期末必刷基础易错60题-2024-2025学年八年级上册数学单元易错必刷题练习（苏科版）

这是一份期末必刷基础易错60题-2024-2025学年八年级上册数学单元易错必刷题练习（苏科版），共51页。试卷主要包含了算术平方根，立方根，实数与数轴，估算无理数的大小，实数的运算，点的坐标，坐标确定位置，函数的图象等内容，欢迎下载使用。
一、算术平方根（共1小题）
1．计算：＝_________．
二、立方根（共1小题）
2．计算求下列各式中的x
（1）9x2﹣4＝0；（2）（x+1）3＝﹣27．
三、实数与数轴（共1小题）
3．如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，将对角线BC绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是_________．
四、估算无理数的大小（共1小题）
4．若a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，则（﹣b）a的值为_________．
五、实数的运算（共2小题）
5．（1）解方程：（x﹣1）2＝25；（2）计算：．
6．计算与求值：
（1）计算：；
（2）求下列各式中的x；
①5x2＝15；②（x+3）3＝﹣64．
六、点的坐标（共4小题）
7．点P在平面直角坐标系的第二象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点P的坐标是（ ）
A．（1，0）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
8．如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，那么点P的坐标（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）
9．如果点P坐标为（3，﹣4），那么点P到x轴的距离为_________．
10．点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离分别为2、3．则点P的坐标是_________．
七、坐标确定位置（共1小题）
11．根据下列表述，能确定准确位置的是（ ）
A．万达影城1号厅2排B．东经119°27'，北纬32°17'
C．江都中学南偏东40°D．仙城北路
八、函数的图象（共1小题）
12．如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
九、一次函数与一元一次不等式（共2小题）
13．根据图象，可得关于x的不等式k1x＜k2x+b的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＜3D．x＞3
14．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞1的解集是_________．
十、一次函数与二元一次方程（组）（共1小题）
15．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组的解是_________．
十一、全等三角形的性质（共3小题）
16．如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝70°，∠B＝40°，则∠F的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
17．如图，已知△ABC≌△ADC，∠B＝30°，∠BAC＝23°，则∠ACD的度数为_________．
18．如图，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，则CF＝ ．
十二、全等三角形的判定（共5小题）
19．如图，△ABC与△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，则添加下列条件后，能运用“SAS”判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝EFB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．∠C＝∠F
20．已知：如图，AC＝DF，BC＝EF，下列条件中，不能证明△ABC≌DEF的是（ ）
A．AC∥DFB．AD＝BEC．∠CBA＝∠FED＝90°D．∠C＝∠F
21．如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC＝BDB．∠1＝∠2C．AD＝BCD．∠C＝∠D
22．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．
求证：△AOB≌△COD．
23．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BF＝CE，求证：△ABC≌△DEF．
十三、全等三角形的判定与性质（共1小题）
24．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A．30B．50C．60D．80
十四、角平分线的性质（共3小题）
25．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
26．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
27．如图，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为_________m．
十五、线段垂直平分线的性质（共4小题）
28．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．14B．28C．18D．23
29．如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG＝_________．
30．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长_________．
31．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．
十六、等腰三角形的性质（共5小题）
32．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A的度数是（ ）
A．45°B．70°C．65°D．50°
33．若等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为_________．
34．已知：等腰三角形的两边长分别为6cm，3cm，则此等腰三角形的周长是_________cm．
35．若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是_________．
36．等腰三角形的一个角是110°，则它的底角是_________．
十七、等腰三角形的判定（共1小题）
37．如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
十八、等腰三角形的判定与性质（共1小题）
38．如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝7．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求∠AMN的周长．
十九、等边三角形的性质（共1小题）
39．如图，若BD为等边△ABC的一条中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．
二十、直角三角形斜边上的中线（共1小题）
40．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠BED的度数为（ ）
A．118°B．108°C．120°D．116°
二十一、勾股定理（共4小题）
41．若三角形三边长为6，8，11，则该三角形是_________三角形（填“锐角”，“直角”或“钝角”）．
42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝13cm，AC＝12cm，那么点D到直线AB的距离是_________cm．
43．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC分别与AD，AC交于点E，F．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）若EF＝2，求CF的长．
44．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E、F分别是BD和AC的中点，连接EF．
（1）试判断EF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝26，EF＝5，求AC的长．
二十二、勾股定理的证明（共1小题）
45．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；
②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
（2）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有_________个；
（3）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系_________．
二十三、勾股定理的逆定理（共1小题）
46．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB＝，BC＝4，AC＝5D．∠A＝40°，∠B＝50°
二十四、勾股数（共2小题）
47．下面各组数中，勾股数是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．1，1，C．5，12，13D．1，，2
48．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．2，4，6B．1，，2C．8，15，17D．0.3，0.4，0.5
二十五、勾股定理的应用（共3小题）
49．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面_________尺．
50．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．
51．如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行）
二十六、关于x轴、y轴对称的点的坐标（共2小题）
52．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标_________．
53．点（﹣3，﹣4）关于x轴对称点的坐标为_________．
二十七、作图-轴对称变换（共3小题）
54．如图，平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣2）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1向左平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；
（3）如果AC上有一点P（m，n）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点P2的坐标是_________．
55．如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，直接写出点P的坐标．
56．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（4，3）．
（1）请在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，请直接写出点B1，C1的坐标；
（3）求出△A1B1C1的面积．
二十八、利用轴对称设计图案（共1小题）
57．如图所示，北京2022年冬奥会会徽的创意来自汉字“冬”．下列四个选项中，能由该图经过一次轴对称变换得到的是（ ）
A．B．C．D．
二十九、坐标与图形变化-平移（共2小题）
58．在平面直角坐标系中，把点（2，3）向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的坐标是（ ）
A．（3，1）B．（0，4）C．（4，4）D．（1，1）
59．如图．平面直角坐标系中，线段AB端点坐标分别为A（﹣5，0），B（0，﹣3），若将线段AB平移至线段A1B1，且A1（﹣3，m），B1（2，1），则m的值为_________．
三十．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
60．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）
参考答案
一、算术平方根（共1小题）
1．计算：＝ 4 ．
【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴＝4，
故答案为4．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
二、立方根（共1小题）
2．计算求下列各式中的x
（1）9x2﹣4＝0；（2）（x+1）3＝﹣27．
【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）x2＝，
x＝x＝﹣
（2）x+1＝﹣3
x＝﹣4
【点评】本题考查立方根与平方根的定义，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．
三、实数与数轴（共1小题）
3．如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，将对角线BC绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是 1﹣ ．
【分析】先计算BC的长，即BC＝BM，再确定M点表示的数．
【解答】解：根据题意得：BC＝，OB＝1，
∴BM＝BC＝，OM＝MB﹣OB＝﹣1，
∵M点在原点O的左侧，
∴点M表示的数是﹣（﹣1）＝1﹣，
故答案为：1﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握数轴上的点表示数的特点．
四．估算无理数的大小（共1小题）
4．若a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，则（﹣b）a的值为 ﹣64 ．
【分析】估算出的值，得到a，b的值，代入代数式计算即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴a＝3，b＝4，
∴（﹣b）a＝（﹣4）3＝﹣64，
故答案为：﹣64．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
五．实数的运算（共2小题）
5．（1）解方程：（x﹣1）2＝25；
（2）计算：．
【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案；
（2）直接利用立方根以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】（1）（x﹣1）2＝25，
解：开平方：x﹣1＝，
即：x﹣1＝5，
解得：x1＝6，x2＝﹣4；
（2）原式＝2﹣3﹣+1
＝﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
6．计算与求值：
（1）计算：；
（2）求下列各式中的x；
①5x2＝15；
②（x+3）3＝﹣64．
【分析】（1）利用绝对值的意义和立方根的意义解答即可；
（2）①利用平方根的意义解答即可；
②利用平方根的意义解答即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣3﹣2+
＝﹣3；
（2）①∵5x2＝15，
∴x2＝3．
∴x是3的平方根．
∴x＝±；
②∵（x+3）3＝﹣64，
∴x+3是﹣64的立方根，
∴x+3＝﹣4，
∴x＝﹣7．
【点评】本题主要考查了实数的运算，绝对值，立方根，平方根的意义，掌握相应的法则进行运算是关键．
六．点的坐标（共4小题）
7．点P在平面直角坐标系的第二象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点P的坐标是（ ）
A．（1，0）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
【分析】第二象限中横坐标为负，纵坐标为正，到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，进而可表示出点坐标．
【解答】解：由题意知点P的横坐标为﹣2，纵坐标为1，
∴点P的坐标为（﹣2，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了直角坐标系中的点坐标，掌握横、纵坐标的值是关键．
8．如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，那么点P的坐标（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征，即可判断．
【解答】解：如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为：（﹣2，1），
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．
9．如果点P坐标为（3，﹣4），那么点P到x轴的距离为 4 ．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答．
【解答】解：点P（3，﹣4）到x轴的距离为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
10．点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离分别为2、3．则点P的坐标是 （﹣3，2） ．
【分析】点P在第二象限，所以横坐标为负数，纵坐标为正数，再根据到x轴，y轴的距离分别为2、3求解即可．
【解答】解：∵点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离分别为2、3，
∴点P坐标为（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键．
七．坐标确定位置（共1小题）
11．根据下列表述，能确定准确位置的是（ ）
A．万达影城1号厅2排
B．东经119°27'，北纬32°17'
C．江都中学南偏东40°
D．仙城北路
【分析】根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、万达影城影城3号厅2排，不能确定具体位置，不符合题意；
B、东经117°，北纬36°，能确定具体位置，符合题意；
C、江都中学南偏东40°，不能确定具体位置，不符合题意；
D、仙城北路，不能确定具体位置，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键．
八．函数的图象（共1小题）
12．如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意判断出大烧杯的液面高度y（cm）随时间x（s）的变化情况即可．
【解答】解：大烧杯的液面高度y（cm）随时间x的增加而增大，当小烧杯注满水后大烧杯的液面高度升高速度应该是由快到慢，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
九．一次函数与一元一次不等式（共2小题）
13．根据图象，可得关于x的不等式k1x＜k2x+b的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＜3D．x＞3
【分析】根据函数图象得出两函数的交点坐标，再得出不等式的解集即可．
【解答】解：从图象可知：两函数的图象的交点坐标是（2，3），
所以关于x的不等式k1x＜k2x+4的解集是x＜2，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图象得出两函数的交点坐标是解此题的关键．
14．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞1的解集是 x＜0 ．
【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以得到不等式kx+b＞1的解集，本题得以解决．
【解答】解：由图象可得，
当y＝1时，y＝kx+b对应的自变量x的值是0，该函数图象y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＞1的解集为x＜0，
故答案为：x＜0．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键．
一十．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题）
15．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组的解是 ．
【分析】先利用y＝﹣x+4确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【解答】解：把P（m，1）代入y＝﹣x+4得﹣m+4＝1，解得m＝3，
所以P点坐标为（3，1），
所以关于x、y的二元一次方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
一十一．全等三角形的性质（共3小题）
16．如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝70°，∠B＝40°，则∠F的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠E＝40°，∠F＝∠C，∠A＝∠D＝70°，然后利用三角形内角和定理计算出∠F的度数，进而可得答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E＝40°，∠F＝∠C，∠A＝∠D＝70°，
∴∠F＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠F＝70°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
17．如图，已知△ABC≌△ADC，∠B＝30°，∠BAC＝23°，则∠ACD的度数为 127° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠BAC＝23°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝127°，
∵△ABC≌△ADC，
∴∠ACD＝∠ACB＝127°，
故答案为：127°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
18．如图，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，则CF＝ 3 ．
【分析】根据题意出去EF，再根据全等三角形的对应边相等解答即可．
【解答】解：∵BE＝5，BF＝1，
∴EF＝BE﹣BF＝4，
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝3，
∴CF＝BC﹣BF＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
一十二．全等三角形的判定（共5小题）
19．如图，△ABC与△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，则添加下列条件后，能运用“SAS”判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝EFB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．∠C＝∠F
【分析】根据题目中的条件可知：AB＝DE，∠B＝∠E，再根据图形可知，当BC＝EF时，△ABC≌△DEF（SAS），从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：在△ABC与△DEF中，
∵AB＝DE，∠B＝∠E，
∴添加条件BC＝EF时，△ABC≌△DEF（SAS），
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．
20．已知：如图，AC＝DF，BC＝EF，下列条件中，不能证明△ABC≌DEF的是（ ）
A．AC∥DFB．AD＝BE
C．∠CBA＝∠FED＝90°D．∠C＝∠F
【分析】根据三角形的判定定理，结合题目所给条件进行判定即可．
【解答】解：A、由AC∥DF可得∠A＝∠FDB，再加上条件AC＝DF，BC＝EF，不能证明△ABC≌DEF，故此选项正确；
B、AD＝BE可得AB＝DE，再加上条件AC＝DF，BC＝EF，可利用SSS定理证明△ABC≌DEF，故此选项错误；
C、∠CBA＝∠FED＝90°可利用HL定理证明△ABC≌DEF，故此选项错误；
D、∠C＝∠F可利用SAS定理证明△ABC≌DEF，故此选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
21．如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC＝BDB．∠1＝∠2C．AD＝BCD．∠C＝∠D
【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可．
【解答】解：A、∵AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，AB＝AB，
∴根据SAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；
B、∵∠CAB＝∠DBA，AB＝AB，∠1＝∠2，
∴根据ASA能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；
C、根据AD＝BC和已知不能推出△ABC≌△BAD，故本选项正确；
D、∵∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AB＝AB，
∴根据AAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
22．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．
求证：△AOB≌△COD．
【分析】先证明∠COD＝∠AOB，然后根据“SAS”可证明△AOB≌△COD．
【解答】证明：∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC﹣∠AOD＝∠BOD﹣∠AOD，
即∠COD＝∠AOB，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．
23．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BF＝CE，求证：△ABC≌△DEF．
【分析】首先利用等式的性质求出BC＝EF，进而利用全等三角形的判定定理AAS证明两个三角形全等．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
一十三．全等三角形的判定与性质（共1小题）
24．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A．30B．50C．60D．80
【分析】易证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF＝BG，AG＝EF，GC＝DH，BG＝CH，即可求得梯形DEFH的面积和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面积，即可解题．
【解答】解：∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠EAF+∠AEF＝90°，
∴∠BAG＝∠AEF，
∵在△AEF和△BAG中，，
∴△AEF≌△BAG，（AAS）
同理△BCG≌△CDH，
∴AF＝BG，AG＝EF，GC＝DH，BG＝CH，
∵梯形DEFH的面积＝（EF+DH）•FH＝80，
S△AEF＝S△ABG＝AF•FE＝9，
S△BCG＝S△CDH＝CH•DH＝6，
∴图中实线所围成的图形的面积S＝80﹣2×9﹣2×6＝50，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH是解题的关键．
一十四．角平分线的性质（共3小题）
25．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．
【解答】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9﹣5＝4，
∴AC×DF＝4，
∴AC×2＝4，
∴AC＝4，
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
26．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE＝EF，再根据三角形的面积公式，即可求得△BCE的面积．
【解答】解：作EF⊥BC交BC于点F，
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥BA，
∵BE平分∠ABC，
∴DE＝EF，
∵DE＝2，
∴EF＝2，
∵BC＝8，
∴S△BCE＝，
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF⊥BC，求出EF的长．
27．如图，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为 200 m．
【分析】过D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得出DE＝DC，再求出DC的长即可．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD为∠CAB的平分线，
∴DE＝DC，
∵BC＝1000m，BD＝800m，
∴DC＝BC﹣BD＝200m，
∴DE＝DC＝200m，
即此时这个人到AB的最短距离为200m，
故答案为：200．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键．
一十五．线段垂直平分线的性质（共4小题）
28．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．14B．28C．18D．23
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BE＝CE，BD＝CD，根据△ABD的周长为13，可得AB+AC＝13，进一步求解即可．
【解答】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，
∴BE＝CE，BD＝CD，
∵△ABD的周长为13，
∴AB+AD+BD＝AB+AC＝13，
∵BE＝5，
∴BC＝10，
∴△ABC的周长AB+AC+BC＝13+10＝23，
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
29．如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG＝ 40° ．
【分析】由条件可求得∠EAB＝∠EBA，∠GAC＝∠GCA，且可求得∠BAC＝110°，则可求得∠EAB+∠GAC＝70°，再利用角的和差可求得∠EAG．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA＝50°，
同理∠GAC＝∠GCA＝20°，
∴∠GAC+∠EAB＝20°+50°＝70°，
∵∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣20°＝110°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠GAC+∠EAB）＝110°﹣70°＝40°
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
30．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长 6 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝AE＝4，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB＝AE＝4，
∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
31．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）由在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，AE＝CE，继而可得△ADE的周长＝BC；
（2）由AD＝BD，AE＝CE，可求得∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，又由∠BAC＝128°，即可求得∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，继而求得答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
又∵BC＝10，
∴△ADE周长为：AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝10；
（2）∵AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
又∵∠BAC＝128°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝128°﹣52°＝76°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
一十六．等腰三角形的性质（共5小题）
32．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A的度数是（ ）
A．45°B．70°C．65°D．50°
【分析】由“SAS”证△BFD≌△CDE，得∠BFD＝∠CDE，再由三角形的外角性质得∠B＝∠FDE＝65°＝∠C，然后由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，
∴∠B＝∠FDE＝65°，
∴∠C＝∠B＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识，证明△BFD≌△CDE是解题的关键．
33．若等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为 27 ．
【分析】分5是腰长和底边长两种情况讨论求解，再利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，然后根据周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，
∵5+5＝10＜11，
∴不能组成三角形，
5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，
能组成三角形，
周长＝5+11+11＝27，
综上所述，这个等腰三角形的周长为27．
故答案为：27．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
34．已知：等腰三角形的两边长分别为6cm，3cm，则此等腰三角形的周长是 15 cm．
【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3cm，只能为6cm，然后即可求得等腰三角形的周长．
【解答】解：①6cm为腰，3cm为底，此时周长为6+6+3＝15cm；
②6cm为底，3cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是15cm．
故答案为：15．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
35．若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是 50°或80° ．
【分析】可知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
36．等腰三角形的一个角是110°，则它的底角是 35° ．
【分析】题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣110°）÷2＝35°；
②当这个角是底角时，另一个底角为110°，因为110°+110°＝240°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：35°．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
一十七．等腰三角形的判定（共1小题）
37．如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】分别画出以A点和B点为顶点的等腰三角形，再画出C为顶点的等腰三角形即可．
【解答】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：
所以符合条件的点C的个数为3个，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．
一十八．等腰三角形的判定与性质（共1小题）
38．如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝7．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求∠AMN的周长．
【分析】（1）根据三角形的内角和为180°及角平分线的定义即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△CNO都是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，进而可得C△AMN＝AB+AC，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣∠A，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A＝90°+40°＝130°；
（2）∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴∠ABO＝∠MOB，
∴MO＝BM，
同理可得，NO＝NC，
∴AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+AN+NC＝AB+AC，
∵AB＝5，AC＝7，
∴AB+AC＝12，
∴△AMN的周长＝AB+AC＝12．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
一十九．等边三角形的性质（共1小题）
39．如图，若BD为等边△ABC的一条中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD＝DE，求出BC，在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD即可．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC，
∵BD为中线，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB，
∴∠E＝30°＝∠DBC，
∴BD＝DE，
∵BD是AC中线，CD＝1，
∴AD＝DC＝1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝1+1＝2，BD⊥AC，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD＝＝，
即DE＝BD＝，
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE＝BD和求出BD的长．
二十．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
40．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠BED的度数为（ ）
A．118°B．108°C．120°D．116°
【分析】根据已知条件可以判断EA＝EB＝EC＝DE，根据三角形外角定理可得到：∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝2∠DAE+2∠BAE＝2∠DAB＝116°．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，
∴EA＝EB＝EC＝DE，
∴∠DAE＝∠EDA，∠BAE＝∠EBA，
在△AED中，∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，
同理可得到：∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+2∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝2×58°＝116°，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用，掌握基本定理是解题的关键．
二十一．勾股定理（共4小题）
41．若三角形三边长为6，8，11，则该三角形是 钝角 三角形（填“锐角”，“直角”或“钝角”）．
【分析】先判断三角形三边长为6，8，10，可以构成直角三角形，11比直角三角形的斜边10还长，即构成的是钝角三角形，据此即可作答．
【解答】解：∵82+62＝102，
∴三角形三边长为6，8，10，
可以构成直角三角形，
∵10＜11，即：82+62＝102＜112，
∴三角形三边长为6，8，11，
此时构成的是钝角三角形，
故答案为：钝角．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理以三角形形状的判断等知识，掌握三角形中两条较短边的平方和小于第三边的平方，此时三角形为钝角三角形，是解答本题的关键．
42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝13cm，AC＝12cm，那么点D到直线AB的距离是 5 cm．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出DE＝CD，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠CAB，AC⊥CD，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD＝＝5，
∴DE＝5cm，
故答案为：5．
【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质以及勾股定理是解题的关键．
43．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC分别与AD，AC交于点E，F．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）若EF＝2，求CF的长．
【分析】（1）由∠BAC＝90°，∠C＝30°可得∠ABC＝60°，根据BF平分∠ABC得∠CBF＝∠ABF＝30°，根据∠AEF＝∠BED＝90°﹣∠CBF＝60°，∠AFB＝90°﹣∠ABF＝60°，得∠AFE＝∠AEF＝60°，即可得△AEF是等边三角形；
（2）可得∠BAE＝∠ABF＝30°，则AE＝BE，由（1）知△AEF是等边三角形，得AE＝EF，由此可得CF的长．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝30°，
∴BF＝CF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AEF＝∠BED＝90°﹣∠CBF＝60°，
∵∠AFB＝90°﹣∠ABF＝60°，
∴∠AFE＝∠AEF＝60°，
∴△AEF是等边三角形；
（2）解：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABF＝30°，
∴AE＝BE，
由（1）知△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝2，
∴BE＝EF＝2，
∴BF＝2EF＝4，
由（1）知，CF＝BF＝4．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，掌握数形结合思想是解题的关键．
44．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E、F分别是BD和AC的中点，连接EF．
（1）试判断EF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝26，EF＝5，求AC的长．
【分析】（1）连接AE，CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE＝BD，CE＝BD，那么AE＝CE，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明EF⊥AC．
（2）求出CE的长，根据勾股定理求出CF的长，则可得出答案．
【解答】（1）解：EF⊥AC．
理由：连接AE，CE．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，
∴AE＝BD，CE＝BD，
∴AE＝CE，
又∵F是AC的中点，
∴EF⊥AC．
（2）∵BD＝26，
∴CE＝BD＝13，
∴CF＝＝＝12，
∴AC＝2CF＝24．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键．
二十二．勾股定理的证明（共1小题）
45．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；
②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
（2）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有 3 个；
（3）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系 S1+S2＝S3 ．
【分析】（1）①将图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；②图1中：a2+b2＝c2＝17，（b﹣a）2＝5，即可得2ab＝12，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，据此即可作答；
（2）根据题意得：a2+b2＝c2，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解；
（3）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角形的面积，根据图形特点表示出（S1+S2），结合勾股定理，即可得到答案．
【解答】（1）①证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得a2+b2＝c2．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得a2+b2＝c2．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即，化简得a2+b2＝c2．
②解：在图1中：a2+b2＝c2＝17，（b﹣a）2＝5，
图2中大正方形的面积为：（a+b）2，
∵a2﹣2ab+b2＝5，（b﹣a）2＝5，
∴17﹣2ab＝5，2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17+12＝29，
∴图2中大正方形的面积为29．
（2）解：根据题意得：a2+b2＝c2，
如图4：
即有：，，，
∴S1+S2＝S3；
如图5：
，，，
∵，
∴S1+S2＝S3；
如图6：
下面推导正三角形的面积公式：
正△XYZ的边长为u，过顶点x作XV⊥YZ，V为垂足，如图，
在正△XYZ中，有∠Y＝60°，XZ＝XY＝YZ＝u，
∵XV⊥YZ，
∴∠XVY＝90，，
∴在Rt△XYV中，有，
∴正△XYZ的面积为：，
∴，，
∵
∴S1+S2＝S3；
∴三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个，
故答案为：3；
（3）解：关系：S1+S2＝S3，理由如下：
以a为直径的半圆面积为：，
以b为直径的半圆面积为：，
以c为直径的半圆面积为：，
三角形的面积为：，
∴，
即：，
结合（1）的结论：a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．
二十三．勾股定理的逆定理（共1小题）
46．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB＝，BC＝4，AC＝5D．∠A＝40°，∠B＝50°
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、设AB＝3x，则BC＝4x，AC＝5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵42+52＝（）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A＝40°，∠B＝50°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
二十四．勾股数（共2小题）
47．下面各组数中，勾股数是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．1，1，
C．5，12，13D．1，，2
【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
【解答】解：A、都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；
B、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；
D、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的概念，正确记忆满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数是解题关键．
48．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．2，4，6B．1，，2
C．8，15，17D．0.3，0.4，0.5
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
【解答】解：A、22+42≠62，不能构成勾股数，不符合题意；
B、不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意；
C、82+152＝172，能构成勾股数，符合题意；
D、0.3，0.4，0.5不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
二十五．勾股定理的应用（共3小题）
49．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 4.55 尺．
【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【解答】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：
x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
50．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．
【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
【解答】解：设旗杆高度为xm，则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，
在Rt△ABC中，
AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，
解得：x＝17，
答：旗杆的高度为17m．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
51．如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行）
【分析】根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离．
【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（x+10）米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：x2+702＝（x+10）2，
解得x＝240，
答：河宽240米．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
二十六．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共2小题）
52．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标 （2，3） ．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点评】考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
53．点（﹣3，﹣4）关于x轴对称点的坐标为 （﹣3，4） ．
【分析】直接利用关于x轴对称的性质，关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：点（﹣3，﹣4）关于x轴对称点的坐标为：（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
二十七．作图-轴对称变换（共3小题）
54．如图，平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣2）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1向左平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；
（3）如果AC上有一点P（m，n）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点P2的坐标是 （m﹣4，﹣n） ．
【分析】（1）利用轴对称的性质即可画图；
（2）利用平移的性质即可画图；
（3）根据平面直角坐标系中点的变化规律可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）点P（m，n）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点P2的坐标为（m﹣4，﹣n），
故答案为：（m﹣4，﹣n）．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换、平移变换，平面直角坐标系中点的变换规律等知识，准确画出图形是解题的关键，属于常考题．
55．如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形面积仅为掌握三个三角形面积即可；
（3）构建方程求出a可得结论．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标（﹣2，1）；
（2）S△ABC＝5×5﹣×4×5﹣×1×3﹣×5×2＝8.5．
（3）∵点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，
∴|a﹣2|＝4，
∴a＝6或﹣2，
∴P（6，4）或（﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
56．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（4，3）．
（1）请在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，请直接写出点B1，C1的坐标；
（3）求出△A1B1C1的面积．
【分析】（1）描点、连线即可；
（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示即为所求图形．
（2）△A1B1C1即为所求图形，B1（﹣3，1），C1（﹣4，3）；
（3）．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
二十八．利用轴对称设计图案（共1小题）
57．如图所示，北京2022年冬奥会会徽的创意来自汉字“冬”．下列四个选项中，能由该图经过一次轴对称变换得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称变换的性质判断即可．
【解答】解：根据轴对称的定义可知，由题图经过变换得到的图形是：．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣利用周长设计图案，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
二十九．坐标与图形变化-平移（共2小题）
58．在平面直角坐标系中，把点（2，3）向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的坐标是（ ）
A．（3，1）B．（0，4）C．（4，4）D．（1，1）
【分析】根据向上平移纵坐标加，向左平移横坐标减求解即可．
【解答】解：∵点（2，3）向上平移1个单位，再向左平移2个单位，
∴所得到的点的横坐标是2﹣2＝0，
纵坐标是3+1＝4，
∴所得点的坐标是（0，4）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
59．如图．平面直角坐标系中，线段AB端点坐标分别为A（﹣5，0），B（0，﹣3），若将线段AB平移至线段A1B1，且A1（﹣3，m），B1（2，1），则m的值为 4 ．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得线段AB向右平移2个单位，向上平移4个单位，进而可得m的值．
【解答】解：∵A（﹣5，0），B（0，﹣3），若将线段AB平移至线段A1B1，且A1（﹣3，m），B1（2，1），
∴线段AB向右平移2个单位，向上平移4个单位可得线段A1B1，
∴m＝0+4＝4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
三十．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
60．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）
【分析】作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定P′点的坐标．
【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，
∵P（2，3），
∴PQ＝2，OQ＝3，
∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，
∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，
∴点P′的坐标为（3，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，掌握旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求坐标是关键．