2025年高考数学一轮复习考点突破和专题练习专题11导数的概念、运算及几何意义（Word版附解析）

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一、导数的概念和几何性质
1.概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
注：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．
2.几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3.物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
二、导数的运算
1.求导的基本公式
2.导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3.复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
4.导数的几何意义
（1）在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
（2）过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
一、单选题
1．（2024·云南保山·二模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·海南·模拟预测）已知偶函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．0C．1D．2
3．（2024高二下·四川成都·阶段练习）已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024高三·全国·专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·湖南·二模）若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．或
6．（2024高三上·上海闵行·期末）若函数的图像上存在两个不同的点，使得在这两点处的切线重合，则称为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024高二·江苏·专题练习）已知A，B是函数，图象上不同的两点，若函数在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024高三·全国·专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．8C．4D．16
10．（2024高三·全国·专题练习）设函数，其中，．若存在正数，使得成立，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．1
11．（2024·宁夏银川·一模）已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·全国）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
13．（2024·全国）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
14．（2024高二下·四川宜宾·期末）已知为函数图象上一点，则曲线在点处切线斜率的最小值为（ ）
A．1B．C．D．4
15．（2024高三·全国·专题练习）函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
16．（2024·全国）曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
17．（2024高二下·陕西西安·期中）设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
18．（2024·山东）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是
A．B．C．D．
19．（2024高二下·河南郑州·期中）若曲线在处的切线与直线垂直，则实数（ ）
A．1B．C．D．2
20．（2024·湖南郴州·模拟预测）定义：若直线l与函数，的图象都相切，则称直线l为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A．eB．C．D．
21．（2024·全国）已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
22．（2024·安徽芜湖·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（ ）
A．B．切线：
C．D．
23．（2024高二下·江苏宿迁·期末）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意，
B．若，且，则对任意，
C．当时，需要作2条切线即可确定的值
D．无论在上取任何有理数都有
24．（2024·海南海口·一模）直线是曲线的切线，则实数的值可以是（ ）
A．3πB．πC．D．
三、填空题
25．（2024·海南·模拟预测）在等比数列中，，函数，则 ．
26．（2024·辽宁大连·一模）已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求 .
27．（2024高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线方程为 ．
28．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，为的导函数.若的图象关于直线x＝1对称，则曲线在点处的切线方程为
29．（2024·湖南·模拟预测）若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
30．（2024·江西·模拟预测）已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是 ．
31．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 .
32．（2024·浙江绍兴·模拟预测）过点作曲线的切线，写出一条切线方程： .
33．（2024·海南海口·模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为 ．
34．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为 .
35．（2024·河南商丘·模拟预测）若过点有条直线与函数的图象相切，则当取最大值时，的取值范围为 .
36．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其导函数为，则曲线过点的切线方程为 ．
37．（2024·河北邯郸·三模）若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是 ．
38．（2024·湖南长沙·模拟预测）若曲线和曲线恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为 ．
39．（2024·江苏南京·模拟预测）已知曲线与曲线有且只有一条公切线，则 ．
40．（2024·福建南平·模拟预测）已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为 ．
41．（2024·江苏·模拟预测）若曲线有两条过的切线，则a的范围是 .
42．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为 ，切线方程为 .
43．（2024·陕西）设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．
44．（2024·江苏）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
45．（2024·江苏）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .
四、解答题
46．（2024·北京）已知函数.
（1）求在区间上的最大值；
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）
47．（2024·北京）设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
48．（2024·全国）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
49．（2024·福建）已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
50．（2024·北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
51．（2024·全国）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
52．（2024高三上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
基本初等函数
导函数
（为常数）
（一）
导数的定义
对所给函数式经过添项.拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．
题型1：导数的定义
1-1．（2024高二下·北京·期中）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（ ）
A．B．
C．D．
1-2．（2024高三上·云南楚雄·期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（ ）
A．5cm/sB．6cm/sC．8cm/sD．10cm/s
1-3．（2024高二下·天津·期中）已知函数的导函数是，若，则（ ）
A．B．1C．2D．4
1-4．（2024高二下·重庆·阶段练习）若函数在处可导，且，则（ ）
A．1B．C．2D．
1-5．（2024高三·全国·课后作业）若在处可导，则可以等于（ ）．
A．B．
C．D．
（二）
求函数的导数
对所给函数求导，其方法是利用和.差.积.商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．
题型2：求函数的导数
2-1．（2024·湖北武汉·三模）已知函数，则 .
2-2．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数的导函数为，且，则 ．
2-3．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
2-4．（2024高三·全国·课后作业）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
（三）
导数的几何意义
函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率．这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别．（1）已知在点处的切线方程为．（2）若求曲线过点的切线方程，应先设切点坐标为，由过点，求得的值，从而求得切线方程．另外，要注意切点既在曲线上又在切线上．
题型3：在某点处的切线方程
3-1．（2024·广东广州·三模）曲线在点处的切线方程为 ．
3-2．（2024·全国）函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3-3．（2024高三上·陕西·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
3-4．（2024·全国）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
3-5．（2024·全国）曲线y=2sinx+csx在点(π，–1)处的切线方程为
A．B．
C．D．
题型4：过某点的切线方程
4-1．（2024·湖南·模拟预测）过点作曲线的切线，则切点的横坐标为 ，这条切线在x轴上的截距为 ．
4-2．（2024高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）曲线过坐标原点的两条切线方程为 ， .
4-3．（山东新高考联合质量测评2023-2024学年高三上学期9月联考数学试题）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．3
题型5：已知切线求参数问题
5-1．（2024·重庆·三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（ ）
A．0B．C．D．
5-2．（2024·全国）设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=
A．0B．1C．2D．3
5-3．（2024·全国）曲线在点处的切线的斜率为，则 ．
5-4．（2024·全国）已知曲线在点处的切线方程为，则
A．B．C．D．
题型6：切线平行、垂直、重合问题
6-1．（2024·安徽六安·三模）若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（ ）
A．B．C．D．
6-2．（2024·湖南长沙·一模）已知直线与曲线相交于，且曲线在处的切线平行，则实数的值为（ ）
A．4B．4或-3C．-3或-1D．-3
6-3．（2024高三上·浙江·期中）若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
6-4．（2024高三·江西抚州·开学考试）已知曲线在点处的切线互相垂直，且切线与轴分别交于点，记点的纵坐标与点的纵坐标之差为，则（ ）
A．B．
C．D．
6-5．（2024高三上·河北邯郸·阶段练习）设函数在处的切线与直线平行，则（ ）
A．B．2C．D．1
6-6．（2024高二下·湖南·期中）已知曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的横坐标为（ ）
A．1B．C．2D．
题型7：公切线问题
7-1．（2024·山东烟台·三模）若曲线与曲线有两条公切线，则的值为 ．
7-2．（2024·全国）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
7-3．（2024高二下·浙江杭州·期中）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为 .
题型8：切线的条数问题
8-1．（2024高二下·福建厦门·期中）若曲线过点的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是 .
8-2．（2024·福建厦门·模拟预测）若曲线有两条过的切线，则的范围是 ．
8-3．（2024高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是 ．
8-4．（2024高三上·河北·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
题型9：最值问题
9-1．（2024·江苏）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .
9-2．（2024·山东聊城·三模）若直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．
9-3．（2024·湖北·模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
9-4．（2024高三·全国·专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
A．B．
C．D．
9-5．（2024高三·全国·专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
9-6．（2024·四川·一模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．