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25.2 用列举法求概率-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练（人教版）
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25.2用列举法求概率
课后培优练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．现有3包同一品牌的饼干，其中2包已过期，随机抽取2包，2包都过期的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：把1包不过期的饼干记为A，2包已过期的饼干记为B、 C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，两包都过期的结果有2种，
∴两包都不过期的概率为，
故选：D．
2．活动课上，小林、小军、小强3位同学和其他6位同学一起进行3人制篮球赛，他们将9人随机抽签分成三组，则小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：记三组分别为A，B，C，画树状图如下：
所以所有的等可能的情况数有27种，符合条件的情况数有6种，
所以小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是
故选B
3．如图①为三等分的圆形转盘，图②为装有小球（小球除颜色不同外，其他均相同）的不透明口袋，随机转动转盘一次，然后再从不透明的口袋中随机摸出一个球，则指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：根据题意，列表如下：
蓝球1
蓝球2
红球
红1
（红1，蓝球1）
（红1，蓝球2）
（红1，红球）
红2
（红2，蓝球1）
（红2，蓝球2）
（红2，红球）
蓝
（蓝，蓝球1）
（蓝，蓝球2）
（蓝，红球）
由表可知，共有9种等可能的结果，其中指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的结果有2种，
（指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色），
故选：B．
4．把分别画有“冰墩墩”、“雪融融”的两张形状、大小相同的图片，全部从中间剪成相同的两段，再把这四张形状相同的小图片混合在一起，从这四张图片中随机抽出两张，则这两张小图片恰好能组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：用、表示“冰墩墩”图片被剪成的两半，用、表示“雪融融”图片被剪成的两半，列树状图为：
故有12种等可能结果，符合恰好能组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片有4种，
∴．
5．如图，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为；
故选：D．
6．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会接力比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么，其中恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：根据题意，画树状图得：
所以一共有24种跑步顺序，而恰好由甲将接力棒交给乙的有6种， 所以恰好由甲将接力棒交给乙的概率是：．
故选：A．
二、填空题
7．小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现两个正面向上和一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上和两个反面向上，则小文赢．有下列说法：①小强赢的概率最小；②小文和小亮赢的概率相等；③小文赢的概率是；④这是一个公平的游戏．其中，正确的是__________（填序号）．
【答案】①②③
【详解】
解：画树状图得：
所以共有8种可能的情况.
三个正面向上或三个反面向上的情况有2种，所以P（小强赢）==；
出现2个正面向上一个反面向上的情况有3种，所以P（小亮赢）=；
出现一个正面向上2个反面向上的情况有3种，，所以P（小文赢）=，
∵，
∴小强赢的概率最小，①正确；
小亮和小文赢的概率均为，②正确；
小文赢的概率为，③正确；
三个人赢的概率不一样，这个游戏不公平，④错误；
故答案为：①②③．
8．如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则________（填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是________．（只填一种方案即可）
【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一）
【详解】
解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜；
若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：
乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜，
故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）．
9．有4张除数字外无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4．随机抽取一张记作a，放回并混合在一起，再随机抽一张记作b，组成有序实数对（a，b），则点（a，b）在直线y＝x+2上的概率为 _________．
【答案】
【详解】
解：列表法如下：
1
2
3
4
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
由表可知，一共有14种等可能的结果，其中点（a，b）在直线y＝x+2上的有：（1，3）、（2，4），
∴P（点（a，b）在直线y＝x+2上）=，
故答案为：．
10．在一个不透明的袋子里装有4张数字卡片，数字分别是1，-3，0，2，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1张不放回，再摸出1张．如果把第一次摸出的数字作为横坐标，第二次摸出的数字作为纵坐标，那么组成的点在坐标轴上的概率是____________．
【答案】
【详解】
解：列表得：
1
-3
0
2
1
1,-3
0,1
1,2
-3
-3,1
0,-3
-3,2
0
1,0
-3,0
2,0
2
2,1
2,-3
0,2
所有情况有12种，符合要求的一共有6种，
故组成的点在坐标轴上的概率为：．
故答案为：．
三、解答题
11．学校决定每班选取4名同学参加12.2全国交通安全日“细节关乎生命•安全文明出行”主题活动启动仪式，班主任决定从名同学（小明、小山、小月、小玉）中通过抽签的方式确定2名同学去参加该活动．
抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．
(1)“小刚被抽中”是_________事件，“小明被抽中”是_________事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小玉的概率是_________；
(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小月被抽中的概率．
【答案】(1)不可能；随机；；(2)
【解析】
（1）解：该班同学“小刚被抽中”是不可能事件，“小明被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小玉被抽中”的概率为，故答案为：不可能、随机、；
（2）解：根据题意可画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中小月被抽中的有6种结果．所以.
12．为巩固防疫成果，确保校园平安，某市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小亮和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园，利用画树状图或列表的方法，求小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率．
【答案】图表见解析，
【详解】
解：列表：
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小亮和小丽从同一个测温通道通过的有3种可能，
所以小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率为．
13．小董利用均匀的骰子和同桌做游戏，规则如下：
两人同时做游戏，各自投掷一枚骰子，也可以连续投掷几次骰子；
当掷出的点数和不超过，如果决定停止投掷，那么你的得分就是掷出的点数和；当掷出的点数和超过，必须停止投掷，并且你的得分为；
比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜．
在一次游戏中，同桌连续投掷两次，掷出的点数分别是、，同桌决定不再投掷；小董也是连续投掷两次，但是掷出的点数分别了、，小董决定再投掷一次．请问：
(1)最终小董的得分为分的概率多大？并说明原因．
(2)小董获胜的概率多大？并说明原因．
(3)做这个游戏时应该注意什么才能使游戏公平？
【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析
(3)在游戏过程中应注意轮流投掷骰子，先小董或同桌投掷第一次，如需投掷第二次，再同桌或小董投掷第二次，这样即可保证游戏公平．
【解析】
（1）解：由题意可知：小董投掷骰子的点数为、、时，得分为，小董得零分的概率为：小董得分为零．
（2）解：根据题意得：小董再次投掷骰子，点数为或时得分为或，小董获胜，小董获胜的概率为：小董获胜．
（3）根据游戏规则，前一个人投掷的骰子点数总和大小会影响后一个人是否再次投掷第二次骰子，在游戏过程中应注意轮流投掷骰子，先小董或同桌投掷第一次，如需投掷第二次，再同桌或小董投掷第二次，这样即可保证游戏公平．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．《田忌赛马》原文：忌数与齐诸公子驰逐重射．孙子见其马足不甚相远，马有上、中、下辈．于是孙子谓田忌曰：“君弟重射，臣能令君胜．”田忌信然之，与王及诸公子逐射千金．及临质，孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷．”既驰三辈毕，而田忌一不胜而再胜，卒得王千金．
小建同学用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马的战斗力分别用数字标记如下表．每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．若齐王的三匹马和田忌的三匹马都随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（ ）
马匹等级
下等马
中等马
上等马
齐王
田忌
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：画树状图如图所示，
从图中可以看出，齐王与田忌赛马，共有种等可能的情况，其中田忌能赢有种情况，
．
故选：B．
2．某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验、甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，
画树状图如下：
∵一共有16种等可能的结果，两名同学恰好在同一岗位体验有4种，
∴这两名同学恰好在同一岗位体验的概率=4÷16=，
故选A．
3．如图所示，甲乙两个转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针同时落在偶数上的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：列表得：
∴一共有25种等可能的结果，两个指针同时落在偶数上的有4种情况，
∴两个指针同时落在偶数上的概率是．
故选：A．
4．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到白球的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】
解：根据题意，列出表格，如下：
黑
白
黑
黑黑
白黑
白
黑白
白白
一共得到4种等可能结果，其中两次都摸到白球的有1种，
∴两次都摸到白球的概率是．
故选：D
5．小军旅行箱的密码是一个六位数（密码的每位数字通常用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字），由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开旅行箱的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：∵一共有10种等可能的结果0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况，
∴小军能一次打开该旅行箱的概率是：．
故选：D．
6．已知一次函数，从2，-3中随机取一个值，从1，-1，-2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：根据题意，画出树状图，如下：
∵该一次图数的图象经过二、三、四象限时，k<0，b<0，
∴当k=-3，b=-1时或当k=-3，b=-2时符合要求，
∴该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为．
故选：A
二、填空题
7．从3、5、6、9四个数中随机取一个数，不放回，再随机取一个数，把第一个数作为十位数字，第二个数作为个位数字，组成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率是______．
【答案】
【详解】
从3、5、6、9这四个数中取两个数组成两位数有下列情况：35、36、39、53、56、59、63、65、69、93、95、96，共12种结果，其中奇数有9种结果，
∴P(这个两位数是奇数)=
故答案为：
8．（2022·湖南株洲·九年级期末）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“”、“”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为的概率是______．
【答案】
【详解】
解：列表如下：
由表可知，共有种等可能结果，其中两次记录的数字之和为的有种结果，
所以两次记录的数字之和为的概率为．
故答案为：．
9．现有四张卡片依次写有“中”“考”“必”“胜”四个字（四张卡片除字不同外其它均相同），把四张卡片背面向上洗匀后，从中随机抽取两张，则抽到的汉字恰好是“必”“胜”的概率是______．
【答案】
【详解】
解：列表如下：
中
考
必
胜
中
考，中
必，中
胜，中
考
中，考
必，考
胜，考
必
中，必
考，必
胜，必
胜
中，胜
考，胜
必，胜
由表可知，共有12种等可能结果，其中抽到的汉字恰好是“必”、“胜”的有2种结果，
所以抽到的汉字恰好是“必”、“胜”的概率为=，
故答案为：．
10．盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张记下数字后放回盒子中，洗匀后再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是__________．
【答案】
【详解】
解：由题意，画出树状图如下：
由此可知，两次抽出的卡片上的数字的所有等可能的结果共有9种，其中，两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的结果4种，
则所求的概率为，
故答案为：．
三、解答题
11．现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．
(1)从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率是 ；
(2)若从中随机抽取一张卡片，不放回，再从剩下的3张中随机抽取1张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片都是轴对称图形的概率．
【答案】(1)；(2)
【解析】
（1）解：观察图形，卡片A，B，C是轴对称图形，卡片C，D是中心对称图形，从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率是；故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果，则两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为．
12．有3部不同的电影A，B，C，甲、乙两人分别从中任意选择1部观看．
(1)求甲选择C部电影的概率；
(2)求甲选择A部电影，同时乙选择B部电影的概率（请用画树状图的方法解答）
【答案】(1)；(2)
【解析】
（1）解：有3部不同的电影A，B，C，甲从中任意选择1部观看，∴甲选择C部电影的概率是；
（2）画树状图为：等可能的结果共有9种，其中甲选择A部电影同时乙选择B部电影的结果（AB）只有1种，所以甲选择A部电影同时乙选择B部电影的概率是
13．学校举办了书法比赛．小明和小张都想参加，但现在只有一个名额．小明想出了一个办法，他将一个转盘（质地均匀）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，若指针指到1，2，3中任一个数，则小明去；若指针指到其它数，则小张去．这个游戏规定对双方公平吗？为什么？若不公平，请修改游戏规定，使这个游戏对双方公平．
【答案】不公平；理由见解析；修改规则为：若指针指到偶数，则小明去；若指针指到奇数，则小张去
【详解】
解：不公平；理由如下：
小明获胜的概率为，小张获胜的概率为，
∵≠，
∴此游戏不公平；
修改规则为：若指针转到偶数，则小明胜；若指正转到奇数，则小张胜．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·广东广州·中考真题）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：画树状图得：
∴一共有12种情况，抽取到甲的有6种，
∴P（抽到甲）= ．
故选：A．
2．（2022·山东烟台·中考真题）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】
解：把S1、S2、S3分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA，
∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．
故选：B．
3．（2022·北京·中考真题）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，
故选：A．
4．（2022·内蒙古包头·中考真题）2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
记小明为，其他2名一等奖为，
列树状图如下：
故有6种等可能性结果，其中小明被选中得有4种，故明被选到的概率为．
故选：D．
5．（2022·湖北武汉·中考真题）班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：根据题意列树状图如下：
由上表可知共有12中可能，满足题意的情况数为6种
则，两位同学座位相邻的概率是 .
故选C.
6．（2021·内蒙古·中考真题）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：设两双鞋的型号分别为：，
其中A1，A2为一双，B1，B2为一双，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，取出的鞋是同一双的有4种，
则取出的鞋是同一双的概率为：，
故选：A．
二、填空题
7．（2022·黑龙江大庆·中考真题）不透明的盒中装有三张卡片，编号分别为1，2，3．三张卡片质地均匀，大小、形状完全相同，摇匀后从中随机抽取一张卡片记下编号，然后放回盒中再摇匀，再从盒中随机取出一张卡片，则两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为____________．
【答案】
【详解】
解：由题意知，列表如下：
1
2
3
1
（1,1）
（1,2）
（1,3）
2
（2,1）
（2,2）
（2,3）
3
（3,1）
（3,2）
（3,3）
由表可知，两次卡片编号之积有1、2、3、4、6、9，卡片组合共有9种等可能的结果，其中两次卡片编号之积为奇数有1、3、9，卡片组合共有（1,1），（1,3），（3,1），（3,3）4种等可能的结果，
∴两次卡片编号之积为奇数的概率为，
故答案为：．
8．（2022·湖北武汉·中考真题）从2名男生和2名女生中任选2名学生参加志愿者服务，那么选出的2名学生中至少有1名女生的概率是___________．
【答案】
【详解】
解：列表得，
男
男
女
女
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
∵所有等可能的情况有12种，其中所选出的2名学生中至少有1名女生的有10种，
∴选出的2名学生中至少有1名女生的概率为．
故答案为：
9．（2021·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为________．
【答案】3
【详解】
解：（1）假设袋中红球个数为1，
此时袋中由1个黄球、1个红球，
搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意．
（2）假设袋中的红球个数为2，
列树状图如下：
由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，
∴P（摸出一红一黄）=，P（摸出两红）=，不符合题意，
（3）假设袋中的红球个数为3，
画树状图如下：
由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果，
∴P（摸出一红一黄）=P（摸出两红）=，符合题意，
所以放入的红球个数为3，
故答案为：3．
10．（2021·广西贺州·中考真题）盒子里有4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，5，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率是________．
【答案】
【详解】
解：根据题意，画树状图如下：
由树状图得：共有12种等可能结果，两次抽到卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，
∴两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率为．
故答案为：
三、解答题
11．（2022·山东济宁·中考真题）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如下图所示）．
学生成绩分布统计表
成绩/分
组中值
频率
75.5≤x＜80.5
78
0.05
80.5≤x＜85.5
83
a
85.5≤x＜90.5
88
0.375
90.5≤x＜95.5
93
0.275
95.5≤x＜100.5
98
0.05
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)填空：n＝ ，a＝ ；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)求这n名学生成绩的平均分；
(4)从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
【答案】(1)40，0.25；(2)见解析；(3)88.125分；(4)图表见解析，
【解析】
（1）解：由图表可知：，
（2）解：由（1）可知，到组人数为（人），频数分布图为：
（3）解： （分）
（4）解：解：用A1，A2表示75.5≤x＜80.5中的两名学生，用B1，B2表示95.5≤x＜100.5中的两名学生，画树状图，得
由上图可知，所有结果可能性共12种，而每一种结果的可能性是一样的，其中每一组各有一名学生被选到有8种．∴每一组各有一名学生被选到的概率为．
12．（2022·青海西宁·中考真题）“青绣”是我省非遗项目，其中土族盘绣、湟中堆绣、贵南藏绣、河湟刺绣等先后列入国家级、省级非物质文化遗产代表作名录．
(1)省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是________（填“全面调查”或“抽样调查”）；
(2)为了增进我省青少年对“青绣”文化的了解，在一次社会实践活动中设置了转盘游戏．如图所示，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上A，B，C，D（A代表土族盘绣、B代表湟中堆绣、C代表贵南藏绣、D代表河湟刺绣）．游戏规则：每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就获得相应的绣品（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）．请用画树状图或列表的方法求出甲、乙两名同学获得同一种绣品的概率，并列出所有等可能的结果．
【答案】(1)抽样调查；(2)，见解析
【解析】
（1）解：省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查；
（2）解：列表如下：
甲
乙
A
B
C
D
A
AA
BA
CA
DA
B
AB
BB
CB
DB
C
AC
BC
CC
DC
D
AD
BD
CD
DD
由表格可知，共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学获得同一种绣品的结果共有4种，即AA，BB，CC，DD∴．
13．（2022·青海·中考真题）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人.为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10.
八年级抽取学生的测试成绩条形统计图
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
(1)填空：______，______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
(3)请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
(4)现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率.
【答案】(1)；；(2)见解析；(3)700人；(4)
【解析】
(1)解：（1）由众数的定义得∶a=8，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），
故答案为∶8，8；
(2)解：答案一：七年级较好．理由：七年级被抽取的学生的成绩的众数是8分，八年级被抽取的学生的成绩的众数是7分，从这一统计量看，七年级学生党史知识掌握得较好．
答案二：七年级较好．理由：七年级被抽取的学生的成绩的优秀率是80%，八年级被抽取的学生的成绩的优秀率是60%，从这一统计量看，七年级学生党史知识掌握得较好．
(3)解：解：（人）．
答：七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数约为700人．
(4)解：列表如下：
第一人
第二人
八1
八2
八3
七
八1
（八1，八2）
（八1，八3）
（八1，七）
八2
（八2，八1）
（八2，八3）
（八2，七）
八3
（八3，八1）
（八3，八2）
（八3，七）
七
（七，八1）
（七，八2）
（七，八3）
或树状图如下：
由表格或树状图可知，共有12种等可能的情况，其中被选中的2人恰好是七、八年级各1人的情况有6种．
被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
25.2用列举法求概率
课后培优练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．现有3包同一品牌的饼干，其中2包已过期，随机抽取2包，2包都过期的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：把1包不过期的饼干记为A，2包已过期的饼干记为B、 C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，两包都过期的结果有2种，
∴两包都不过期的概率为，
故选：D．
2．活动课上，小林、小军、小强3位同学和其他6位同学一起进行3人制篮球赛，他们将9人随机抽签分成三组，则小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：记三组分别为A，B，C，画树状图如下：
所以所有的等可能的情况数有27种，符合条件的情况数有6种，
所以小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是
故选B
3．如图①为三等分的圆形转盘，图②为装有小球（小球除颜色不同外，其他均相同）的不透明口袋，随机转动转盘一次，然后再从不透明的口袋中随机摸出一个球，则指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：根据题意，列表如下：
蓝球1
蓝球2
红球
红1
（红1，蓝球1）
（红1，蓝球2）
（红1，红球）
红2
（红2，蓝球1）
（红2，蓝球2）
（红2，红球）
蓝
（蓝，蓝球1）
（蓝，蓝球2）
（蓝，红球）
由表可知，共有9种等可能的结果，其中指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的结果有2种，
（指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色），
故选：B．
4．把分别画有“冰墩墩”、“雪融融”的两张形状、大小相同的图片，全部从中间剪成相同的两段，再把这四张形状相同的小图片混合在一起，从这四张图片中随机抽出两张，则这两张小图片恰好能组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：用、表示“冰墩墩”图片被剪成的两半，用、表示“雪融融”图片被剪成的两半，列树状图为：
故有12种等可能结果，符合恰好能组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片有4种，
∴．
5．如图，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为；
故选：D．
6．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会接力比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么，其中恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：根据题意，画树状图得：
所以一共有24种跑步顺序，而恰好由甲将接力棒交给乙的有6种， 所以恰好由甲将接力棒交给乙的概率是：．
故选：A．
二、填空题
7．小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现两个正面向上和一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上和两个反面向上，则小文赢．有下列说法：①小强赢的概率最小；②小文和小亮赢的概率相等；③小文赢的概率是；④这是一个公平的游戏．其中，正确的是__________（填序号）．
【答案】①②③
【详解】
解：画树状图得：
所以共有8种可能的情况.
三个正面向上或三个反面向上的情况有2种，所以P（小强赢）==；
出现2个正面向上一个反面向上的情况有3种，所以P（小亮赢）=；
出现一个正面向上2个反面向上的情况有3种，，所以P（小文赢）=，
∵，
∴小强赢的概率最小，①正确；
小亮和小文赢的概率均为，②正确；
小文赢的概率为，③正确；
三个人赢的概率不一样，这个游戏不公平，④错误；
故答案为：①②③．
8．如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则________（填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是________．（只填一种方案即可）
【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一）
【详解】
解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜；
若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：
乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜，
故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）．
9．有4张除数字外无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4．随机抽取一张记作a，放回并混合在一起，再随机抽一张记作b，组成有序实数对（a，b），则点（a，b）在直线y＝x+2上的概率为 _________．
【答案】
【详解】
解：列表法如下：
1
2
3
4
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
由表可知，一共有14种等可能的结果，其中点（a，b）在直线y＝x+2上的有：（1，3）、（2，4），
∴P（点（a，b）在直线y＝x+2上）=，
故答案为：．
10．在一个不透明的袋子里装有4张数字卡片，数字分别是1，-3，0，2，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1张不放回，再摸出1张．如果把第一次摸出的数字作为横坐标，第二次摸出的数字作为纵坐标，那么组成的点在坐标轴上的概率是____________．
【答案】
【详解】
解：列表得：
1
-3
0
2
1
1,-3
0,1
1,2
-3
-3,1
0,-3
-3,2
0
1,0
-3,0
2,0
2
2,1
2,-3
0,2
所有情况有12种，符合要求的一共有6种，
故组成的点在坐标轴上的概率为：．
故答案为：．
三、解答题
11．学校决定每班选取4名同学参加12.2全国交通安全日“细节关乎生命•安全文明出行”主题活动启动仪式，班主任决定从名同学（小明、小山、小月、小玉）中通过抽签的方式确定2名同学去参加该活动．
抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．
(1)“小刚被抽中”是_________事件，“小明被抽中”是_________事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小玉的概率是_________；
(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小月被抽中的概率．
【答案】(1)不可能；随机；；(2)
【解析】
（1）解：该班同学“小刚被抽中”是不可能事件，“小明被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小玉被抽中”的概率为，故答案为：不可能、随机、；
（2）解：根据题意可画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中小月被抽中的有6种结果．所以.
12．为巩固防疫成果，确保校园平安，某市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小亮和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园，利用画树状图或列表的方法，求小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率．
【答案】图表见解析，
【详解】
解：列表：
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小亮和小丽从同一个测温通道通过的有3种可能，
所以小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率为．
13．小董利用均匀的骰子和同桌做游戏，规则如下：
两人同时做游戏，各自投掷一枚骰子，也可以连续投掷几次骰子；
当掷出的点数和不超过，如果决定停止投掷，那么你的得分就是掷出的点数和；当掷出的点数和超过，必须停止投掷，并且你的得分为；
比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜．
在一次游戏中，同桌连续投掷两次，掷出的点数分别是、，同桌决定不再投掷；小董也是连续投掷两次，但是掷出的点数分别了、，小董决定再投掷一次．请问：
(1)最终小董的得分为分的概率多大？并说明原因．
(2)小董获胜的概率多大？并说明原因．
(3)做这个游戏时应该注意什么才能使游戏公平？
【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析
(3)在游戏过程中应注意轮流投掷骰子，先小董或同桌投掷第一次，如需投掷第二次，再同桌或小董投掷第二次，这样即可保证游戏公平．
【解析】
（1）解：由题意可知：小董投掷骰子的点数为、、时，得分为，小董得零分的概率为：小董得分为零．
（2）解：根据题意得：小董再次投掷骰子，点数为或时得分为或，小董获胜，小董获胜的概率为：小董获胜．
（3）根据游戏规则，前一个人投掷的骰子点数总和大小会影响后一个人是否再次投掷第二次骰子，在游戏过程中应注意轮流投掷骰子，先小董或同桌投掷第一次，如需投掷第二次，再同桌或小董投掷第二次，这样即可保证游戏公平．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．《田忌赛马》原文：忌数与齐诸公子驰逐重射．孙子见其马足不甚相远，马有上、中、下辈．于是孙子谓田忌曰：“君弟重射，臣能令君胜．”田忌信然之，与王及诸公子逐射千金．及临质，孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷．”既驰三辈毕，而田忌一不胜而再胜，卒得王千金．
小建同学用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马的战斗力分别用数字标记如下表．每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．若齐王的三匹马和田忌的三匹马都随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（ ）
马匹等级
下等马
中等马
上等马
齐王
田忌
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：画树状图如图所示，
从图中可以看出，齐王与田忌赛马，共有种等可能的情况，其中田忌能赢有种情况，
．
故选：B．
2．某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验、甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，
画树状图如下：
∵一共有16种等可能的结果，两名同学恰好在同一岗位体验有4种，
∴这两名同学恰好在同一岗位体验的概率=4÷16=，
故选A．
3．如图所示，甲乙两个转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针同时落在偶数上的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：列表得：
∴一共有25种等可能的结果，两个指针同时落在偶数上的有4种情况，
∴两个指针同时落在偶数上的概率是．
故选：A．
4．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到白球的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】
解：根据题意，列出表格，如下：
黑
白
黑
黑黑
白黑
白
黑白
白白
一共得到4种等可能结果，其中两次都摸到白球的有1种，
∴两次都摸到白球的概率是．
故选：D
5．小军旅行箱的密码是一个六位数（密码的每位数字通常用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字），由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开旅行箱的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：∵一共有10种等可能的结果0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况，
∴小军能一次打开该旅行箱的概率是：．
故选：D．
6．已知一次函数，从2，-3中随机取一个值，从1，-1，-2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：根据题意，画出树状图，如下：
∵该一次图数的图象经过二、三、四象限时，k<0，b<0，
∴当k=-3，b=-1时或当k=-3，b=-2时符合要求，
∴该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为．
故选：A
二、填空题
7．从3、5、6、9四个数中随机取一个数，不放回，再随机取一个数，把第一个数作为十位数字，第二个数作为个位数字，组成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率是______．
【答案】
【详解】
从3、5、6、9这四个数中取两个数组成两位数有下列情况：35、36、39、53、56、59、63、65、69、93、95、96，共12种结果，其中奇数有9种结果，
∴P(这个两位数是奇数)=
故答案为：
8．（2022·湖南株洲·九年级期末）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“”、“”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为的概率是______．
【答案】
【详解】
解：列表如下：
由表可知，共有种等可能结果，其中两次记录的数字之和为的有种结果，
所以两次记录的数字之和为的概率为．
故答案为：．
9．现有四张卡片依次写有“中”“考”“必”“胜”四个字（四张卡片除字不同外其它均相同），把四张卡片背面向上洗匀后，从中随机抽取两张，则抽到的汉字恰好是“必”“胜”的概率是______．
【答案】
【详解】
解：列表如下：
中
考
必
胜
中
考，中
必，中
胜，中
考
中，考
必，考
胜，考
必
中，必
考，必
胜，必
胜
中，胜
考，胜
必，胜
由表可知，共有12种等可能结果，其中抽到的汉字恰好是“必”、“胜”的有2种结果，
所以抽到的汉字恰好是“必”、“胜”的概率为=，
故答案为：．
10．盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张记下数字后放回盒子中，洗匀后再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是__________．
【答案】
【详解】
解：由题意，画出树状图如下：
由此可知，两次抽出的卡片上的数字的所有等可能的结果共有9种，其中，两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的结果4种，
则所求的概率为，
故答案为：．
三、解答题
11．现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．
(1)从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率是 ；
(2)若从中随机抽取一张卡片，不放回，再从剩下的3张中随机抽取1张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片都是轴对称图形的概率．
【答案】(1)；(2)
【解析】
（1）解：观察图形，卡片A，B，C是轴对称图形，卡片C，D是中心对称图形，从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率是；故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果，则两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为．
12．有3部不同的电影A，B，C，甲、乙两人分别从中任意选择1部观看．
(1)求甲选择C部电影的概率；
(2)求甲选择A部电影，同时乙选择B部电影的概率（请用画树状图的方法解答）
【答案】(1)；(2)
【解析】
（1）解：有3部不同的电影A，B，C，甲从中任意选择1部观看，∴甲选择C部电影的概率是；
（2）画树状图为：等可能的结果共有9种，其中甲选择A部电影同时乙选择B部电影的结果（AB）只有1种，所以甲选择A部电影同时乙选择B部电影的概率是
13．学校举办了书法比赛．小明和小张都想参加，但现在只有一个名额．小明想出了一个办法，他将一个转盘（质地均匀）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，若指针指到1，2，3中任一个数，则小明去；若指针指到其它数，则小张去．这个游戏规定对双方公平吗？为什么？若不公平，请修改游戏规定，使这个游戏对双方公平．
【答案】不公平；理由见解析；修改规则为：若指针指到偶数，则小明去；若指针指到奇数，则小张去
【详解】
解：不公平；理由如下：
小明获胜的概率为，小张获胜的概率为，
∵≠，
∴此游戏不公平；
修改规则为：若指针转到偶数，则小明胜；若指正转到奇数，则小张胜．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·广东广州·中考真题）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：画树状图得：
∴一共有12种情况，抽取到甲的有6种，
∴P（抽到甲）= ．
故选：A．
2．（2022·山东烟台·中考真题）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】
解：把S1、S2、S3分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA，
∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．
故选：B．
3．（2022·北京·中考真题）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，
故选：A．
4．（2022·内蒙古包头·中考真题）2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
记小明为，其他2名一等奖为，
列树状图如下：
故有6种等可能性结果，其中小明被选中得有4种，故明被选到的概率为．
故选：D．
5．（2022·湖北武汉·中考真题）班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：根据题意列树状图如下：
由上表可知共有12中可能，满足题意的情况数为6种
则，两位同学座位相邻的概率是 .
故选C.
6．（2021·内蒙古·中考真题）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：设两双鞋的型号分别为：，
其中A1，A2为一双，B1，B2为一双，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，取出的鞋是同一双的有4种，
则取出的鞋是同一双的概率为：，
故选：A．
二、填空题
7．（2022·黑龙江大庆·中考真题）不透明的盒中装有三张卡片，编号分别为1，2，3．三张卡片质地均匀，大小、形状完全相同，摇匀后从中随机抽取一张卡片记下编号，然后放回盒中再摇匀，再从盒中随机取出一张卡片，则两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为____________．
【答案】
【详解】
解：由题意知，列表如下：
1
2
3
1
（1,1）
（1,2）
（1,3）
2
（2,1）
（2,2）
（2,3）
3
（3,1）
（3,2）
（3,3）
由表可知，两次卡片编号之积有1、2、3、4、6、9，卡片组合共有9种等可能的结果，其中两次卡片编号之积为奇数有1、3、9，卡片组合共有（1,1），（1,3），（3,1），（3,3）4种等可能的结果，
∴两次卡片编号之积为奇数的概率为，
故答案为：．
8．（2022·湖北武汉·中考真题）从2名男生和2名女生中任选2名学生参加志愿者服务，那么选出的2名学生中至少有1名女生的概率是___________．
【答案】
【详解】
解：列表得，
男
男
女
女
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
∵所有等可能的情况有12种，其中所选出的2名学生中至少有1名女生的有10种，
∴选出的2名学生中至少有1名女生的概率为．
故答案为：
9．（2021·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为________．
【答案】3
【详解】
解：（1）假设袋中红球个数为1，
此时袋中由1个黄球、1个红球，
搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意．
（2）假设袋中的红球个数为2，
列树状图如下：
由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，
∴P（摸出一红一黄）=，P（摸出两红）=，不符合题意，
（3）假设袋中的红球个数为3，
画树状图如下：
由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果，
∴P（摸出一红一黄）=P（摸出两红）=，符合题意，
所以放入的红球个数为3，
故答案为：3．
10．（2021·广西贺州·中考真题）盒子里有4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，5，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率是________．
【答案】
【详解】
解：根据题意，画树状图如下：
由树状图得：共有12种等可能结果，两次抽到卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，
∴两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率为．
故答案为：
三、解答题
11．（2022·山东济宁·中考真题）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如下图所示）．
学生成绩分布统计表
成绩/分
组中值
频率
75.5≤x＜80.5
78
0.05
80.5≤x＜85.5
83
a
85.5≤x＜90.5
88
0.375
90.5≤x＜95.5
93
0.275
95.5≤x＜100.5
98
0.05
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)填空：n＝ ，a＝ ；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)求这n名学生成绩的平均分；
(4)从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
【答案】(1)40，0.25；(2)见解析；(3)88.125分；(4)图表见解析，
【解析】
（1）解：由图表可知：，
（2）解：由（1）可知，到组人数为（人），频数分布图为：
（3）解： （分）
（4）解：解：用A1，A2表示75.5≤x＜80.5中的两名学生，用B1，B2表示95.5≤x＜100.5中的两名学生，画树状图，得
由上图可知，所有结果可能性共12种，而每一种结果的可能性是一样的，其中每一组各有一名学生被选到有8种．∴每一组各有一名学生被选到的概率为．
12．（2022·青海西宁·中考真题）“青绣”是我省非遗项目，其中土族盘绣、湟中堆绣、贵南藏绣、河湟刺绣等先后列入国家级、省级非物质文化遗产代表作名录．
(1)省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是________（填“全面调查”或“抽样调查”）；
(2)为了增进我省青少年对“青绣”文化的了解，在一次社会实践活动中设置了转盘游戏．如图所示，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上A，B，C，D（A代表土族盘绣、B代表湟中堆绣、C代表贵南藏绣、D代表河湟刺绣）．游戏规则：每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就获得相应的绣品（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）．请用画树状图或列表的方法求出甲、乙两名同学获得同一种绣品的概率，并列出所有等可能的结果．
【答案】(1)抽样调查；(2)，见解析
【解析】
（1）解：省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查；
（2）解：列表如下：
甲
乙
A
B
C
D
A
AA
BA
CA
DA
B
AB
BB
CB
DB
C
AC
BC
CC
DC
D
AD
BD
CD
DD
由表格可知，共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学获得同一种绣品的结果共有4种，即AA，BB，CC，DD∴．
13．（2022·青海·中考真题）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人.为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10.
八年级抽取学生的测试成绩条形统计图
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
(1)填空：______，______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
(3)请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
(4)现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率.
【答案】(1)；；(2)见解析；(3)700人；(4)
【解析】
(1)解：（1）由众数的定义得∶a=8，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），
故答案为∶8，8；
(2)解：答案一：七年级较好．理由：七年级被抽取的学生的成绩的众数是8分，八年级被抽取的学生的成绩的众数是7分，从这一统计量看，七年级学生党史知识掌握得较好．
答案二：七年级较好．理由：七年级被抽取的学生的成绩的优秀率是80%，八年级被抽取的学生的成绩的优秀率是60%，从这一统计量看，七年级学生党史知识掌握得较好．
(3)解：解：（人）．
答：七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数约为700人．
(4)解：列表如下：
第一人
第二人
八1
八2
八3
七
八1
（八1，八2）
（八1，八3）
（八1，七）
八2
（八2，八1）
（八2，八3）
（八2，七）
八3
（八3，八1）
（八3，八2）
（八3，七）
七
（七，八1）
（七，八2）
（七，八3）
或树状图如下：
由表格或树状图可知，共有12种等可能的情况，其中被选中的2人恰好是七、八年级各1人的情况有6种．
被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
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