北师大版数学九上期末重难点培优训练专题08 用列举法、树状图或列表法求概率及概率的应用(解析版)

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考点一 已知概率求数量 考点二 几何概率
考点三 列举法求概率 考点四 列表法、树状图求概率
考点五 用概率判断游戏的公平性 考点六 概率在转盘抽奖中的应用
考点七 用频率估计概率及应用
考点一 已知概率求数量
例题：（2021·黑龙江哈尔滨·九年级期末）春节前夕，小丽的奶奶给孩子们准备了一些红包，这些红包的外观相同，其中有个红包装的是元，有个红包装的是元，剩下的红包装的是元．若小丽从中随机拿出一个红包，里面装的是元的红包的概率是，则装有元红包的个数是______________．
【答案】
【分析】根据概率的大小列出方程求解即可．
【详解】解：设有20元的红包x个，根据题意得：，
解得：x=16，
经检验，x=16是原方程的解，
所以，装有元红包的个数是16个，
故答案为：16．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．
【变式训练】（2022·山东淄博·七年级期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
(1)求盒子中球的个数；
(2)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(3)能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为．若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．
【答案】(1)15
(2)
(3)能，白球需要减少3个
【分析】（1）利用白球5个即可求出总数；
（2）求出黑球个数后，直接利用概率公式得出答案；
（3）利用概率公式计算得出符合题意的方法．
（1）
解：盒子中球的个数为：（个），
答：盒子中球的个数为15个；
（2）
黑球个数为：；
∴任意摸出一个球是黑球的概率为： ；
（3）
能，方案如下：
从盒子中拿走3个白球，也就是白球需要减少3个．
任意摸出一个球共出现12种等可能的结果，其中摸到红球的有4种．
．
∴白球需要减少3个．
【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
考点二 几何概率
例题：（2022·山东威海·七年级期末）如图，数学活动小组自制了一个飞镖盘．若向飞镖盘内投掷飞镖（落在边界线重新投掷），则飞镖落在阴影区域的概率是_____．
【答案】
【分析】利用阴影部分面积除以总面积=投掷在阴影区域的概率，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得，投掷在阴影区域的概率是：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了几何概率，求出阴影部分面积与总面积的比值是解题关键．
【变式训练】（2022·山东青岛·七年级期末）如图，飞镖游戏中的每一块正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影区域的概率是______．
【答案】##
【分析】求出整个图形的面积和阴影三角形的面积，根据几何概率的定义进行计算即可．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1个单位长度，则整体的面积为4×4=16（平方单位），
阴影三角形的面积为：4×3-×2×1-×2×3-×2×4=4（平方单位），
所以飞镖落在阴影区域的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率，求出整个图形的面积和阴影三角形的面积是正确解答的关键．
考点三 列举法求概率
例题：（2022·广东深圳·八年级期末）从3、5、6、9四个数中随机取一个数，不放回，再随机取一个数，把第一个数作为十位数字，第二个数作为个位数字，组成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率是______．
【答案】
【分析】从4个数中取两个数组成两位数，把所有情况全部列出来，找出其中的奇数，用奇数的个数除以两位数的总个数就是这个两位数是奇数的概率．
【详解】从3、5、6、9这四个数中取两个数组成两位数有下列情况：35、36、39、53、56、59、63、65、69、93、95、96，共12种结果，其中奇数有9种结果，
∴P(这个两位数是奇数)=
故答案为：
【点睛】本题考查了概率的计算，事件A发生的概率=，掌握概率的计算方法是解题的关键．
【变式训练】（2022·吉林大学附属中学八年级期中）从，，3三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于______．
【答案】
【分析】根据题意可利用列举法进行求解．
【详解】解：从，，3三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则所有的情况有：，，共有6种可能，符合该点在第三象限的有2种可能，所以其概率为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键．
考点四 列表法、树状图求概率
例题：（2022·辽宁鞍山·中考真题）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用，表示）和八年级的两名学生（用，表示）获得优秀奖．
(1)从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是_________．
(2)从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
【答案】(1)；
(2)作图见解析，．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
（1）
从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是，
故答案为：；
（2）
树状图如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果，
所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
【变式训练】（2022·辽宁朝阳·中考真题）某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
(1)王明被安排到A小区进行服务的概率是 ．
(2)请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
（1）
解：王明被安排到A小区进行服务的概率是，
故答案为：；
（2）
列表如下：A，B，C，D表示四个小区，
由表知，共有16种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有4种结果，
所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
考点五 用概率判断游戏的公平性
例题：（2022·黑龙江黑河·九年级期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．
(1)请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．
(2)请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．(列出一种即可)
【答案】(1)此游戏不公平，见解析
(2)点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于8，明明赢
【分析】（1）画树状图求出淘淘和明明获胜的概率，再比较概率即可判定游戏是否公平；
（2）设计一个两人获胜概率一样的游戏规则即可．
（1）
解：画树状图：
由图可知，点数之和共有36种可能的结果，其中6出现5次，7出现6次，
故P(和为6)，P(和为7)．
P(和为6)