北师大版数学九上期末重难点培优训练专题07 用一元二次方程解决实际问题（2份，原卷版+解析版）

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考点一 用一元二次方程解决增长率问题 考点二 用一元二次方程解决传播问题
考点三 用一元二次方程解决数字问题 考点四 用一元二次方程解决营销问题
考点五 用一元二次方程解决动态几何问题 考点六 用一元二次方程解决与图形有关的问题
考点一 用一元二次方程解决增长率问题
例题：（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·河南省实验中学模拟预测）某市2020年底森林覆盖率为45%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2022年底森林覆盖率将达到48%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，那么，符合题意的方程是（ ）
A． B．
C．D．
2．（2022·河南·模拟预测）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其以国宝熊猫为原型设计创作，将熊猫憨态可掬的形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点，一经开售供不应求．已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
考点二 用一元二次方程解决传播问题
例题：（2022·浙江杭州·八年级期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，此肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（ ）
A．x（1＋x）＝256B．x＋（1＋x）2＝256
C．x＋x（1＋x）＝256D．1＋x＋x（1＋x）＝256
【变式训练】
1．（2022·山东枣庄·二模）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是______人．
2．（2022·安徽·合肥市第四十二中学八年级期中）某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？
考点三 用一元二次方程解决数字问题
例题：（2022·重庆南开中学三模）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪海尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2021·江西南昌·九年级阶段练习）在2021年10月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为180，则这个最小数为______．
2．（2021·江苏镇江·九年级阶段练习）两个连续整数的平方和为113，则这两个连续整数为__________．
考点四 用一元二次方程解决营销问题
例题：（2022·浙江·长兴县教育研究中心八年级期末）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进冰墩墩200个，因销售量火爆，第三周购进冰墩墩288个，若购进冰墩墩数量的周平均增长率相同.
(1)求今年2月第二周购进冰墩墩多少个？
(2)今年2月第一周，一个冰墩墩的售价定为100元，本周有m个冰墩墩没有售完；从第二周开始，供应商决定调整冰墩墩的售价，每个冰墩墩的售价在第一周的基础上，下降m元；由于冬奥赛事的火热进行，到第二周结束购进的冰墩墩全部售完，若这两周的总销售额为41500元，求m的值．
【变式训练】
1．（2022·安徽安庆·八年级期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
(1)每件服装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
(2)商家能达到平均每天赢利1800元吗？请说明你的理由．
2．（2022·广东·惠州一中八年级期末）某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润．
(1)若每份套餐售价不超过10元．
①试写出y与x的函数关系式；
②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应为多少元？
(2)该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若不能，请说明理由；若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？
考点五 用一元二次方程解决动态几何问题
例题：（2021·山西临汾·九年级阶段练习）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P、Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果P、Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A→B→C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发沿边CD向点D运动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的？
（2）是否存在某一时刻，点P与点Q之间的距离为cm？若存在，直接写出运动所需的时间为 ；若不存在，请说明理由．
（3）直接写出PQ长度的最小值 ．
2．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm.点M从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点运动；同时点N从B点出发沿BC以2cm/s的速度向C点运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点M、N的运动时间为t秒.
（1）当t为何值时，MN＝cm？
（2）当t为何值时，MN的长度最短，最短长度是多少？
（3）当t为何值时，△DMN为等腰三角形．
考点六 用一元二次方程解决与图形有关的问题
例题：（2022·浙江·宁波市第七中学八年级期中）如图，一块长，宽的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，则道路的宽应为_________m．
【变式训练】
1．（2022·安徽省安庆市外国语学校八年级期中）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．
(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；
(2)能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？
2．（2022·安徽·合肥一六八中学八年级期中）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为10米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米．
(1)若围成花圃的面积为36平方米，求此时宽AB；
(2)能围成面积52平方米的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由．
一、选择题
1．（2022·安徽合肥·八年级期末）电影《我和我的祖国》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元．若设增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·浙江宁波·八年级期末）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后他先教会了x名同学，然后这名同学每人又教会了x名同学，这时恰好全班36人都会做这项实验了．根据以上情景，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校八年级期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排66场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·安徽合肥·八年级期末）某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低x元，可列方程为（ ）
A．（45-30-x）（300+50x）=5500B．（x-30）（300+50x）=5500
C．（x-30）[300+50（x-45）]=5500D．（45-x）（300+50x）=5500
5．（2022·浙江绍兴·八年级期末）空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若a＝16，S＝196，则有一种围法B．若a＝20，S＝198，则有两种围法
C．若a＝24，S＝198，则有两种围法D．若a＝24，S＝200，则有一种围法
二、填空题
6．（2022·山东烟台·八年级期末）小明在计算某数的平方时，将这个数的平方误看成它的2倍，使答案少了35，则这个数为_________．
7．（2021·辽宁·盘锦市双台子区第一中学九年级期中）有一种流感病毒，刚开始有2人患了流感，经过两轮传染后共有128人患流感，如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为________．
8．（山东省济南市高新区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，在一块长11m，宽为7m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为60m2，则小路宽为 _____m．
9．（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心八年级期中）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第________个图形共有465个小球．
10．（2021·湖北襄阳·一模）如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，且折成的长方体盒子的表面积为888cm2，则剪掉的小正方形边长为 _____cm（纸板的厚度忽略不计）．
三、解答题
11．（2021·西藏·柳梧初级中学九年级期中）某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有144台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过1700台？
12．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）新冠肺炎是一种传染性很强的疾病．如果某镇有一人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为新冠病毒的携带者．
(1)每个人每轮传染多少人？
(2)若不控制传染渠道，经过三轮传染，共有多少人成为新冠病毒的携带者？
13．（2022·浙江杭州·八年级期末）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价元．
(1)每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含的代数式表示）
(2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
(3)平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．
14．（2022·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图，钢球（不计大小）在一个光滑的“”型轨道上滚动（表面光滑，摩擦阻力不计），其中左侧轨道长为，右侧轨道长为．钢球先由点静止开始沿左侧斜面滚下，速度每秒增加，到达底端后又沿着右侧斜面向上滚动，速度每秒减少．（提示：在同一侧斜面上，钢球滚动的距离=平均速度时间，，其中表示开始的速度，表示秒时的速度．）
(1)当钢球滚动时，它的速度为________，经过的路程是________；
(2)经过几秒，钢球到最低点的距离为？
15．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以80元/千克收购了这种土特产千克，若立即销往外地，每千克可以获利20元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨0.4元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过天，在贮藏过程中平均每天损耗5千克．
(1)若商家将这批土特产贮藏天后一次性出售，请完成下列表格：
(2)将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润50000元？
16．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．
(1)BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代数式表示）
(2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
17．（2022·重庆市第七中学校一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
18．（2022·重庆忠县·九年级期中）2022年2月4日北京冬奥会如期开幕，北京也成为历史上首个“双奥之城”，全国上下也一同关注这一盛事，并为奥运健儿加油打气，与此同时冬奥会吉祥物“冰墩墩”也十分吸引观众的眼球；“冰墩墩”毛绒玩具也备受人们的喜爱．现有A、B两个厂家生产“冰墩墩”毛绒玩具，A厂家每小时生产“冰墩墩”400个，B厂家每小时生产“冰墩墩”500个．
(1)若A、B厂家一共工作12小时，且生产“冰墩墩”的总数量不少于5500个，则B厂家至少生产“冰墩墩”多少小时：
(2)原计划A、B两个厂家每天均工作8小时，但现在为了满足市场的需求，两个厂家每天均增加工作时间，A工厂增加的时间比B工厂增加时间多2小时，但因为机器损耗及人员不足原因，A厂家每增加1小时，该厂每小时的产量将减10个，B厂家每增加1小时，该厂每小时的产量将减15个，这样两个厂一天生产的“冰墩墩”总量将比原计划多1820个，为了生产“冰墩墩”更高效，求A厂实际每天生产“冰墩墩”的时间．
每千克土特产售价（单位：元）
可供出售的土特产质量（单位：千克）
现在出售

2000
天后出售