期末必刷常考易错60题-2024-2025学年八年级上册数学单元易错必刷题练习（苏科版）

这是一份期末必刷常考易错60题-2024-2025学年八年级上册数学单元易错必刷题练习（苏科版），共49页。试卷主要包含了近似数和有效数字，算术平方根，立方根，实数与数轴，估算无理数的大小，实数的运算，点的坐标，函数的概念等内容，欢迎下载使用。
一、近似数和有效数字（共1小题）
1．全球七大洲的总面积约为149 480 000km2，对这个数据精确到百万位可表示为______km2．
二、算术平方根（共1小题）
2．4的平方根是（ ）
A．B．±C．2D．±2
三、立方根（共3小题）
3．下列各式正确的是（ ）
A．＝±6B．﹣＝﹣2C．＝﹣6D．＝﹣
4．已知一个正数的两个平方根分别为a和2a﹣6．
（1）求a的值，并求这个正数；
（2）求10a+7的立方根．
5．已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a+10b+c的平方根．
四、实数与数轴（共1小题）
6．如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，将对角线BC绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是______．
五、估算无理数的大小（共1小题）
7．若a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，则（﹣b）a的值为______．
六、实数的运算（共1小题）
8．（1）计算：；（2）求3（x﹣1）3＝81中的x的值．
七、点的坐标（共1小题）
9．点P在平面直角坐标系的第二象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点P的坐标是（ ）
A．（1，0）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
八、函数的概念（共1小题）
10．下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
九、函数自变量的取值范围（共1小题）
11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是______．
十、函数的图象（共1小题）
12．如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
十一、正比例函数的定义（共2小题）
13．已知y关于x的函数y＝（m+2）x+m2﹣4是正比例函数，则m的值是______．
14．如图，已知B中的实数与A中的实数之间的对应关系是某个正比例函数，则图中a的值为______．
十二、一次函数的性质（共1小题）
15．一次函数y＝2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
十三、一次函数与一元一次不等式（共2小题）
16．根据图象，可得关于x的不等式k1x＜k2x+b的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＜3D．x＞3
17．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞1的解集是______．
十四、一次函数与二元一次方程（组）（共1小题）
18．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组的解是______．
十五、一次函数的应用（共1小题）
19．甲、乙两人在笔直的人行道上同起点、同终点、同方向匀速步行1800米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发后步行的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了22.5分钟；
③乙用9分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有270米．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
十六、全等三角形的性质（共4小题）
20．已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
21．已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为12，若AB＝5，BC＝4，AC＝ ．
22．如图，△ABC≌△DEF，点B、F、C、E在同一条直线上，AC、DF交于点M，∠ACB＝43°，则∠AMF的度数是 °．
23．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
（1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长；
（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数．
十七、全等三角形的判定（共5小题）
24．如图，△ABC与△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，则添加下列条件后，能运用“SAS”判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝EFB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．∠C＝∠F
25．如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（ ）
A．AD＝BCB．BD＝ACC．∠D＝∠CD．∠DAB＝∠CBA
26．已知：如图，AC＝DF，BC＝EF，下列条件中，不能证明△ABC≌DEF的是（ ）
A．AC∥DFB．AD＝BEC．∠CBA＝∠FED＝90° D．∠C＝∠F
27．如图，已知AO＝CO，若以“SAS”为依据证明△AOB≌△COD，还要添加的条件______．
28．如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC．
十八、全等三角形的判定与性质（共4小题）
29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，过D作DE⊥AB交AC于点E，BC＝BD，连接CD交BE于点F．
（1）求证：CE＝DE；
（2）若点D为AB的中点，求∠AED的度数．
30．已知：如图，AB＝CD，DE＝BF，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）判断AE与CF的位置关系，并说明理由．
31．已知：如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．求证：
（1）△ABC≌△BAD；
（2）AO＝BO．
32．已知：如图，AB＝DC，∠1＝∠2．求证：∠EBC＝∠ECB．
十九．全等三角形的应用（共1小题）
33．如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
二十、角平分线的性质（共1小题）
34．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．
二十一、线段垂直平分线的性质（共3小题）
35．如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG＝______．
36．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长______．
37．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．
二十二、等腰三角形的性质（共3小题）
38．若等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为______．
39．等腰三角形的两条边长分别为3和7，则该等腰三角形的周长为______．
40．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．
二十三、等腰三角形的判定与性质（共1小题）
41．如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝7．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求∠AMN的周长．
二十四、勾股定理（共6小题）
42．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQ∥CA交PO的延长线于点Q，OM⊥PQ交BC边于点M．当CP＝1时，BM的长为______．
43．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到AB的距离是______．
44．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC为斜边作等腰直角三角形S1、S2，以AB为边作正方形S．若S1与S2的面积和为9，则正方形S的边长等于______．
45．已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8．则边BC的长为______．
46．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是______．
47．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E、F分别是BD和AC的中点，连接EF．
（1）试判断EF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝26，EF＝5，求AC的长．
二十五、勾股定理的逆定理（共5小题）
48．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A﹣∠B＝∠CB．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．（b+c）（b﹣c）＝a2D．a＝7，b＝24，c＝25
49．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB＝，BC＝4，AC＝5D．∠A＝40°，∠B＝50°
50．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
51．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
52．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝1，AD＝2，CD＝4．
（1）求证：∠BAC＝90°；
（2）点P为BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长．
二十六、勾股数（共1小题）
53．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．2，4，6B．1，，2C．8，15，17D．0.3，0.4，0.5
二十七、勾股定理的应用（共1小题）
54．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）根据题意，BF＝______m，BC＝______m，CD＝______m；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送______m．
二十八、轴对称图形（共3小题）
55．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
56．日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
57．观察如图的网络图标，其中可以看成轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
二十九、关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）
58．若点P（m，﹣2），B（﹣4，n﹣3）关于x轴对称，则（ ）
A．m＝﹣4；n＝5B．m＝﹣4；n＝﹣5C．m＝4；n＝1D．m＝4；n＝﹣1
三十、作图-轴对称变换（共1小题）
59．如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，直接写出点P的坐标．
三十一、翻折变换（折叠问题）（共1小题）
60．如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC．把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD．如果∠BAC＝35°，则∠CBD的度数是______．
参考答案
一、近似数和有效数字（共1小题）
1．全球七大洲的总面积约为149 480 000km2，对这个数据精确到百万位可表示为 1.49×108 km2．
【分析】先用科学记数法表示，然后根据近似数的精确度四舍五入即可．
【解答】解：149 480 000km2≈1.49×108km2（精确到百万位）．
故答案为1.49×108．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．
二、算术平方根（共1小题）
2．4的平方根是（ ）
A．B．±C．2D．±2
【分析】4的平方根是两个，正负2．
【解答】解：22＝2，（﹣2）2＝4，
∴4的平方根为：±2，
故选：D．
【点评】本题考查的是平方根，解题的关键是4的平方根有两个，不要漏解．
三．立方根（共3小题）
3．下列各式正确的是（ ）
A．＝±6B．﹣＝﹣2C．＝﹣6D．＝﹣
【分析】原式利用平方根，立方根，以及二次根式性质化简得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、＝6，错误；
B、﹣＝﹣（﹣2）＝2，错误；
C、＝|﹣6|＝6，错误；
D、＝﹣，正确．
故选：D．
【点评】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
4．已知一个正数的两个平方根分别为a和2a﹣6．
（1）求a的值，并求这个正数；
（2）求10a+7的立方根．
【分析】（1）根据平方根的性质列出算式，求出a的值即可；
（2）求出10a+7的值，根据立方根的概念求出答案．
【解答】解：（1）由平方根的性质得，a+2a﹣6＝0，
解得a＝2，
∴这个正数为22＝4；
（2）当a＝2时，10a+7＝27，
∵27的立方根3，
∴10a+7的立方根为3．
【点评】本题考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握平方根和立方根的概念是解题的基础．
5．已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a+10b+c的平方根．
【分析】（1）根据立方根，算术平方根，平方根的概念即可求出答案；
（2）根据（1）中所求a、b、c的值代入代数式3a+10b+c中即可求出答案．
【解答】解：（1）根据题意可知，
3a+21＝27，解得a＝2，
4a﹣b﹣1＝4，解得b＝3，
c＝0，
所以a＝2，b＝3，c＝0；
（2）因为3a+10b+c＝3×2+10×3+0＝36，
36的平方根为±6．
所以3a+10b+c的平方根为±6．
【点评】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解是解决本题的关键．
四．实数与数轴（共1小题）
6．如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，将对角线BC绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是 1﹣ ．
【分析】先计算BC的长，即BC＝BM，再确定M点表示的数．
【解答】解：根据题意得：BC＝，OB＝1，
∴BM＝BC＝，OM＝MB﹣OB＝﹣1，
∵M点在原点O的左侧，
∴点M表示的数是﹣（﹣1）＝1﹣，
故答案为：1﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握数轴上的点表示数的特点．
五．估算无理数的大小（共1小题）
7．若a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，则（﹣b）a的值为 ﹣64 ．
【分析】估算出的值，得到a，b的值，代入代数式计算即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴a＝3，b＝4，
∴（﹣b）a＝（﹣4）3＝﹣64，
故答案为：﹣64．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
六．实数的运算（共1小题）
8．（1）计算：；
（2）求3（x﹣1）3＝81中的x的值．
【分析】（1）先计算二次根式与绝对值，再计算加减；
（2）通过变形后运用开立方进行求解．
【解答】解：（1）
＝3+π﹣3﹣3
＝π﹣3；
（2）两边都除以3，得
（x﹣1）3＝27，
开立方，得x﹣1＝3，
解得x＝4．
【点评】此题考查了实数混合运算的能力，关键是能准确确定运算方法和顺序，并能进行正确地计算．
七．点的坐标（共1小题）
9．点P在平面直角坐标系的第二象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点P的坐标是（ ）
A．（1，0）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
【分析】第二象限中横坐标为负，纵坐标为正，到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，进而可表示出点坐标．
【解答】解：由题意知点P的横坐标为﹣2，纵坐标为1，
∴点P的坐标为（﹣2，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了直角坐标系中的点坐标，掌握横、纵坐标的值是关键．
八．函数的概念（共1小题）
10．下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，C选项中一个x值对应多个y值，与函数的概念不一致，由此即可求解．
【解答】解：A图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故不符合题意；
B图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故不符合题意；
C图形中，一个x值对应多个y值，不符合函数的定义，故符合题意；
D图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义，理解函数的定义，将图形与函数的定义结合是解题的关键．
九．函数自变量的取值范围（共1小题）
11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数．
一十．函数的图象（共1小题）
12．如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意判断出大烧杯的液面高度y（cm）随时间x（s）的变化情况即可．
【解答】解：大烧杯的液面高度y（cm）随时间x的增加而增大，当小烧杯注满水后大烧杯的液面高度升高速度应该是由快到慢，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
十一．正比例函数的定义（共2小题）
13．已知y关于x的函数y＝（m+2）x+m2﹣4是正比例函数，则m的值是 2 ．
【分析】依据正比例函数的定义得到m+2≠0且m2﹣4＝0，求得m的值即可．
【解答】解：根据题意得：m+2≠0且m2﹣4＝0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，依据正比例函数的定义列出方程组是解题的关键．
14．（2022秋•常州期末）如图，已知B中的实数与A中的实数之间的对应关系是某个正比例函数，则图中a的值为 ．
【分析】利用待定系数法求出该函数关系式，再把y＝2代入，即可求解．
【解答】解：设该函数关系式为y＝kx（k≠0），
根据题意得：当x＝1时，y＝3，
∴k＝3，
∴该函数关系式为y＝3x，
当y＝2时，3a＝2，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了求正比例函数解析式，以及函数值，准确求出正比例函数解析式是解题的关键．
十二．一次函数的性质（共1小题）
15．一次函数y＝2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．
【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，b＝1＞0，
∴一次函数y＝2x+1的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
十三．一次函数与一元一次不等式（共2小题）
16．根据图象，可得关于x的不等式k1x＜k2x+b的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＜3D．x＞3
【分析】根据函数图象得出两函数的交点坐标，再得出不等式的解集即可．
【解答】解：从图象可知：两函数的图象的交点坐标是（2，3），
所以关于x的不等式k1x＜k2x+4的解集是x＜2，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图象得出两函数的交点坐标是解此题的关键．
17．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞1的解集是 x＜0 ．
【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以得到不等式kx+b＞1的解集，本题得以解决．
【解答】解：由图象可得，
当y＝1时，y＝kx+b对应的自变量x的值是0，该函数图象y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＞1的解集为x＜0，
故答案为：x＜0．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键．
一十四．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题）
18．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组的解是 ．
【分析】先利用y＝﹣x+4确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【解答】解：把P（m，1）代入y＝﹣x+4得﹣m+4＝1，解得m＝3，
所以P点坐标为（3，1），
所以关于x、y的二元一次方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
一十五．一次函数的应用（共1小题）
19．甲、乙两人在笔直的人行道上同起点、同终点、同方向匀速步行1800米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发后步行的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了22.5分钟；
③乙用9分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有270米．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
甲步行的速度为：180÷3＝60米/分，故①正确，
乙走完全程用的时间为：1800÷（12×60÷9）＝22.5（分钟），故②正确，
乙追上甲用的时间为：12﹣3＝9（分钟），故③正确，
乙到达终点时，甲离终点距离是：1800﹣（3+22.5）×60＝270米，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答
一十六．全等三角形的性质（共4小题）
20．已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．
【解答】解：∵图中的两个三角形全等，
∴∠α＝50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．
21．已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为12，若AB＝5，BC＝4，AC＝ 3 ．
【分析】根据全等三角形的周长相等求出△ABC的周长，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，
∴△ABC的周长为12，又AB＝5，BC＝4，
∴AC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的周长相等，面积相等是解题的关键．
22．如图，△ABC≌△DEF，点B、F、C、E在同一条直线上，AC、DF交于点M，∠ACB＝43°，则∠AMF的度数是 86 °．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠DFE＝∠ACB＝43°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠DFE＝∠ACB＝43°，
∵∠AMF是△MFC的一个外角，
∴∠AMF＝∠DFE+∠ACB＝86°，
故答案为：86．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
23．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
（1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长；
（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，结合图形计算，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，
∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，
∴AE＝AB＝BE＝8﹣5＝3；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝35°，∠C＝60°，
∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，∠ABC＝∠DEB，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°，
∵∠ABC＝85°，
∴∠DEB＝85°，
∴∠AED＝95°，
∴∠AFD＝∠A+∠AED＝35°+95°＝130°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
一十七．全等三角形的判定（共5小题）
24．如图，△ABC与△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，则添加下列条件后，能运用“SAS”判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝EFB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．∠C＝∠F
【分析】根据题目中的条件可知：AB＝DE，∠B＝∠E，再根据图形可知，当BC＝EF时，△ABC≌△DEF（SAS），从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：在△ABC与△DEF中，
∵AB＝DE，∠B＝∠E，
∴添加条件BC＝EF时，△ABC≌△DEF（SAS），
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．
25．如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（ ）
A．AD＝BCB．BD＝ACC．∠D＝∠CD．∠DAB＝∠CBA
【分析】根据图形找出公共边AB＝BA，再根据全等三角形的判定定理AAS得出即可．
【解答】解：A．AD＝BC，BA＝AB，∠1＝∠2不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ACB≌△BDA，故本选项不符合题意；
B．AB＝BA，∠1＝∠2，AC＝BD，符合全等三角形的判定定理SAS，不符合AAS定理，故本选项不符合题意；
C．∠D＝∠C，∠1＝∠2，AB＝BA，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ACB≌△BDA，故本选项符合题意；
D．∠DAB＝∠CBA，AB＝BA，∠1＝∠2，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ACB≌△BDA，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
26．已知：如图，AC＝DF，BC＝EF，下列条件中，不能证明△ABC≌DEF的是（ ）
A．AC∥DFB．AD＝BE
C．∠CBA＝∠FED＝90°D．∠C＝∠F
【分析】根据三角形的判定定理，结合题目所给条件进行判定即可．
【解答】解：A、由AC∥DF可得∠A＝∠FDB，再加上条件AC＝DF，BC＝EF，不能证明△ABC≌DEF，故此选项正确；
B、AD＝BE可得AB＝DE，再加上条件AC＝DF，BC＝EF，可利用SSS定理证明△ABC≌DEF，故此选项错误；
C、∠CBA＝∠FED＝90°可利用HL定理证明△ABC≌DEF，故此选项错误；
D、∠C＝∠F可利用SAS定理证明△ABC≌DEF，故此选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
27．如图，已知AO＝CO，若以“SAS”为依据证明△AOB≌△COD，还要添加的条件 BO＝DO ．
【分析】根据题意和图形，可以得到AO＝CO，∠AOB＝∠COD，然后即可得到△AOB≌△COD需要添加的条件．
【解答】解：∵AO＝CO，∠AOB＝∠COD，
∴添加条件BO＝DO，则△AOB≌△COD（SAS），
故答案为：BO＝DO．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
28．如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC．
【分析】根据垂直的定义得到∠ADE＝∠BCF＝90°，根据全等三角形的判定证明即可．
【解答】证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB，
∴∠ADE＝∠BCF＝90°，
∵AC＝BD，
∴AC+CD＝BD+CD，
即AD＝BC，
在Rt△ADE与Rt△BCF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等式的性质，解此题的关键是推出△AED≌△BFC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL（只适合直角三角形）．
一十八．全等三角形的判定与性质（共4小题）
29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，过D作DE⊥AB交AC于点E，BC＝BD，连接CD交BE于点F．
（1）求证：CE＝DE；
（2）若点D为AB的中点，求∠AED的度数．
【分析】（1）根据HL证明Rt△BCE≌Rt△BDE即可；
（2）想办法证明∠AED＝∠DEB＝∠CEB即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴△BCE与△BDE都是直角三角形，
在Rt△BCE与Rt△BDE中，
∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴CE＝DE．
（2）∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠BDE＝90°，
∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD，
又∵DE＝DE，
∴△ADE≌△BDE（SAS），
∴∠AED＝∠DEB，
∵△BCE≌△BDE（已证），
∴∠CEB＝∠DEB，
∴∠AED＝∠DEB＝∠CEB，
∵∠AED+∠DEB+∠CEB＝180°，
∴∠AED＝60°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
30．已知：如图，AB＝CD，DE＝BF，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）判断AE与CF的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）证得DF＝BE，可证明△ABE≌△CDF（SSS）．
（2）由全等三角形的性质得出∠AEB＝∠DFC，得出∠AEF＝∠EFC，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵DE＝BF，
∴DE﹣EF＝BF﹣EF．
即DF＝BE，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
（2）解：AE∥CF．
理由：∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠DFC，
∵∠AEB+∠AEF＝∠DFC+∠EFC＝180°，
∴∠AEF＝∠EFC，
∴AE∥CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
31．已知：如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．求证：
（1）△ABC≌△BAD；
（2）AO＝BO．
【分析】（1）直接利用HL证明即可；
（2）由△ABC≌△BAD得到∠ABC＝∠BAD，即可证得AO＝BO．
【解答】证明：（1）在 Rt△ABC和 Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
（2）∵△ABC≌△BAD，
∴∠ABC＝∠BAD，
∴AO＝BO．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
32．已知：如图，AB＝DC，∠1＝∠2．求证：∠EBC＝∠ECB．
【分析】利用“角角边”证明△ABE和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝CE，然后利用等边对等角证明即可．
【解答】证明：在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE（AAS），
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
一十九．全等三角形的应用（共1小题）
33．如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【分析】由于已知点O是AA′、BB′的中点O，再加对顶角相等即可证明△OAB≌△OA′B′，所以全等理由就可以知道了．
【解答】解：△OAB与△OA′B′中，
，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．
故选：B．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定方法，此题利用了SAS，做题时要认真读图，找出有用的条件是十分必要的．
二十．角平分线的性质（共1小题）
34．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．
【分析】连EB、EC，根据角平分线性质得EF＝EG；根据垂直平分线的性质得EB＝EC；再根据“HL”定理证明Rt△EFB≌Rt△EGC，从而得BF＝CG．
【解答】解：相等．
证明如下：连EB、EC，
∵AE是∠BAC的平分线，
且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，
∴EF＝EG．
∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，
∴EB＝EC．
∴Rt△EFB≌Rt△EGC，
∴BF＝CG．
【点评】本题考查了角平分线性质和垂直平分线的性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键．
二十一．线段垂直平分线的性质（共3小题）
35．如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG＝ 40° ．
【分析】由条件可求得∠EAB＝∠EBA，∠GAC＝∠GCA，且可求得∠BAC＝110°，则可求得∠EAB+∠GAC＝70°，再利用角的和差可求得∠EAG．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA＝50°，
同理∠GAC＝∠GCA＝20°，
∴∠GAC+∠EAB＝20°+50°＝70°，
∵∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣20°＝110°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠GAC+∠EAB）＝110°﹣70°＝40°
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
36．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长 6 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝AE＝4，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB＝AE＝4，
∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
37．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）由在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，AE＝CE，继而可得△ADE的周长＝BC；
（2）由AD＝BD，AE＝CE，可求得∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，又由∠BAC＝128°，即可求得∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，继而求得答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
又∵BC＝10，
∴△ADE周长为：AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝10；
（2）∵AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
又∵∠BAC＝128°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝128°﹣52°＝76°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
二十二．等腰三角形的性质（共3小题）
38．若等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为 27 ．
【分析】分5是腰长和底边长两种情况讨论求解，再利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，然后根据周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，
∵5+5＝10＜11，
∴不能组成三角形，
5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，
能组成三角形，
周长＝5+11+11＝27，
综上所述，这个等腰三角形的周长为27．
故答案为：27．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
39．等腰三角形的两条边长分别为3和7，则该等腰三角形的周长为 17 ．
【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去．
【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；
当7是腰时，则该等腰三角形的周长为3+7×2＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．
40．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．
【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE＝AE＝AC，根据等腰三角形三线合一即可知AD⊥BC
（2）设∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x的值．
【解答】解：（1）连接AE，
∵EF垂直平分AB
∴AE＝BE
∵BE＝AC
∴AE＝AC
∵D是EC的中点
∴AD⊥BC
（2）设∠B＝x°
∵AE＝BE
∴∠BAE＝∠B＝x°
∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°
∵AE＝AC
∴∠C＝∠AEC＝2x°
在三角形ABC中，3x°+75°＝180°
x°＝35°
∴∠B＝35°
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，本题属于中等题型．
二十三．等腰三角形的判定与性质（共1小题）
41．如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝7．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求∠AMN的周长．
【分析】（1）根据三角形的内角和为180°及角平分线的定义即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△CNO都是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，进而可得C△AMN＝AB+AC，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣∠A，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A＝90°+40°＝130°；
（2）∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴∠ABO＝∠MOB，
∴MO＝BM，
同理可得，NO＝NC，
∴AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+AN+NC＝AB+AC，
∵AB＝5，AC＝7，
∴AB+AC＝12，
∴△AMN的周长＝AB+AC＝12．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
二十四．勾股定理（共6小题）
42．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQ∥CA交PO的延长线于点Q，OM⊥PQ交BC边于点M．当CP＝1时，BM的长为 2.5或1 ．
【分析】如图，设BM＝x，首先证明BQ＝AP，分两种情形，利用勾股定理，构建方程求解即可．
【解答】解：如图，设BM＝x，
在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵QB∥AP，
∴∠A＝∠OBQ，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB，
在△OAP和△OBQ中，
，
∴△OAP≌△OBQ（ASA），
∴PA＝BQ＝6﹣1＝5，OQ＝OP，
∵OM⊥PQ，
∴MQ＝MP，
∴52+x2＝12+（8﹣x）2，
解得x＝2.5．
当点P在AC的延长线上时，同法可得72+x2＝12+（8﹣x）2，
解得x＝1，
综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1．
故答案为：2.5或1．
【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
43．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到AB的距离是 ．
【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2，
∵BC＝4，AC＝3，
∴AB＝＝5，
设AB边上的高为h，
则S△ABC＝AC•BC＝AB•h，
∴h＝，
故答案为：
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定AB为斜边．
44．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC为斜边作等腰直角三角形S1、S2，以AB为边作正方形S．若S1与S2的面积和为9，则正方形S的边长等于 6 ．
【分析】分别以AC，BC为边向△ABC的外部作正方形，则AC2＝4S1，BC2＝4S2，由勾股定理可得S＝4（S1+S2），进而可求解AB的长．
【解答】解：分别以AC，BC为边向△ABC的外部作正方形，
则AC2＝4S1，BC2＝4S2，
在Rt△ABC中AC2+BC2＝AB2，
∵AB2＝S，
∴S＝4S1+4S2＝4（S1+S2），
∵S1+S2＝9，
∴S＝4×9＝36，
∴AB＝6．
故答案为6．
【点评】本题主要考查勾股定理，分别以AC，BC为边向△ABC的外部作正方形，利用勾股定理列算式时解题的关键．
45．已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8．则边BC的长为 9或21 ．
【分析】高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图所示，在Rt△ABD中，
∵AB＝17，AD＝8，
∴BD＝＝15；
在Rt△ACD中，
∵AC＝10，AD＝8，
∴CD＝＝6，
∴当AD在三角形的内部时，BC＝15+6＝21；
当AD在三角形的外部时，BC＝15﹣6＝9．
∴BC的长是21或9．
故答案为：21或9．
【点评】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．
46．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是 2.5 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理可得BC，根据角平分线性质可得DE＝DC，根据三角形面积公式求出CD，即可求出BD．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝＝4，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DC，
∵AC•BC＝AC•CD+AB•DE，即×3×4＝×3CD+×5CD，
解得CD＝1.5，
∴BD＝4﹣CD＝4﹣1.5＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
47．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E、F分别是BD和AC的中点，连接EF．
（1）试判断EF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝26，EF＝5，求AC的长．
【分析】（1）连接AE，CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE＝BD，CE＝BD，那么AE＝CE，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明EF⊥AC．
（2）求出CE的长，根据勾股定理求出CF的长，则可得出答案．
【解答】（1）解：EF⊥AC．
理由：连接AE，CE．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，
∴AE＝BD，CE＝BD，
∴AE＝CE，
又∵F是AC的中点，
∴EF⊥AC．
（2）∵BD＝26，
∴CE＝BD＝13，
∴CF＝＝＝12，
∴AC＝2CF＝24．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键．
二十五．勾股定理的逆定理（共5小题）
48．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A﹣∠B＝∠CB．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．（b+c）（b﹣c）＝a2D．a＝7，b＝24，c＝25
【分析】根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形．
【解答】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC为直角三角形；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形；
C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，故△ABC为直角三角形；
D、∵72+242＝252，∴△ABC为直角三角形；
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
49．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB＝，BC＝4，AC＝5D．∠A＝40°，∠B＝50°
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、设AB＝3x，则BC＝4x，AC＝5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵42+52＝（）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A＝40°，∠B＝50°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
50．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
【分析】根据勾股定理的逆定理得到答案．
【解答】解：因为32+42＝25 52＝25，所以32+42＝52，所以能构成直角三角形的是C．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的判定的运用．
51．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长；
（2）利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形．
【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝＝＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握定理是解题的关键．
52．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝1，AD＝2，CD＝4．
（1）求证：∠BAC＝90°；
（2）点P为BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长．
【分析】（1）在Rt△ABD中利用勾股定理可求AB2，同理在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC2，而BC＝CD+BD＝5，易求AC2+AB2＝25＝BC2，从而可知△ABC是直角三角形．
（2）分三种情况：①当BP＝AB时；②当BP＝AP时；③当AP＝AB时；分别求出BP的长即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，AD＝2，BD＝1，
∴AB2＝AD2+BD2＝5，
又∵AD⊥BC，CD＝4，AD＝2，
∴AC2＝CD2+AD2＝20，
∵BC＝CD+BD＝5，
∴BC2＝25，
∴AC2+AB2＝25＝BC2，
△ABC是直角三角形．
∴∠BAC＝90°．
（2）解：分三种情况：
①当BP＝AB时，
∵AD⊥BC，
∴AB＝＝，
∴BP＝AB＝；
②当BP＝AP时，P是BC的中点，
∴BP＝AB＝2.5；
③当AP＝AB时，BP＝2BD＝2；
综上所述：BP的长为或2或2.5．
【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
二十六．勾股数（共1小题）
53．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．2，4，6B．1，，2
C．8，15，17D．0.3，0.4，0.5
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
【解答】解：A、22+42≠62，不能构成勾股数，不符合题意；
B、不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意；
C、82+152＝172，能构成勾股数，符合题意；
D、0.3，0.4，0.5不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
二十七．勾股定理的应用（共1小题）
54．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）根据题意，BF＝ 1.6 m，BC＝ 3 m，CD＝ 1 m；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 4 m．
【分析】（1）由题意得BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE＝BF＝1.6m，则CD＝CE﹣DE＝1m；
（2）设秋千的长度为xm，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，则CD＝CE﹣DE＝2m，得AC＝AD﹣CD＝3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE＝BF＝1.6m，
∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m），
故答案为：1.6，3，1；
（2）∵BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
设秋千的长度为xm，
则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即（x﹣1）2+32＝x2，
解得：x＝5（m），
即秋千的长度是5m；
（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，
∵DE＝0.6m，
∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m），
由（2）可知，AD＝AB＝5m，
∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m），
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（m），
即需要将秋千AD往前推送4m，
故答案为：4．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
二十八．轴对称图形（共3小题）
55．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
56．日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】结合轴对称图形的概念进行求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
57．观察如图的网络图标，其中可以看成轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A、B、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
二十九．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）
58．若点P（m，﹣2），B（﹣4，n﹣3）关于x轴对称，则（ ）
A．m＝﹣4；n＝5B．m＝﹣4；n＝﹣5C．m＝4；n＝1D．m＝4；n＝﹣1
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得出m，n的值，从而得出答案．
【解答】解：∵点P（m，﹣2），B（﹣4，n﹣3）关于x轴对称，
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴m＝﹣4，n﹣3＝2，
解得m＝﹣4，n＝5，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，需要牢记．
三十．作图-轴对称变换（共1小题）
59．如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形面积仅为掌握三个三角形面积即可；
（3）构建方程求出a可得结论．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标（﹣2，1）；
（2）S△ABC＝5×5﹣×4×5﹣×1×3﹣×5×2＝8.5．
（3）∵点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，
∴|a﹣2|＝4，
∴a＝6或﹣2，
∴P（6，4）或（﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
三十一．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
60．如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC．把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD．如果∠BAC＝35°，则∠CBD的度数是 20° ．
【分析】由AC＝BC，∠BAC＝35°，根据等边对等角的性质，即可求得∠ABC的度数，又由折叠的性质，求得∠ABD的度数，继而求得∠CBD的度数．
【解答】解：∵AC＝BC，∠BAC＝35°，
∵∠ABC＝∠BAC＝35°，
由折叠的性质可得：∠CAD＝∠BAC＝35°，AB＝AD，
∴∠BAD＝∠CAD+∠BAC＝70°，
∴∠ABD＝（180°﹣∠BAD）＝55°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝20°．
故答案为：20°．
【点评】此题考查了折叠的性质与等腰三角形的性质．此题注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．