第4章《实数》-2024-2025学年八年级上册数学期末复习单元易错必刷题练习（苏科版）

这是一份第4章《实数》-2024-2025学年八年级上册数学期末复习单元易错必刷题练习（苏科版），共18页。试卷主要包含了平方根，算术平方根，非负数的性质，立方根，无理数，实数与数轴，实数大小比较，估算无理数的大小等内容，欢迎下载使用。
一、平方根（共2小题）
1．一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a为________．
2．一个正数的两个平方根为a+2和a﹣6，则这个数为________．
二、算术平方根（共2小题）
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
三、非负数的性质：算术平方根（共1小题）
5．已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．
（1）求m的值；
（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？
四、立方根（共8小题）
6．下列说法正确的是（ ）
A．﹣是5的平方根B．﹣2的平方根是±2
C．＝±4D．＝±3
7．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是±2
B．立方根等于本身的数是0、1
C．
D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．±3是27的立方根B．负数没有平方根，但有立方根
C．25的平方根为5D．的立方根为3
9．求下列各式中x的值：
（1）9（x﹣1）2＝25；（2）（x+2）3﹣9＝0．
10．求下列各式中的x：
（1）4x2＝25；（2）（x+1）3﹣8＝0．
11．求下列各式中x的值：
（1）4（x﹣2）2＝36；（2）（x+5）3﹣27＝0．
12．求下列各式中x的值：
（1）x2﹣4＝0；（2）（x+7）3＝﹣27．
13．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2；b﹣15的立方根为﹣3．
（1）求a、b的值；
（2）求4a+b的平方根．
五、无理数（共4小题）
14．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣B．3.14C．D．0
15．在实数，，，3.14159中，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．下列四个数中，无理数是（ ）
A．0.B．C．D．0
17．下列五个数，2π，，，3.1415926中，是无理数的有________个．
六、实数与数轴（共1小题）
18．如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2bB．﹣a＜﹣bC．a+b＜0D．|a|﹣|b|＞0
七、实数大小比较（共2小题）
19．2，，5三个数的大小关系是（ ）
A．5＜＜2B．＜5＜2C．2＜5＜D．＜2＜5
20．比较大小：﹣1________3（填“＞”、“＜”或“＝”）．
八、估算无理数的大小（共6小题）
21．若的整数部分是a，小数部分是b，则2a+b＝________．
22．若一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和2﹣m，n是8的立方根，c是的整数部分，求m+n+c的立方根．
23．已知m＝+，则以下对m的估算正确的（ ）
A．2＜m＜3B．3＜m＜4C．4＜m＜5D．5＜m＜6
24．已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b的值等于（ ）
A．7B．9C．11D．19
25．定义：不超过实数x的最大整数成为x的整数部分，记作[x]．例如，．按此规定，＝________．
26．材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，是无理数，而1＜＜2，所以的整数部分是1，于是可用﹣1来表示的小数部分．
材料2：若10﹣＝a+b，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10，b＝﹣．
根据以上材料，完成下列问题：
（1）的整数部分是________，小数部分是________；
（2）3+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+＜b，求a+b的算术平方根．
九、实数的运算（共4小题）
27．计算：．
28．（1）计算：；
（2）求3（x﹣1）3＝81中的x的值．
29．计算：﹣12022﹣+．
30．计算：
（1）；
（2）．
参考答案
一、平方根（共2小题）
1．一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a为 9 ．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出b的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得a的值．
【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，
∴2b﹣1+b+4＝0，
∴b＝﹣1．
∴b+4＝﹣1+4＝3，
∴a＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的定义和性质．
2．一个正数的两个平方根为a+2和a﹣6，则这个数为 16 ．
【分析】由于正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出a．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是a+2和a﹣6，
∴a+2+a﹣6＝0，
解得：a＝2，
故a+2＝2+2＝4，
则这个正数是：42＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了平方根的概念．解题的关键是掌握平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
二．算术平方根（共2小题）
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：A、＝3，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、没有意义，不可以计算，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、＝3，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、＝3，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义和性质．
4．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；
（2）分两种情况讨论：①当＝12时，②当＝12时，分别计算即可．
【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵＝12，＝6，＝4，
∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；
（2）∵＝6，
∴分两种情况讨论：
①当＝12时，﹣3m＝144，
∴m＝﹣48；
②当＝12时，﹣12m＝144，
∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；
综上，m的值是﹣48．
【点评】本题考查算术平方根，理解“完美组合数”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个负数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．
三．非负数的性质：算术平方根（共1小题）
5．已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．
（1）求m的值；
（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？
【分析】（1）由正数的平方根互为相反数，可得2n+1+4﹣3n＝0，可求n＝5，即可求m；
（2）由已知可得a＝3，b＝0，c＝n＝5，则可求解．
【解答】解：（1）∵正数m的平方根为2n+1和4﹣3n，正数m的平方根互为相反数，
∴2n+1+4﹣3n＝0，
∴n＝5，
∴2n+1＝11，
∴m＝121；
（2）∵|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，
∴a﹣1＝0，b＝0，c﹣n＝0，
∴a＝1，b＝0，c＝n＝5，
∴a+b+c＝1+0+5＝6，
∴a+b+c的平方根是±．
【点评】本题考查平方根的性质．熟练掌握正数的平方根的特点，绝对值和偶次方根数的性质是解题的关键．
四．立方根（共8小题）
6．下列说法正确的是（ ）
A．﹣是5的平方根B．﹣2的平方根是±2
C．＝±4D．＝±3
【分析】A：由5的平方根是±判断；
B：负数没有平方根进行判断；
C：开立方求出结果，然后判断；
D：求出算术平方根，然后判断．
【解答】解：A，∵5的平方根是±，∴正确，
B∵负数没有平方根，∴B错误，
C∵＝4，∴C错误，
D∵＝3∴D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平方根，算术平方根、立方根的概念的运用，掌握这几个定义的区别及实际应用是解题关键．
7．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是±2
B．立方根等于本身的数是0、1
C．
D．
【分析】直接根据平方根、立方根、算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：A、4的平方根是±2，符合题意；
B、立方根等于本身的数是0和±1，故不合题意；
C、＝2，故不合题意；
D、＝2，故不合题意．
故选：A．
【点评】此题考查的是平方根、立方根、算术平方根，掌握其概念是解决此题的关键．
8．下列说法正确的是（ ）
A．±3是27的立方根
B．负数没有平方根，但有立方根
C．25的平方根为5
D．的立方根为3
【分析】根据平方根、立方根的定义，即可解答．
【解答】解：A、3是27的立方根，故本选项错误；
B、负数没有平方根，但有立方根，故本选项正确；
C、25的平方根是±5，故本选项错误；
D、27的立方根为3，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义．
9．求下列各式中x的值：
（1）9（x﹣1）2＝25；
（2）（x+2）3﹣9＝0．
【分析】（1）利用平方根的意义进行计算，即可解答；
（2）利用立方根的意义进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）9（x﹣1）2＝25，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
x＝或x＝﹣；
（2）（x+2）3﹣9＝0，
（x+2）3＝9，
（x+2）3＝27，
x+2＝3，
x＝1．
【点评】本题考查了立方根，平方根，熟练掌握立方根，平方根的意义是解题的关键．
10．求下列各式中的x：
（1）4x2＝25；（2）（x+1）3﹣8＝0．
【分析】（1）根据平方根的定义求解；
（2）根据立方根的定义求解．
【解答】解：（1）根据题意得x2＝，
∴x＝±；
（2）根据题意得（x+1）3＝8，
∴x+1＝2，
∴x＝1．
【点评】本题考查了平方根和立方根，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解．
11．求下列各式中x的值：
（1）4（x﹣2）2＝36；（2）（x+5）3﹣27＝0．
【分析】（1）用直接开平方法解方程；
（2）根据立方根的定义解决．
【解答】解：（1）4（x﹣2）2＝36，
（x﹣2）2＝9，
x﹣2＝±3，
x＝2±3，
x1＝5，x2＝﹣1；
（2）（x+5）3﹣27＝0，
（x+5）3＝27，
x+5＝3，
x＝﹣2．
【点评】本题考查了平方根、立方根，掌握这两个定义的熟练应用，把（x﹣2）、（x+5）看作一个整体是解题关键．
12．求下列各式中x的值：
（1）x2﹣4＝0；（2）（x+7）3＝﹣27．
【分析】（1）先求得x2的值，然后再依据平方根的定义求解即可；
（2）直接再利用立方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4＝0，
∴x2＝4，
∴x＝±2；
（2）（x+7）3＝﹣27，
x+7＝﹣3，
x＝﹣10．
【点评】本题主要考查了平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
13．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2；b﹣15的立方根为﹣3．
（1）求a、b的值；
（2）求4a+b的平方根．
【分析】（1）根据正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，列出方程解出a，再根据b﹣15的立方根为﹣3，列出方程解出b；
（2）把a＝4、b＝﹣12代入4a+b计算出代数式的值，然后求它的平方根．
【解答】解：（1）∵正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，
∴3a﹣14+a﹣2＝0，
解得a＝4，
∵b﹣15的立方根为﹣3，
∴b﹣15＝﹣27，
解得b＝﹣12
∴a＝4、b＝﹣12；
（2）a＝4、b＝﹣12代入4a+b
得4×4+（﹣12）＝4，
∴4a+b的平方根是±2．
【点评】本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键
五．无理数（共4小题）
14．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣B．3.14C．D．0
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意；
B、3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意；
C、是无理数，符合题意；
D、0是整数，属于有理数，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数．
15．在实数，，，3.14159中，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．
【解答】解：在实数，，，3.14159中，无理数有，，共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．
16．下列四个数中，无理数是（ ）
A．0.B．C．D．0
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A．0.是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．是分数，属于有理数，是故本选项不符合题意；
C．无理数，故本选项合题意；
D．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
17．下列五个数，2π，，，3.1415926中，是无理数的有 2 个．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【解答】解：＝2，
无理数有，2π，共有2个．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
六．实数与数轴（共1小题）
18．如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2bB．﹣a＜﹣bC．a+b＜0D．|a|﹣|b|＞0
【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴|a|＜|b|，
∴a+b＞0，
∴C选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴|a|＜|b|，
∴|a|﹣|b|＜0，
∴D选项的结论不成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．
七．实数大小比较（共2小题）
19． 2，，5三个数的大小关系是（ ）
A．5＜＜2B．＜5＜2C．2＜5＜D．＜2＜5
【分析】根据实数大小比较的方法即可求解．
【解答】解：2＝，
因为24＜25＜27，
所以＜5＜，
即2＜5＜．
故选：C．
【点评】本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
20．比较大小：﹣1 ＜ 3（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】估算出的值即可解答．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴＜＜，
∴3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握平方数是解题的关键．
八．估算无理数的大小（共6小题）
21．若的整数部分是a，小数部分是b，则2a+b＝ +2 ．
【分析】因为2＜＜3，所以的整数部分a＝2，则小数部分b＝﹣2，进一步把代数式化简，代入求值即可．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴的整数部分a＝2，则小数部分b＝﹣2，
∴2a+b＝4+﹣2＝，
∴2a+b的值是+2．
【点评】此题考查无理数的估算，代数式求值等知识点，注意利用夹逼法得出a，b的值是解答此题的关键．
22．若一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和2﹣m，n是8的立方根，c是的整数部分，求m+n+c的立方根．
【分析】先利用平方根的意义可得2m﹣1+2﹣m＝0，从而可得m＝﹣1，再利用立方根的意义可得n＝2，然后再估算出的值的范围，从而求出c＝3，最后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和2﹣m，
∴2m﹣1+2﹣m＝0，
解得：m＝﹣1，
∵n是8的立方根，
∴n＝2，
∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3，
∴c＝3，
∴m+n+c＝﹣1+2+3＝4，
∴m+n+c的立方根为．
【点评】本题考查了无理数的估算，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
23．已知m＝+，则以下对m的估算正确的（ ）
A．2＜m＜3B．3＜m＜4C．4＜m＜5D．5＜m＜6
【分析】先化简m的值可得m＝2+，然后再估算出的值的范围，进行计算即可解答．
【解答】解：m＝+＝2+，
∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴3＜2+＜4．
∴3＜m＜4，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，正确得出的值的范围是解题关键．
24．已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b的值等于（ ）
A．7B．9C．11D．19
【分析】先估算出的取值范围，再求出a，b的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵16＜18＜25，
∴4＜＜5．
∵a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝4+5＝9．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数的大小要用逼近法是解答此题的关键．
25．定义：不超过实数x的最大整数成为x的整数部分，记作[x]．例如，．按此规定，＝ ﹣3 ．
【分析】先估算出的值的范围，从而估算出1﹣的值的范围，然后根据定义的新运算，即可解答．
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴﹣4＜﹣＜﹣3，
∴﹣3＜1﹣＜﹣2，
∴＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．
26．材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，是无理数，而1＜＜2，所以的整数部分是1，于是可用﹣1来表示的小数部分．
材料2：若10﹣＝a+b，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10，b＝﹣．
根据以上材料，完成下列问题：
（1）的整数部分是 4 ，小数部分是 ﹣4 ；
（2）3+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+＜b，求a+b的算术平方根．
【分析】（1）根据完全平方数，进行计算即可解答；
（2）先估算出的值的范围，从而估算出3+的值的范围，进而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵16＜17＜25，
∴4＜＜5，
∴的整数部分是4，小数部分是﹣4，
故答案为：4，﹣4；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴4＜3+＜5，
∵3+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+＜b，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝4+5＝9，
∴a+b的算术平方根是3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
九．实数的运算（共4小题）
27．计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝﹣3+4﹣2
＝﹣1．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
28．（1）计算：；
（2）求3（x﹣1）3＝81中的x的值．
【分析】（1）先计算二次根式与绝对值，再计算加减；
（2）通过变形后运用开立方进行求解．
【解答】解：（1）
＝3+π﹣3﹣3
＝π﹣3；
（2）两边都除以3，得
（x﹣1）3＝27，
开立方，得x﹣1＝3，
解得x＝4．
【点评】此题考查了实数混合运算的能力，关键是能准确确定运算方法和顺序，并能进行正确地计算．
29．计算：﹣12022﹣+．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：﹣12022﹣+
＝﹣1﹣5+（﹣3）
＝﹣6﹣3
＝﹣9．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
30．计算：
（1）；（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝﹣2+2﹣（﹣1）
＝0+1
＝1；
（2）
＝9﹣4+5﹣4
＝6．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．