以可得MN∥AD；
（3）延长CN交AB于点G，连接DN，根据勾股定理先求出AB的长，再根据三角形面积可得CD的长，根据三角形中位线定理可得MN＝AG，再根据勾股定理即可求出DN的长．
【解答】解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAF+∠AFC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵∠CEF＝∠AED，
∴∠EAD+∠CEF＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠EAD，
∴∠CEF＝∠AFC，
∴CE＝CF；
（2）证明：如图，连接CN，
由（1）可知△CEF是等腰三角形，
∵N是EF的中点，
∴CN⊥EF，
∴△ACN是直角三角形，
∵M是AC的中点，
∴MN＝AC，
∵AM＝AC，
∴AM＝MN，
∴∠MAN＝∠MNA，
∵∠AF平分∠CAB，
∴MAN＝∠NAD，
∴∠MNA＝∠NAD，
∴MN∥AD；
（3）如图，延长CN交AB于点G，连接DN，
∵MN∥AG，且M是AC的中点，
∴N是CG的中点，
∴MN＝AG，
在Rt△CDG中，DN＝CG，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝＝，
∵MN＝MA＝3，
∴AG＝6，
∵AD＝＝，
∴DG＝AG﹣AD＝，
∴CG＝＝，
∴DN＝CG＝．
【点评】本题考查了勾股定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．
三．勾股定理的证明（共1小题）
11．“赵爽弦图”是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它与数学中著名的勾股定理有着密切关系．在学完我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图后，我校某同学想在逐梦运动场规划出一块活动场地，如图所示，现规划土地由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10m，BE＝24m，则EF的长是 14 m．
【分析】先根据线段的差可得EG＝FG＝14m，再由勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，由题意得：AG＝BE＝24m，AE＝10m，∠AGD＝90°，
∴EG＝FG＝AG﹣AE＝24﹣10＝14m，∠EGF＝90°，
由勾股定理得：EF＝＝＝14（m）．
故答案为：14．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
四．勾股定理的逆定理（共13小题）
12．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝7，b＝24，c＝25B．a＝5，b＝13，c＝12
C．a＝1，b＝2，c＝3D．a＝30，b＝40，c＝50
【分析】根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先确定能否构成三角形，再根据勾股定理的逆定理，判断能否构成直角三角形．
【解答】解：A、∵7+24＞25，且72+242＝252，∴能构成直角三角形；
B、∵5+12＞13，且52+122＝132，∴能构成直角三角形；
C、∵1+2＝3，∴不能构成三角形，∴更不能构成直角三角形；
D、∵30+40＞50，且302+402＝502，∴能构成直角三角形；
故选：C．
【点评】直角三角形必须符合勾股定理的逆定理，三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
13．在下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝6B．a＝5，b＝6，c＝7
C．a＝6，b＝8，c＝9D．a＝7，b＝24，c＝25
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵a2+b2＝32+42＝25，c2＝62＝36，
∴a2+b2≠c2，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a2+b2＝52+62＝61，72＝49，
∴a2+b2≠c2，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a2+b2＝62+82＝100，92＝81，
∴a2+b2≠c2，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a2+b2＝72+242＝625，252＝625，
∴a2+b2＝c2，
∴能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
14．以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．4，5，6C．6，8，10D．9，12，15
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴以3，4，5为边能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵52+42＝41，62＝36，
∴52+42≠62，
∴以4，5，6为边不能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵62+82＝100，102＝100，
∴62+82＝102，
∴以6，8，10为边能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵92+122＝225，152＝225，
∴92+122＝152，
∴以9，12，15为边能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．6B．36C．5D．25
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：∵a＝3，b＝4，c＝5，
∴a2+b2＝32+42＝25，c2＝52＝25，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝ab
＝×3×4
＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
16．下列4组数中，能构成直角三角形的三边长有（ ）
（1）9，12，15
（2）12，18，22
（3）12，35，36
（4）15，36，39
A．1组B．2组C．3组D．4组
【分析】利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：（1）∵92+122＝225，152＝225，
∴92+122＝152，
∴能构成直角三角形，
故（1）符合题意；
（2）∵182+122＝468，222＝484，
∴182+122≠222，
∴不能构成直角三角形，
故（2）不符合题意；
（3））∵352+122＝1369，362＝1296，
∴352+122≠362，
∴不能构成直角三角形，
故（3）不符合题意；
（4）∵362+152＝1521，392＝1521，
∴362+152＝392，
∴能构成直角三角形，
故（4）符合题意；
综上所述：上列4组数中，能构成直角三角形的三边长有2组，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
17．以下列各组线段为边作三角形，能作出直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．6，8，10C．3，7，8D．，，
【分析】利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵1+2＝3，
∴不能组成三角形，
故A不符合题意；
B、∵62+82＝36+64＝100，102＝100，
∴62+82＝102，
∴能组成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵32+72＝9+49＝58，82＝64，
∴32+72≠82，
∴不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵（）2+（）2＝+＝，（）2＝，
∴（）2+（）2≠（）2，
∴不能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
18．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝5：12：13B．∠A＝∠B﹣∠C
C．b2＝a2﹣c2D．a：b：c＝3：5：4
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝78°，
∴△ABC不是直角三角形，
故A符合题意；
B、∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵b2＝a2﹣c2，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a：b：c＝3：5：4，
∴设a＝3k，b＝5k，c＝4k，
∴a2+c2＝（3k）2+（4k）2＝25k2，b2＝（5k）2＝25k2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
19．下列各组中的三个数值，分别以它们为边长，能够构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．9，12，20C．，，D．3，4，5
【分析】利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵1+2＝3，
∴不能组成三角形，
故A不符合题意；
B、∵92+122＝225，202＝400，
∴122+92≠202，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵（）2+（）2＝，（）2＝，
∴（）2+（）2≠（）2，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
20．已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＝b2﹣c2B．a＝6，b＝8，c＝10
C．∠A＝∠B+∠CD．∠A：∠B：∠C＝5：12：13
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a2＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a2+b2＝62+82＝100，c2＝102＝100，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝78°，
∴△ABC不是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
21．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝2：3：4B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．∠A﹣∠B＝∠CD．BC＝3，AC＝4，AB＝5
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝80°，
∴△ABC不是直角三角形，
故A符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠A＝∠C+∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，
∴BC2+AC2＝32+42＝25，AB2＝52＝25，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
22．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，从而可得∠D＝90°，然后根据四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝17，BC＝8，
∴AC＝＝＝5，
∴AC的长为5；
（2）∵AD2+CD2＝42+32＝25，AC2＝52＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠D＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积
＝AD•CD+AC•BC
＝×4×3+12×5
＝6+30
＝36，
∴四边形ABCD的面积为36．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
23．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．
（1）直接写出AB＝ ，BC＝ 2 ，AC＝ ；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）直接写出AC边上的高＝ ．
【分析】（1）利用勾股定理，进行计算即可解答；
（2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；
（3）利用面积法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
AB2＝22+32＝13，
BC2＝42+62＝52，
AC2＝82+12＝65，
∴AB＝，BC＝2，AC＝，
故答案为：，2，；
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵AB2+BC2＝65，AC2＝65，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）设AC边上的高为h，
∵△ABC的面积＝AC•h＝AB•BC，
∴AC•h＝AB•BC，
∴h＝×2，
∴h＝＝
故答案为：
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
24．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝
（1）求AD的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
【分析】（1）依据∠ADC＝90°，利用勾股定理可得AD＝；
（2）依据勾股定理的逆定理，可得BC2+AC2＝AB2，即可得到△ABC是直角三角形．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝；
（2）证明：由上题知AD＝，
同理可得BD＝，
∴AB＝AD+BD＝5，
∵32+42＝52，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根据图形判断出所求的边所在的直角三角形是解题的关键．
五．勾股数（共1小题）
25．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47B．62C．79D．98
【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值．
【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，
∴x＝63，y＝16，
∴x+y＝79，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
六．勾股定理的应用（共5小题）
26．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A．2mB．3mC．3.5mD．4m
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据少走的路长为AC+BC﹣AB，计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10（m），
∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为AC+BC﹣AB是解题的关键．
27．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为 8 m．
【分析】根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：由勾股定理得，断下的部分为＝5米，折断前为5+3＝8米．
【点评】此题主要考查学生运用勾股定理解决实际问题的能力，比较简单．
28．位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？
【分析】在Rt△ABC中用勾股定理求出AB＝15，在Rt△DBC中用勾股定理求出BD＝6，再根据AD＝AB﹣BD的出结果．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8m，AC＝17m，
∴AB＝＝＝15（m），
∵工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，
∴CD＝17﹣0.35×20＝10（m），
∴BD＝＝＝6（m），
∴AD＝AB﹣BD＝9（m）．
答：此时游船移动的距离AD的长是9m．
【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
29．如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？
【分析】要求树的高度，就要求BD的高度，在直角三角形ACD中运用勾股定理可以列出方程式，CD2+AC2＝AD2，其中CD＝CB+BD．
【解答】解：设BD高为x，则从B点爬到D点再直线沿DA到A点，走的总路程为x+AD，其中AD＝
而从B点到A点经过路程（20+10）m＝30m，
根据路程相同列出方程x+＝30，
可得＝30﹣x，
两边平方得：（10+x）2+400＝（30﹣x）2，
整理得：80x＝400，
解得：x＝5，
所以这棵树的高度为10+5＝15m．
故答案为：15m．
【点评】本题考查的是勾股定理的灵活运用，要求在变通中熟练掌握勾股定理．
30．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．
（1）求两船的速度分别是多少？
（2）求客船航行的方向．
【分析】（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依据客船每小时比货船多走5海里，列方程求解即可；
（2）依据AB2+AC2＝BC2，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，再根据货船沿东偏南10°方向航行，即可得到客船航行的方向为北偏东10°方向．
【解答】解：（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依题意得
4x﹣3x＝5．
解得x＝5，
∴4x＝20，3x＝15，
∴两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；
（2）由题可得，AB＝15×2＝30，AC＝20×2＝40，BC＝50，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
又∵货船沿东偏南10°方向航行，
∴客船航行的方向为北偏东10°方向．
【点评】此题主要考查了方向角以及勾股定理的应用，正确得出AB的长是解题关键．