第6章《一次函数》-2024-2025学年八年级上册数学期末复习单元易错必刷题练习（苏科版）

这是一份第6章《一次函数》-2024-2025学年八年级上册数学期末复习单元易错必刷题练习（苏科版），共52页。试卷主要包含了函数的概念，函数关系式，函数的图象，一次函数的定义，正比例函数的定义，一次函数的图象等内容，欢迎下载使用。
一、函数的概念（共3小题）
1．下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列曲线中，表示y是x函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．变量x，y有如下关系：①y＝3x2；②y2＝8x．其中y是x的函数的是________．（填序号）
二、函数关系式（共1小题）
4．（2021秋•沭阳县校级月考）佳佳花3000元买台空调，耗电0.7度/小时，电费1.5元/度．持续开x小时后，产生电费y（元）与时间x（小时）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝1.05xB．y＝0.7xC．y＝1.5xD．y＝3000+1.5x
三、函数的图象（共3小题）
5．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（ ）
A．B．C．D．
6．阳光中学举行学生运动会，小汪和小勇参加了800米跑．路程S（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示，两位同学在跑步中均保持匀速，则下列说法错误的是（ ）
A．小勇的平均速度为160米/分
B．到终点前2分钟，小汪的速度比小勇的速度快80米/分
C．小勇和小汪同时达到终点
D．小汪和小勇的平均速度相等
7．在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，它们的图象如图所示．下列结论：
①乙龙舟队先到达终点；
②1.5min时，甲龙舟队处于领先位置；
③当2＜x＜时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；
④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
四、一次函数的定义（共5小题）
8．已知函数y＝（m﹣3）x+2是y关于x的一次函数，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0B．m≠3C．m≠﹣3D．m为任意实数
9．已知函数y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．任意实数
10．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣5B．y＝x2C．D．
11．已知函数是关于x的一次函数，则m的值是________．
12．以下函数中y是x的一次函数的有________个．
①y＝2x2+x+1；②y＝2πx；③；④；⑤；⑥y＝2x．
五、正比例函数的定义（共2小题）
13．下列各式中，表示正比例函数的是（ ）
A．y＝3xB．y＝3x+1C．y2＝3xD．y＝3x2
14．（2021秋•亭湖区校级月考）已知关于x的函数y＝（k+2）x+|k|﹣2是正比例函数，则k的值是________．
六、一次函数的图象（共1小题）
15．已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
七．一次函数的应用（共10小题）
16．巫溪某中学组织初一初二学生举行“四城同创”宣传活动，从学校坐车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（ ）
A．45.2分钟B．48分钟C．46分钟D．33分钟
17．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为8时，对应的高度h为（ ）
A．3.6B．4.4C．5.2D．6.0
18．甲、乙两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道，如图是甲、乙两队挖掘隧道长度y（米）与挖掘时间x（小时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）在前2小时的挖掘中，甲队的挖掘速度为________米/小时，乙队的挖掘速度为________米/小时；
（2）①当2≤x≤6时，求出y乙与x之间的函数表达式；
②开挖几小时后，甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队？
19．疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠病毒疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务．乙地80天完成接种任务．在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种时间x（天）间的关系如图所示．
（1）乙地每天接种的人数为________万人，a的值为________；
（2）当甲地接种速度放缓后，求y与x之间的函数表达式；
（3）当甲地接种速度放缓后，完成接种任务之前，何时与乙地接种人数相同？相同人数是多少？
20．如图1，在一次航海模型船训练中，A1B1和A2B2是水面上相邻的两条赛道（看成两条互相平行的线段）．甲船在赛道A1B1上从A1处出发，到达B1后，以同样的速度返回A1处，然后重复上述过程；乙船在赛道A2B2上以2m/s的速度从B2处出发，到达A2后以相同的速度回到B2处，然后重复上述过程（不考虑每次折返时的减速和转向时间）．若甲、乙两船同时出发，设离开池边B1B2的距离为y（m），运动时间为t（s），甲船运动时，y（m）与t（s）的函数图象如图2所示．
（1）甲船在30≤t≤60时，y关于t的函数表达式为________；
（2）求出乙船由B2首次到达A2的时间，并在图2中画出乙船在3分钟内的函数图象；
（3）请你根据（2）中所画的图象直接判断，若从甲、乙两船同时开始出发到3分钟为止，甲、乙两船共相遇了几次？并求出第二次相遇的时间．
21．一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别以速度v1、v2（单位：km/h，且v1＞2v2）匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以速度v1匀速返回甲地，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，y与x之间的函数关系．
（1）甲乙两地相距________km；点A实际意义：________________；
（2）求a，b的值；
（3）慢车出发多长时间后，两车相距480km？
22．小李在某网店选中A、B两款玩偶，确定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
（1）第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个？
（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶60个．设小李购进A款玩偶m个，售完两款玩偶共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润？并求W的最大值．
23．某数学小组探究下列问题：商场将甲、乙两种糖果按照质量比为1：2混合成什锦糖售卖、设甲、乙糖果的单价分别为m元/千克、n元/千克，求什锦糖的单价．
列式可以求解．
（1）小红根据题目中的数量关系，通过列式得出什锦糖的单价，请你按小红的思路完成解答：
不列式，画图可以求解吗？
（2）小莉设计了一幅算图（如图①），设计方案与使用方法如下：
设计方案：过点A（1，0），C（3，0）分别作x轴的垂线AB，CD．
使用方法：把乙糖果的单价用y轴上的点E的纵坐标表示，甲糖果的单价用直线CD上的点F的纵坐标表示，连接EF，EF与AB的交点记为P，则点P的纵坐标就是什锦糖的单价．
请你用一次函数的知识说明小莉方法的正确性；
增加一种糖果呢？
（3）小明将原问题的条件改为：甲、乙、丙三种糖果按照质量比为1：2：3混合成什锦糖售卖，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为12元/千克、15元/克、16元/千克．
请你帮小明在图②中设计一幅算图，求出什锦糖的单价．
要求：标注必要的字母与数据，不写设计方案与使用方法，不必说明理由．
24．实验室甲、乙两人相约一起去距二人所在地60km的市器材店购买器材，两人都从实验室出发，沿一条笔直的公路匀速前往器材店，乙因有事耽搁就让甲骑摩托车先出发，一段时间后乙开车沿同一路线出发，两人都到达器材店后一起购买器材，设甲行驶的时间为x（min），两人之间的距离为y（km）．如图表示两人在前往器材店的路上y与x函数关系的部分图象．请你解决以下问题：
（1）说明点A、点B、点C的实际意义；
（2）求出甲、乙的速度；
（3）当x＝________时，两人之间相距8千米？
25．某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返干端点B、A之间，他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
【观察】请直接写出：当x＝20时，y的值为________；当x＝40时，y的值为________；
【发现】兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出）
①请直接写出：a＝________；
②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象，标出关键点的坐标；
【拓展】设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是________（直接写出结果）．
八．一次函数综合题（共5小题）
26．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（﹣2，0），B（0，1）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）在x轴上存在一点C，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形，请求出点C的坐标；
（3）对于任意x的值，若函数y＝﹣2x+n与y＝kx+b（k≠0）的值中至少有一个大于0，求n的取值范围．
27．如图，已知直线y＝﹣x+4分别与x，y轴交于点A、B，与直线y＝kx相交于点C（2，n），点P为直线y＝﹣x+4上一点．
（1）n＝________，k＝________；
（2）若点P在射线CA上，且S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标．
（3）若△POC的面积为1，求点P的坐标．
（4）点Q在函数y＝|﹣x+4|的图象上，若△QOC的面积为m（m为常数且m＞0），试确定满足条件的点Q的个数（直接写出结果）．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若PQ≤1，则称点P为直线l的关联点，当PQ＝1时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记PQ＝0．例如，点P（1，2）是直线y＝x的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝﹣x+2，l2：y＝2x+b．
（1）已知点A（0，4），B（，1），C（2，3），上述各点是直线l1的关联点是________．
（2）若点D（﹣1，m）是直线l1的最佳关联点，求m的值．
（3）点E（m﹣1，0）、且m＞0，点A（0，4），以OA、OE为边作矩形AOEF．
①当四边形AOEF为正方形时，直线l2与正方形AOEF有公共点，且公共点中至少有一个是直线l1的关联点，求b的取值范围．
②若直线l2与矩形AOEF有两个公共点，且两个公共点都是直线l1的最佳关联点，直接写出m的值．
29．[模型建立]
如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”，接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
[模型运用]
（1）如图1，若AD＝2，BE＝4，则△ABC的面积为________；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点C坐标为（0，﹣2），点A坐标为（4，0），将线段CA绕点C逆时针旋转90°，得线段CB，连接线段AB，则点B坐标为________；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，直线l函数关系式为y＝2x+1交x轴于点B，若将直线l绕点B顺时针旋转45°得直线l′，问：直线l'是否经过点A（，1），请说明理由，．
[模型拓展]
（4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点B（0，4），P是直线y＝2x﹣5上一点，将线段BP延长至点Q，使BQ＝BP，将线段BQ绕点B顺时针旋转45°后得BA，直接写出OA的最小值为________（结果精确到0.1）
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，4OA＝3OB．
（1）求k的值；
（2）点P在线段AB上，连接OP．若S△AOB＝3S△BOP，求点P的坐标；
（3）将直线AB绕点A逆时针旋转45°后得到直线AC，求直线AC的表达式．
t（min）
…
1
2
3
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.2
…
类别
价格
A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
40
30
销售价（元/个）
56
45
参考答案
一、函数的概念（共3小题）
1．下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量x，y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．
【解答】解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值，都有唯一的函数值y与之相对应，
所以A、B、C不合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
2．下列曲线中，表示y是x函数的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应进行判断即可．
【解答】解：在某个变化过程中，有两个变量x、y，一个量变化，另一个量也随之变化，当x每取一个值，y就有唯一的值与之相对应，这时我们就把x叫做自变量，y叫做因变量，y是x的函数，
只有选项B中的“x每取一个值，y有唯一值与之相对应”，其它选项中的都不是“有唯一相对应”的，所以选项B中的y表示x的函数，
故选：B．
【点评】本题考查函数的定义，理解“自变量x每取一个值，因变量y都有唯一值与之相对应”是判断函数的关键．
3．变量x，y有如下关系：①y＝3x2；②y2＝8x．其中y是x的函数的是 ① ．（填序号）
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的定义判断即可．
【解答】解：①y＝3x2，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意；
②y2＝8x，任意给一个正数x，y都有两个值与x对应，不符合函数的定义，不符合题意；
故答案为：①．
【点评】本题考查了函数的概念，关键是对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即一一对应．
二．函数关系式（共1小题）
4．佳佳花3000元买台空调，耗电0.7度/小时，电费1.5元/度．持续开x小时后，产生电费y（元）与时间x（小时）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝1.05xB．y＝0.7x
C．y＝1.5xD．y＝3000+1.5x
【分析】根据电费＝每度电费的价格×每小时耗电×时间解答即可．
【解答】解：根据题意，得y＝1.5×0.7×x，
即y＝1.05x．
故选：A．
【点评】本题考查了函数关系式，能够正确找出已知量和未知量之间的函数关系是解题的关键．
三．函数的图象（共3小题）
5．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意先比较OE、EF、FG三段的变化快慢，再比较三个容器容积的大小，即可得出图形，再根据图形从而画出图象．
【解答】解：从图中可以看出，OE上升最快，EF上升较慢，FG上升较快，
所以容器的底部容积最小，中间容积最大，上面容积较大，
故选：B．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数的图象所表示的意义是解题的关键，注意容器粗细和水面高度变化的关系．
6．阳光中学举行学生运动会，小汪和小勇参加了800米跑．路程S（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示，两位同学在跑步中均保持匀速，则下列说法错误的是（ ）
A．小勇的平均速度为160米/分
B．到终点前2分钟，小汪的速度比小勇的速度快80米/分
C．小勇和小汪同时达到终点
D．小汪和小勇的平均速度相等
【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
A．小勇的平均速度为：800÷5＝160（米/分），故本选项不合题意；
B．到终点前2分钟，小汪的速度为：（800﹣300）÷（5﹣3）＝250（米/分），250﹣160＝90（米/分），
所以到终点前2分钟，小汪的速度比小勇的速度快90米/分，故本选项符合题意；
C．小勇和小汪同时达到终点，故本选项不合题意；
D．小勇和小汪的平均速度相等，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，它们的图象如图所示．下列结论：
①乙龙舟队先到达终点；
②1.5min时，甲龙舟队处于领先位置；
③当2＜x＜时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；
④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
【分析】解决图象类问题，首先需要理解x轴，y轴所表示的含义，再根据图象解决问题即可．
【解答】解：如图，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，
①由图可知，甲队到达终点用时5min，乙队到达终点用时4.5min，故乙队比甲队先到达终点，故①符合题意；
②由图可知，当时，甲队的图象在乙队上方，即甲队处于领先位置，故②符合题意；
③由图可设y1＝k1x，已知y1＝k1x过点（5，1050），
∴5k1＝1050，解得，k1＝210，
∴y1＝210x（0≤x≤5）；
当0≤x≤2时，y2＝k2x，过点（2，300），
∴2k2＝300，解得k2＝150，
∴y2＝150x；
当2＜x≤4.5时，设y2＝kx+b，过点（2，300），（4.5，1050），
∴，解得，
∴y2＝300x﹣300；
∴．
则当时，甲队的速度为210m/min，乙队的速度为300m/min，即乙队的速度比甲队的速度快，故③不符合题意；
④当0≤x≤2时，210x﹣150x＝105，解得x＝；
当时，210x﹣（300x﹣300）＝105，解得；
当时，300x﹣300﹣210x＝105，解得x＝4.5．
综上，在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，故④符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
四．一次函数的定义（共5小题）
8．已知函数y＝（m﹣3）x+2是y关于x的一次函数，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0B．m≠3
C．m≠﹣3D．m为任意实数
【分析】根据一次函数的定义即可求出m的取值范围．
【解答】解：根据题意得：
m﹣3≠0，
∴m≠3．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的定义，掌握一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键．
9．已知函数y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．任意实数
【分析】根据一次函数的定义：形如y＝kx+b（k，b为常数且k≠0），可得2﹣|m|＝1且m+1≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
2﹣|m|＝1且m+1≠0，
∴m＝±1且m≠﹣1，
∴m＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
10．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣5B．y＝x2C．D．
【分析】根据一次函数的定义解答即可．
【解答】解：A、y＝3x﹣5属于一次函数，故此选项符合题意；
B、y＝x2不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意；
C、y＝不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意；
D、y＝不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
11．已知函数是关于x的一次函数，则m的值是 ﹣2 ．
【分析】根据一次函数的定义求解．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）+4是关于x的一次函数，
∴m﹣2≠0且m2﹣3＝1，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
12．以下函数中y是x的一次函数的有 4 个．
①y＝2x2+x+1；②y＝2πx；③；④；⑤；⑥y＝2x．
【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【解答】解：①y＝2x2+x+1是二次函数，故①不符合题意；
②y＝2πx是一次函数，故②符合题意；
③y＝不是一次函数，是反比例函数，故③不符合题意；
④y＝x是一次函数，故④符合题意；
⑤y＝1﹣x是一次函数，故⑤符合题意；
⑥y＝2x是一次函数，故⑥符合题意．
函数中y是x的一次函数的有4个．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数y＝kx+b的定义条件：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
五．正比例函数的定义（共2小题）
13．下列各式中，表示正比例函数的是（ ）
A．y＝3xB．y＝3x+1C．y2＝3xD．y＝3x2
【分析】A：是正比例函数；
B：是一次函数；
C：不是函数；
D：是二次函数．
【解答】解：A：y＝3x是正比例函数，∴符合题意；
B：y＝3x+1是一次函数，∴不符合题意；
C：y2＝3x+1不是函数，∴不符合题意；
D：y＝3x2是二次函数，∴不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握函数、正比例函数、一次函数、二次函数定义是解题关键．
14．已知关于x的函数y＝（k+2）x+|k|﹣2是正比例函数，则k的值是 2 ．
【分析】根据正比例函数的定义列出方程求解即可．
【解答】解：∵y＝（k+2）x+|k|﹣2是正比例函数，
∴|k|﹣2＝0且k+2≠0，
解得k＝±2且k≠﹣2，
所以k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查正比例函数的定义．解题的关键是掌握正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
六．一次函数的图象（共1小题）
15．已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＜0，则b＞0，所以一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限；
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
七．一次函数的应用（共10小题）
16．巫溪某中学组织初一初二学生举行“四城同创”宣传活动，从学校坐车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（ ）
A．45.2分钟B．48分钟C．46分钟D．33分钟
【分析】由图象可知校车在上坡时的速度为200米每分钟，长度为3600米；下坡时的速度为500米每分钟，长度为6000米；又因为返回时上下坡速度不变，总路程相等，根据题意列出各段所用时间相加即可得出答案．
【解答】解：由上图可知，上坡的路程为3600米，速度为200米每分钟；
下坡时的路程为6000米，速度为6000÷（46﹣18﹣8×2）＝500米每分钟；
由于返回时上下坡互换，变为上坡路程为6000米，所以所用时间为30分钟；
停8分钟；
下坡路程为3600米，所用时间是7.2分钟；
故总时间为30+8+7.2＝45.2分钟．
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对分段问题的处理能力和往返问题的理解．
17．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为8时，对应的高度h为（ ）
A．3.6B．4.4C．5.2D．6.0
【分析】设过点（1，2.4）和点（2，2.8）的关系式为h＝kt+b，用待定系数法求出解析式，再把t＝8代入解析式代入即可得出结论．
【解答】解：设过点（1，2.4）和点（2，2.8）的函数解析式为h＝kt+b（k≠0），
则，
解得，
即h＝0.4t+2，
当t＝8时，h＝0.4×8+2＝5.2，
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数的知识，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
18．甲、乙两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道，如图是甲、乙两队挖掘隧道长度y（米）与挖掘时间x（小时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）在前2小时的挖掘中，甲队的挖掘速度为 10 米/小时，乙队的挖掘速度为 15 米/小时；
（2）①当2≤x≤6时，求出y乙与x之间的函数表达式；
②开挖几小时后，甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队？
【分析】（1）分别根据速度＝路程÷时间列式计算即可得解；
（2）①设y乙＝kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
②分别求出甲、乙队的函数解析式，然后根据y甲＝y乙列出方程求解即可．
【解答】解：（1）甲队：60÷6＝10米/小时，
乙队：30÷2＝15（米/小时），
故答案为：10；15；
（2）①当2≤x≤6时，设yz＝kx+b，
则2k+b＝30，6k+b＝50，
解得k＝5，b＝20，
∴当2≤x≤6时，y乙＝5x+20；
②易求得：当0≤x≤2时，y乙＝15x，当2≤x≤6时，y乙＝5x+20；
当0≤x≤6时，y甲＝10x，根据题意可知，令5x+20＝10x，解得：x＝4，
答：开挖4小时后，甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要的信息是解题的关键，也是解题的难点．
19．疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠病毒疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务．乙地80天完成接种任务．在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种时间x（天）间的关系如图所示．
（1）乙地每天接种的人数为 0.5 万人，a的值为 40 ；
（2）当甲地接种速度放缓后，求y与x之间的函数表达式；
（3）当甲地接种速度放缓后，完成接种任务之前，何时与乙地接种人数相同？相同人数是多少？
【分析】（1）由接种速度＝接种人数÷接种天数求解．
（2）利用待定系数法求解．
（3）根据（1）的结论可得乙地接种人数y（万人）与接种时间x（天）间的函数关系式，再联立（2）的结论列方程组解答即可．
【解答】解：（1）乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），
0.5a＝25﹣5，
解得a＝40．
故答案为：0.5；40；
（2）设y＝kx+b，将（40，25），（100，40）代入解析式得：
，
解得：，
∴y＝x+15（40≤x≤100）；
（3）由（1）可知，乙地接种人数y（万人）与接种时间x（天）间的函数关系式为y＝0.5x，
解方程组，得，
答：当甲地接种速度放缓后，完成接种任务之前，第60天与乙地接种人数相同，相同人数是30万人．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解．
20．如图1，在一次航海模型船训练中，A1B1和A2B2是水面上相邻的两条赛道（看成两条互相平行的线段）．甲船在赛道A1B1上从A1处出发，到达B1后，以同样的速度返回A1处，然后重复上述过程；乙船在赛道A2B2上以2m/s的速度从B2处出发，到达A2后以相同的速度回到B2处，然后重复上述过程（不考虑每次折返时的减速和转向时间）．若甲、乙两船同时出发，设离开池边B1B2的距离为y（m），运动时间为t（s），甲船运动时，y（m）与t（s）的函数图象如图2所示．
（1）甲船在30≤t≤60时，y关于t的函数表达式为 y＝3t﹣90 ；
（2）求出乙船由B2首次到达A2的时间，并在图2中画出乙船在3分钟内的函数图象；
（3）请你根据（2）中所画的图象直接判断，若从甲、乙两船同时开始出发到3分钟为止，甲、乙两船共相遇了几次？并求出第二次相遇的时间．
【分析】（1）由于甲船在赛道A1B1上从A1处出发，到达B1后，以同样的速度返回A1处，然后重复上述过程，又因为y表示船离开池边B1B2的距离，所以图2中当t＝0时对应的y值即为赛道的长度；因为30秒钟甲船从A1处运动到B1处，即30s运动90m，根据速度＝路程÷时间，即可求出甲船的速度；根据图象的形状，可判断出甲船在30＜t≤60时，y都是t的一次函数，设出其解析式，再运用待定系数法求解；
（2）乙船的速度为2m/s，由B2到达A2的路程为赛道的长度90m，根据时间＝路程÷速度，即可求出乙船由B2到达A2的时间为45s；乙船在3分钟内可运动2个来回，每45s可从赛道一端运动到另外一端，起点在原点，据此在图2中画出乙船在3分钟内的函数图象；
（3）两个图象的交点个数即为相遇次数
【解答】解：（1）图2中，∵t＝0时，y＝90，
∴赛道的长度是90m；
∵甲船30s运动90m，
∴速度为90÷30＝3（m/s）；
当30＜t≤60时，设y＝mt+n，
将（30，0），（60，90）代入，得，
解得，
则y＝3t﹣90（30＜t≤60）；
故答案为：y＝3t﹣90．
（2）∵赛道的长度为90米，乙船的速度为2米/秒，
∴乙船由B2到达A2的时间为90÷2＝45（秒）；
∴乙船在3分钟内的函数图象如图3所示：
（3）从图3可知甲、乙共相遇5次．
由乙的图象可得，乙第二段的解析式为：y＝﹣2t+180，
令﹣2t+180＝3t﹣90，解得t＝54；
∴共相遇了5次，第二次相遇的时间为54s．
【点评】本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了分段函数，以及分段函数的图象及其应用，考查了数形结合的思想与方法．
21．一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别以速度v1、v2（单位：km/h，且v1＞2v2）匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以速度v1匀速返回甲地，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，y与x之间的函数关系．
（1）甲乙两地相距 900 km；点A实际意义： 快车行驶6h时到达乙地，此时慢车距离乙地540km ；
（2）求a，b的值；
（3）慢车出发多长时间后，两车相距480km？
【分析】（1）由图象即可得到结论；
（2）根据图象，得到慢车的速度为＝60（km/h），快车的速度为＝150（km/h），于是得到结论；
（3）根据每段的函数解析式即可得到结论．
【解答】解：（1）由图象知，甲、乙两地之间的距离为900km，
如图，过点B向y轴作垂线，过点A作x轴的垂线，
由图可知，AB段表示快车在乙地停留的2h，
此时，慢车走的路程为60×2＝120（km），
∴c＝540﹣120＝420（km），a＝＝8（h），
∴a﹣2＝6（h），
∴A（6，540），
∴点A的实际意义是：快车行驶6h时到达乙地，此时慢车距离乙地540km，
故答案为：900；快车行驶6h时到达乙地，此时慢车距离乙地540km；
（2）由OA段可知，快车的速度﹣慢车的速度＝＝90（km/h），
∴快车的速度为150（km/h），快车的速度为＝150（km/h），
所以线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y1＝900﹣60x，
所以线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为：y2＝（60+150）（x﹣10）＝210x﹣2100；
根据快车的运动可知，点D表示的含义是当快车行驶xh时，快车到达甲地，乙车距离甲车的距离为b，
又点D的横坐标为：900×2÷150+2＝12+2＝14，
此时b＝60×14＝840（km），
即a的值为8，b的值为840；
（3）如图，作y＝480，
①线段OA所表示的y与x之间的函数表达式为y3＝90x（0≤x＜6），
令y3＝480，得x＝，
②线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y1＝﹣60x+900（6≤x＜8），
令y1＝480，得x＝7，
③线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为y2＝210x﹣2100（10≤x＜14），
令y2＝480，得x＝．
答：慢车出发h，7h，h后，两车相距480km．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，利用图表中数据得出慢车速度是解题关键．
22．小李在某网店选中A、B两款玩偶，确定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
（1）第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个？
（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶60个．设小李购进A款玩偶m个，售完两款玩偶共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润？并求W的最大值．
【分析】（1）设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进（30﹣x）个，由用1100元购进了A，B两款玩偶建立方程求出其解即可；
（2）设A款玩偶购进m个，B款玩偶购进（60﹣m）个，获利W元，根据题意可以得到利润与A款玩偶数量的函数关系，然后根据A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以求得A款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润．
【解答】解：（1）设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进（30﹣x）个，
由题意，得40x+30（30﹣x）＝1100，
解得：x＝20．
30﹣20＝10（个）．
答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；
（2）设A款玩偶购进m个，B款玩偶购进（60﹣m）个，获利W元，
由题意，得W＝（56﹣40）m+（45﹣30）（60﹣m）＝m+900．
∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．
∴m≤（60﹣m），
∴m≤20，
∵W＝m+900．
∴k＝1＞0，
∴W随m的增大而增大．
∴m＝20时，W最大＝920元．
∴B款玩偶为：60﹣20＝40（个）．
答：按照A款玩偶购进20个，B款玩偶购进40个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是920元．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
23．某数学小组探究下列问题：商场将甲、乙两种糖果按照质量比为1：2混合成什锦糖售卖、设甲、乙糖果的单价分别为m元/千克、n元/千克，求什锦糖的单价．
列式可以求解．
（1）小红根据题目中的数量关系，通过列式得出什锦糖的单价，请你按小红的思路完成解答：
不列式，画图可以求解吗？
（2）小莉设计了一幅算图（如图①），设计方案与使用方法如下：
设计方案：过点A（1，0），C（3，0）分别作x轴的垂线AB，CD．
使用方法：把乙糖果的单价用y轴上的点E的纵坐标表示，甲糖果的单价用直线CD上的点F的纵坐标表示，连接EF，EF与AB的交点记为P，则点P的纵坐标就是什锦糖的单价．
请你用一次函数的知识说明小莉方法的正确性；
增加一种糖果呢？
（3）小明将原问题的条件改为：甲、乙、丙三种糖果按照质量比为1：2：3混合成什锦糖售卖，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为12元/千克、15元/克、16元/千克．
请你帮小明在图②中设计一幅算图，求出什锦糖的单价．
要求：标注必要的字母与数据，不写设计方案与使用方法，不必说明理由．
【分析】（1）设甲糖果质量为x千克，则乙糖果质量为2x干克，根据单价等于总价除以质量，即可求解；如图，△ABC表示甲乙两种糖果混合后的什锦糖果，AD把BC分为BD：CD＝1：2，则△ABD表示甲糖果，△ACD表示乙糖果，BD表示甲糖果质量，CD表示乙糖果质量，BC表示什锦糖果质量，即可求解；
（2）根据题意得：E（0，n）．F（3，m），点P的横坐标为1，求出直线EF的解析式，再将x＝1代入，即可求解；
（3）类比（2）设计图形，过点A（1，0），C（3，0），P（6，0），分别作AB、CD、PQ垂直x轴；使用方法：把乙糖果的单价用y轴上的点E的纵坐标15表示，甲糖果的单价用直线CD上的点F的纵坐标12表示，连接EF与AB的交点记为K，则点K的纵坐标就是甲乙糖果混合后的什锦糖的单价；将丙糖果的单价用y轴上的点M的纵坐标16表示，甲乙混合用的什锦糖的单价用直线PQ上的N点的纵坐标表示，连接MN与直线CD交于点L，则点L的纵坐标即为甲、乙、丙三种糖果按照质量比为1：2：3混合后的什锦糖单价，即可求解．
【解答】解：（1）设甲糖果质量为x千克，则乙糖果质量为2x千克，根据题意得：
什锦糖果的单价为＝＝，
如图，△ABC表示甲乙两种糖果混合后的什锦糖果，AD把BC分为BD：CD＝1：2，则△ABD表示甲糖果，△ACD表示乙糖果，BD表示甲糖果质量，CD表示乙糖果质量，BC表示什锦糖果质量，
根据题意得：BC＝3BD，CD＝2BD，
∴什锦糖果的单价为＝＝．
（2）根据题意得：E（0，n），F（3，m），点P的横坐标为1，
设直线EF的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，解得
∴直线EF的解析式为y＝x+n，
当x＝1时，y＝×1+n＝，
即什锦糖果的质量为元/千克；
（3）设计方案如下：过点A（1，0），C（3，0），P（6，0），分别作AB、CD、PQ垂直x轴；
使用方法：把乙糖果的单价用y轴上的点E的纵坐标15表示，甲糖果的单价用直线CD上的点F的纵坐标12表示，连接EF与AB的交点记为K，则点K的纵坐标就是甲乙糖果混合后的什锦糖的单价；将丙糖果的单价用y轴上的点M的纵坐标16表示，甲乙混合用的什锦糖的单价用直线PQ上的N点的纵坐标表示，连接MN与直线CD交于点L，则点L的纵坐标即为甲、乙、丙三种糖果按照质量比为1：2：3混合后的什锦糖单价，
设直线EF的解析式为y＝k′x+b′，（k′≠0），
把点E（0，15），F（3，12）代入得：，
解得：，
∴直线EF的解析式y＝﹣x+15，
当x＝1时，y＝﹣1×1+15＝14，
即甲乙糖果混合后的什锦糖果的单价为14元/千克，
∴点N（6，14），
设直线MN的解析式为y＝mx+n（m≠0），
把点N（6，14），M（0，16）代入得：，
解得：，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x+16，
∴当x＝3时，y＝﹣×3+16＝15，
即三种糖果混合后的什锦糖果的单价为15元/千克．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，明确题意，利用数形结合思想解答是解题的关键．
24．实验室甲、乙两人相约一起去距二人所在地60km的市器材店购买器材，两人都从实验室出发，沿一条笔直的公路匀速前往器材店，乙因有事耽搁就让甲骑摩托车先出发，一段时间后乙开车沿同一路线出发，两人都到达器材店后一起购买器材，设甲行驶的时间为x（min），两人之间的距离为y（km）．如图表示两人在前往器材店的路上y与x函数关系的部分图象．请你解决以下问题：
（1）说明点A、点B、点C的实际意义；
（2）求出甲、乙的速度；
（3）当x＝ 16或26或74或104 时，两人之间相距8千米？
【分析】（1）根据横坐标表示的含义和纵坐标表示的含义，结合A，B，C的坐标可说明；
（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲和乙的速度；
（3）把折线OA，AB，BC段的解析式表达出来，再分别令y＝8即可求解．
【解答】解：（1）由图象可知，A（20，10），B（50，0），C（90，），
∴点A的实际意义是当甲骑摩托车行驶20min时，甲乙两人相距10km；
点B的实际意义是当甲骑摩托车行驶50min时，乙追上甲；
点C的实际意义是当甲骑摩托车行驶90min时，甲乙两人相距km；
（2）甲的速度为：10÷20＝0.5（km/min），
甲、乙的速度差为：10÷（50﹣20）＝（km/min），
则乙的速度为km/min，
综上，甲的速度为0.5km/min，乙的速度为km/min，
（3）补全函数图象如图所示：
∵A（20，10），B（50，0），C（90，），
∴OA段的解析式为：y＝0.5x；
AB段的解析式为：y＝﹣x+；
BC段的解析式为：y＝x﹣；
DE段的解析式为：y＝﹣0.5x+60，
分别令y＝8，则有y＝0.5x＝8，解得x＝16；
y＝﹣x+＝8，解得x＝26；
y＝x﹣＝8，解得x＝74；
y＝﹣0.5x+60＝8，解得x＝104．
故答案为：16或26或74或104．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
25．某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返干端点B、A之间，他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
【观察】请直接写出：当x＝20时，y的值为 60 ；当x＝40时，y的值为 80 ；
【发现】兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出）
①请直接写出：a＝ ；
②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象，标出关键点的坐标；
【拓展】设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是 0＜x≤8或32≤x≤48 （直接写出结果）．
【分析】【观察】设此时相遇点距点A为x个单位，根据题意列方程即可得到结论；此时相遇点距点A为x个单位，根据题意列方程即可得到结论；
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意列方程即可得到结论；
②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意列函数解析式即可得到结论；
【拓展】由题意列不等式即可得到结论．
【解答】解：【观察】当x＝20时，相遇地点与点A之间的距离为20个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为100﹣20＝80个单位长度，
设电子虫甲的速度为v，
∴电子虫乙的速度为v＝4v，
∴电子虫甲从相遇点到点B所用的时间为，
电子虫乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为＝，而＞，
∴电子虫乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和电子虫甲第二次迎面相遇，
∵他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，
根据题意得：20+100+100﹣y＝4（y﹣20），
∴y＝60，
当x＝40时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为100﹣40＝60个单位长度，
设电子虫甲的速度为v'，
∴电子虫乙的速度为v'＝v'，
∴电子虫乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为＝，电子虫甲从相遇点到点B所用时间为，
∵＞，
∴电子虫甲从第一次相遇点到点B，再返回A，在返回A的途中与返回B的电子虫乙第二次迎面相遇，
根据题意得：40+y＝（60+100﹣y），
∴y＝80，
故答案为：60，80；
【发现】①由函数图象可知，第一次相遇距A地a个单位，第二次相遇距A地第100个单位（B地），
设电子虫甲的速度为v，则电子虫乙的速度为v，
根据题意知，v＝2v，
∴a＝，
故答案为：；
②当0＜x≤时，点M（，100）在线段OM上，
∴线段OM的表达式为y＝3x，
当v＜v时，即当＜x≤50，此时，第二次相遇地点是电子虫甲在到点B返回向点A时，
设电子虫甲的速度为v，则电子虫乙的速度为，
根据题意知，x+y＝（100﹣x+100﹣y），
∴y＝﹣3x+200，
即：y＝，
补全图形如下：
【拓展】①如图，
由题意知，＝，
∴z＝5x，
∵0＜y≤40，
∴0＜x≤8；
②如图，
∴＝，
∴z＝﹣5x+200，
∵0≤z≤40，
∴32≤x≤40，
③如图，
由题意得，＝，
∴z＝5x﹣200，
∵0≤z≤40，
∴40≤x≤48，
综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤8或32≤x≤48，
故答案为：0＜x≤8或32≤x≤48．
【点评】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
八．一次函数综合题（共5小题）
26．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（﹣2，0），B（0，1）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）在x轴上存在一点C，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形，请求出点C的坐标；
（3）对于任意x的值，若函数y＝﹣2x+n与y＝kx+b（k≠0）的值中至少有一个大于0，求n的取值范围．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入一次函数解析式，构建二元一次方程组，求解即可；
（2）以AB为底边，则作线段AB的垂直平分线，交x轴于一点C，点C即为所求，再根据勾股定理求解即可；
（3）根据（1）中所求表达式可知，当x＞﹣2时，y＝x+1＞0，则当x≤﹣2时，y＝﹣2x+n必然大于0，以此求n的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（﹣2，0），B（0，1）．
∴，解得，
∴该一次函数的表达式为：y＝x+1；
（2）如图1，作线段AB的垂直平分线，与x轴交于点C，连接BC，则AC＝BC，
设点C的坐标为（a，0），显然a＜0，
∵A（﹣2，0），B（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
∴AC＝BC＝2+a，
在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，
由勾股定理可得，OB2+OC2＝BC2，
∴12+a2＝（2+a）2，解得a＝﹣，
∴点C（﹣，0）．
（3）由（1）知，y＝x+1，
令y＝x+1＞0，则x＞﹣2，
∴当x＞﹣2时，y＝x+1＞0；
若对于任意x的值，若函数y＝﹣2x+n与y＝kx+b（k≠0）的值中至少有一个大于0，
则当x≤﹣2时，y＝﹣2x+n必然大于0，
∴﹣2×（﹣2）+n＝4+n＞0，
解得n＞﹣4．
∴n的取值范围为：n＞﹣4．
【点评】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理，垂直平分线的性质等知识，（3）中理解并还原成数学语言，即得出“当x≤﹣2时，y＝﹣2x+n必然大于0”是解题关键．
27．如图，已知直线y＝﹣x+4分别与x，y轴交于点A、B，与直线y＝kx相交于点C（2，n），点P为直线y＝﹣x+4上一点．
（1）n＝ ，k＝ ；
（2）若点P在射线CA上，且S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标．
（3）若△POC的面积为1，求点P的坐标．
（4）点Q在函数y＝|﹣x+4|的图象上，若△QOC的面积为m（m为常数且m＞0），试确定满足条件的点Q的个数（直接写出结果）．
【分析】（1）把点C（2，n）代入解析式y＝﹣x+4中，可直接求出n的值；再把点C的坐标代入y＝kx中，即可求出k的值；
（2）先根据解析式y＝﹣x+4可求出点A和点B的值，进而可求出△AOC的面积，则可求出△POC的面积和△OAP的面积，过点P作x轴的垂线，表达△AOP的面积，建立方程即可；
（3）先由条件可得△AOC的面积为2，则当点P在线段AC上时，点P是线段AC的中点，再作点P关于直线OC对称点可求出符合题意的另一点；
（4）根据题意先画出图形，可知需要分三种情况，当m＞2，0＜m＜2，m＝2时，分别作出图形说明即可．
【解答】解：（1）把点C（2，n）代入解析式y＝﹣x+4中，得n＝﹣×2+4＝，
∴C（2，），
把点C的坐标代入y＝kx中，则2k＝，解得k＝，
故答案为：，；
（2）∵直线y＝﹣x+4分别与x，y轴交于点A、B，
∴A（3，0），B（0，4），
过点C作CM⊥x轴于点M，
∴OA＝3，CM＝，
∴S△AOC＝×＝2，
∴S△POC＝2S△AOC＝2×2＝4，
∵点P在射线CA上，
∴S△OAP＝S△POC﹣S△AOC＝2，
过点P作PN⊥x轴于点N，
∴S△OAP＝×3×PN＝2，
∴PN＝，
∴y＝﹣，
令y＝﹣，则﹣x+4＝﹣，
解得x＝4，
∴P（4，﹣）；
（3）由（2）知，S△AOC＝2，
∵S△POC＝1，
∴当点P在线段AC上时，点P是线段AC的中点，即为P′
∵A（3，0），C（2，），
∴P′（，），
当点P在直线OC上方时，点C是P，P′的中点，
∴P（，2），
综上所述，点P的坐标为（，）或（，2）；
（4）函数y＝|﹣x+4|的图象如图所示，
当点Q和点A重合时，S△QOC＝S△AOC＝2，即m＝2，
由图可知，当m＝2时，满足条件的点Q有3个，当m＞2时，满足条件的点有2个，当0＜m＜2时，满足条件的点有4个．
【点评】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，还包括数形结合思想等内容，解题的关键是运用数形结合思想，属于中考常考题型．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若PQ≤1，则称点P为直线l的关联点，当PQ＝1时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记PQ＝0．例如，点P（1，2）是直线y＝x的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝﹣x+2，l2：y＝2x+b．
（1）已知点A（0，4），B（，1），C（2，3），上述各点是直线l1的关联点是 B ．
（2）若点D（﹣1，m）是直线l1的最佳关联点，求m的值．
（3）点E（m﹣1，0）、且m＞0，点A（0，4），以OA、OE为边作矩形AOEF．
①当四边形AOEF为正方形时，直线l2与正方形AOEF有公共点，且公共点中至少有一个是直线l1的关联点，求b的取值范围．
②若直线l2与矩形AOEF有两个公共点，且两个公共点都是直线l1的最佳关联点，直接写出m的值．
【分析】（1）根据定义分别判断即可；
（2）由题意可知PQ＝|3﹣m|＝1，求出m的值即可；
（3）①画出图象，当直线经过（0，3）时，b＝3，当直线经过（0，1）时，b＝1，则1≤b≤3时，交点中至少有一个是直线l1的关联点；当直线经过（3，0）时，b＝﹣6，当直线经过（1，0）时，b＝﹣2，当﹣6≤b≤﹣2时，交点中至少有一个是直线l1的关联点；
②根据题意对m的取值进行讨论：0＜m＜1，1＜m＜2，2＜m＜3等，分别画出图形，求解即可．
【解答】解：（1）当y＝4时，x＝﹣2，
∴PQ＝2，
∴A点不是直线l1的关联点；
当y＝1时，x＝1，
∴PQ＝﹣1＝＜1，
∴B点是直线l1的关联点；
当y＝3时，x＝﹣1，
∴PQ＝3＞1，
∴C点不是直线l1的关联点；
故答案为：B；
（2）当y＝m时，x＝2﹣m，
∴PQ＝|2﹣m+1|＝|3﹣m|，
∵点D（﹣1，m）是直线l1的最佳关联点，
∴|3﹣m|＝1，
∴m＝2或m＝4，
（3）①∵四边形OAEF是正方形，A（0，4），
∴OA＝OE，
∴E点在x轴正半轴，
∴E（4，0），
如图，当直线l2在l3和l4之间，在l5和l6之间时，符合条件；
当直线经过（0，3）时，b＝3，
当直线经过（0，1）时，b＝1，
∴2≤b≤4时，交点中至少有一个是直线l1的关联点；
当直线经过（3，0）时，b＝﹣6，
当直线经过（1，0）时，b＝﹣，2，
∴当﹣8≤b≤﹣4时，交点中至少有一个是直线l1的关联点；
综上所述：1≤b≤3或﹣6≤b≤﹣2时，交点中至少有一个是直线l1的关联点．
②根据题意可知，若存在，直线l2与矩形AOEF的边的交点在直线l1与直线l2的交点的两侧，根据m的取值，需要分以下几种情况：
当0＜m＜1时，如图，P（0，b），Q（﹣1，b），
∴﹣（﹣1）+2＝b，
∴b＝3，
设直线l3与线段EF交于点M，则M（m﹣1，2（m﹣1）+3），N（m，2m+1），
∴m+2m+1＝2，
∴m＝；
当1＜m＜2时，如图，P（0，b），Q（1，b），
∴﹣1+2＝b，
∴b＝1，
设直线l3与线段EF交于点M，则M（m﹣1，2（m﹣1）+1），N（m﹣2，2m﹣1），
∴m﹣2+2m﹣1＝2，
∴m＝；
当2＜m＜3时，如图，P（1，0），Q（2，0），
此时b＝﹣2，
设直线l4与线段EF交于点M，则M（m﹣1，2（m﹣1）﹣2），N（m﹣2，2m﹣4），
∴m﹣2+2m﹣4＝2，
∴m＝；
综上，m的值为或或．
【点评】本题属于一次函数背景下新定义类问题，主要考查一次函数的性质，数形结合思想，分类讨论思想等相关内容，根据题意画出图形是解题关键．
29．[模型建立]
如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”，接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
[模型运用]
（1）如图1，若AD＝2，BE＝4，则△ABC的面积为 10 ；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点C坐标为（0，﹣2），点A坐标为（4，0），将线段CA绕点C逆时针旋转90°，得线段CB，连接线段AB，则点B坐标为 （﹣2，2） ；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，直线l函数关系式为y＝2x+1交x轴于点B，若将直线l绕点B顺时针旋转45°得直线l′，问：直线l'是否经过点A（，1），请说明理由，．
[模型拓展]
（4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点B（0，4），P是直线y＝2x﹣5上一点，将线段BP延长至点Q，使BQ＝BP，将线段BQ绕点B顺时针旋转45°后得BA，直接写出OA的最小值为 1.9 （结果精确到0.1）
【分析】（1）利用全等三角形的性质以及勾股定理解决问题即可．
（2）如图2中，由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°；过点B作BE⊥y轴于E．证明△CEB≌△AOC（AAS）推出BE＝OC＝2，CE＝AO＝5，可得B（﹣2，2）．
（3）设旋转后直线l′的解析式为：y＝k′（x+），在直线l′上取点E（1，k′），过点E作EG⊥BE交l于点G，过点E作x轴的垂线与x轴交于点F，过点G作x轴的平行线交EF于点H，由全等得出点G的坐标，代入直线l表达式可求出k′的值，再将点A的横坐标代入直线表达式求出y，即可判断；
（4）如图4中，连接PA，设P（m，2m﹣5），可得A（3m﹣9，m﹣5），推出点A在直线y＝x﹣2上运动，推出当OA⊥直线y＝x﹣2时，OA的值最小，设直线y＝﹣x﹣2交y轴于M（0，﹣2），交x轴于N（6，0），求出斜边MN，再利用面积法求斜边上的高即可．
【解答】解：（1）如图1中，
∵△BEC≌△CDA，
∴BE＝CD＝4，EC＝AD＝2，∠BCE＝∠CAD，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，即∠BCA＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝•AC•BC＝10．
故答案为：10．
（2）由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°；
如图2，过点B作BE⊥y轴于E．
∵点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），
∴OC＝2，OA＝4，
∵∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE，
∵CB＝CA，
∴△CEB≌△AOC（AAS），
∴BE＝OC＝2，CE＝AO＝4，
∴OE＝2，
∴B（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
（3）经过，理由如下：
∵直线y＝2x+1与x轴交于点B，
∴B（﹣，0），
可设旋转后直线l′的解析式为：y＝k′（x+），
如图3，在直线l′上取点E（1，k′），过点E作EG⊥BE交l于点G，过点E作x轴的垂线与x轴交于点F，过点G作x轴的平行线交EF于点H，
则△BEG是等腰直角三角形，
由上述结论可知，△BEF≌△EGH，
∴BF＝EH＝，EF＝GH＝k′，
∴G（1﹣k′，+k′），
∵点G在直线y＝2x+1上，
∴2（1﹣k′）+1＝+k′，解得k′＝，
∴直线l′的解析式为：y＝，
令x＝，则y＝＝1．
即点A（，1）在直线l′上．
（4）如图4中，连接PA，
∵∠ABP＝45°，AB＝BQ＝BP，
∴△ABP是等腰直角三角形，
设P（m，2m﹣5），
∵B（0，4），
∴A（3m﹣9，m﹣5），
∴点A在直线y＝x﹣2上运动，
∴当OA⊥直线y＝x﹣2时，OA的值最小，
∵直线y＝x﹣2交y轴于M（0，﹣2），交x轴于N（6，0），
∴M（0，﹣2），N（6，0），
∴OM＝2，ON＝6，
∴MN＝2，
∴点O到直线y＝x﹣2的距离d＝＝＝≈1.9，
故答案为：1.9．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，4OA＝3OB．
（1）求k的值；
（2）点P在线段AB上，连接OP．若S△AOB＝3S△BOP，求点P的坐标；
（3）将直线AB绕点A逆时针旋转45°后得到直线AC，求直线AC的表达式．
【分析】（1）先求出点B的坐标，可得出OB的长，进而求出OA的长，得出A的坐标，代入表达式即可求出k的值；
（2）先求出△AOB的面积，可求出△BOP的面积，过点P作PM⊥y轴于点M，表达△BOP的面积即可求出点P的纵坐标，代入（1）中所求表达式即可；
（3）过点B作BD⊥AB交直线AC于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则△BDE≌△ABO，得出线段BE和DE的长，继而求出点D的坐标，根据待定系数法可求出直线AC的表达式．
【解答】解：（1）直线y＝kx+4中，令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵4OA＝3OB，
∴OA＝3，
由图可知点A在x轴的正半轴，
∴A（3，0），
∴3k+4＝0，
∴k＝﹣．
（2）由（1）知OA＝3，OB＝4，y＝﹣x+4，
∴S△AOB＝•OA•OB＝×3×4＝6，
∵S△AOB＝3S△BOP，
∴S△BOP＝S△AOB＝2．
过点P作PM⊥y轴于点M，
∴S△BOP＝•OB•PM＝2，即×4PM＝2，
∴PM＝1，即点P的横坐标为1，
当x＝1时，y＝﹣×1+4＝；
∴点P的坐标为（1，）．
（3）将直线AB绕点A逆时针旋转45°后得到直线AC，则∠BAC＝45°，如图，过点B作BD⊥AB交直线AC于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴∠BED＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠OBD＝∠BDE+∠OBE＝90°，
∴∠ABO＝∠BDE，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BDA＝45°，
∴BD＝AB，
∴△BDE≌△ABO（AAS），
∴BE＝OA＝3，DE＝OB＝4，
∴OE＝OB﹣BE＝1，
∴D（﹣4，1），
设直线AC的解析式为：y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+．
【点评】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，构造法等知识；作出正确的辅助线构造全等求出点D的坐标是解题关键．t（min）
…
1
2
3
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.2
…
类别
价格
A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
40
30
销售价（元/个）
56
45