高考数学一轮复习：3导数及其应用-重难点突破1练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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解决曲线的切线问题，核心是切点坐标，因为切点处的导数就是切线的斜率，公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．
一．选择题（共10小题）
1．（2023•长沙模拟）一条斜率为1的直线分别与曲线和曲线相切于点和点，则公切线段的长为
A．2B．C．1D．
【解答】解：由，得，
由，得，则，可得切点；
由，得，
由，，得，则，得．
公切线段的长为．
故选：．
2．（2023•武昌区校级模拟）已知抛物线和，若和有且仅有两条公切线和，和、分别相切于，点，与、分别相切于，两点，则线段与
A．总是互相垂直B．总是互相平分
C．总是互相垂直且平分D．上述说法均不正确
【解答】解：抛物线，，
两曲线分别是经过平移、对称变换得到的，则两曲线的大小与形状相同，且具有中心对称性，
和是它们的公切线，和、分别相切于，两点，和、分别相切于，两点，
，关于对称中心对称，，关于对称中心对称，线段与互相平分．
故选：．
3．（2023•徐汇区校级一模）若直线是曲线与的公切线，则
A．B．1C．D．2022
【解答】解：设直线与的图象相切于点，，与的图象相切于点，，
又，，且，．
曲线在点，处的切线方程为，
曲线在点，处的切线方程为．
故，解得，
故．
故选：．
4．（2023•道里区校级模拟）已知函数，，若直线为和的公切线，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：设直线与曲线的切点设为，，
与曲线的切点为，
由，得，可得，即，
由，得，可得，即，
又，即，①
，即，②
由①②解得，．
故选：．
5．（2023春•祁东县校级期中）若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：设，是公切线和曲线的切点，则斜率为，
故切线方程为，整理得，
设，是公切线和曲线的切点，则切线斜率为，
故切线方程为：，整理得：，其中，
所以，
将①代入②式整理后得，
又，则，
设，，
则，，易知，所以在上单调递减，
而，当时，，
故，即即为所求．
故选：．
6．（2023•重庆模拟）在数学王国中有许多例如，等美妙的常数，我们记常数为的零点，若曲线与存在公切线，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：设公切线与两曲线与的切点分别为，，，，
由，，
得，整理可得，
令，则，
由，得，可得，
当时，，当时，，
可得的最大值为．
实数的取值范围是，．
故选：．
7．（2023春•湖北期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则
A．26B．23C．15D．11
【解答】解：设直线与曲线切于，
由，得，
由，解得或（舍去），
切点坐标为，代入，得；
则切线方程为．
再设直线与曲线切于，
由，得，
，且，
联立解得，．
．
故选：．
8．（2023•浙江模拟）已知两曲线与，则下列结论正确的是
A．若两曲线只有一个交点，则这个交点的横坐标
B．若，则两曲线只有一条公切线
C．若，则两曲线有两条公切线，且两条公切线的斜率之积为
D．若，，分别是两曲线上的点，则，两点距离的最小值为1
【解答】解：若两曲线只有一个交点，记交点为，则，
且在此处的切线为公切线，所以，即满足．
设，则时单调递增，（1），所以错误．
如图，时，设，
则，由于（1），，
所以存在，使得，
那么当时，，为单调递减函数，
当，时，，为单调递增函数，
且，所以有两个零点，
则两曲线有两个公共点，故没有公切线，所以错误．
时，设是曲线上的一点，，
所以在点处的曲线切线方程为，即①，
设是曲线上的一点，，
所以在点处的切线方程为，即，
所以，解得或，
所以两斜率分别是1和，所以正确．
时，曲线的一条切线为，的一条切线，
两切线间的距离为最小值，所以错误．
故选：．
9．（2023•上饶二模）若曲线y＝lnx+1与曲线y＝x2+x+3a有公切线，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：设（x1，y1）是曲线y＝lnx+1的切点，设（x2，y2）是曲线y＝x2+x+3a的切点，
对于曲线y＝lnx+1，其导数为，对于曲线y＝x2+x+3a，其导数为y′＝2x+1，
∴切线方程分别为：，，两切线重合，
对照斜率和纵截距可得：，解得（），
令h（x）＝﹣ln（2x+1）+x2（），，得：，
当时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，
当时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，
∴，且当x→时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞；
∴，∴．
故选：D．
10．（2023•保山模拟）若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：由函数，可得，
因为，设切点为，则，
则公切线方程为，即，
与联立可得，
所以，整理可得，
又由，可得，解得，
令，其中，可得，
令，可得，
函数在上单调递增，且（1），
当时，，即，此时函数单调递减，
当时，，即，此时函数单调递增，
所以（1），且当时，，
所以函数的值域为，，
所以且，解得，即实数的取值范围为．
故选：．
二．多选题（共2小题）
11．（2023春•重庆期中）已知直线是曲线与的公切线，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：设曲线上切点，，，
切线斜率，切线方程，
即，
同理，设曲线上切点，，，
切线斜率，切线方程，
即，
所以，解得，
所以，，．
故选：．
12．（2023•建华区校级三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线为曲线和的公切线，则下列结论正确的是
A．曲线的图象在轴的上方
B．当时，
C．若，则
D．当时，和必存在斜率为的公切线
【解答】解：选项，由，得，可知曲线的图象在轴的上方，故正确；
选项，当时，，，
对于，有，
因为直线为曲线的切线，
所以，即，此时，
所以切点坐标为，将其代入切线方程中，
有，整理得，可得，即正确；
选项，当时，公切线为，
设，，则，，
所以，，解得，，故错误；
选项，当时，，，则，，
若和存在斜率为的公切线，则存在和使得，，
由选项可知，，即，
所以，，即，，符合题意，
故当时，和必存在斜率为的公切线，即正确．
故选：．
三．填空题（共17小题）
13．（2022秋•启东市期末）已知直线是曲线与的公切线，则 ．
【解答】解：设切点，，，，
由题意得，，切线方程分别可以表示为：
，
，
，得，则，．
则．
故答案为：．
14．（2022秋•张家口期末）已知直线是函数与函数的公切线，若，（1）是直线与函数相切的切点，则 ．
【解答】解：，
，，
，（1）是直线与函数相切的切点，
（1），（1），
，
，
即直线的方程为，
，
，
设与的切点坐标为，，
，
切线方程为，
即，
，，
解得，
，
．
故答案为：．
15．（2023•鼓楼区校级模拟）写出曲线与曲线的公切线的一个方向向量 （答案不唯一） ．
【解答】解：设两曲线的公切线与曲线切于，与曲线切于，，
曲线在处的切线方程为，
曲线在，处的切线方程为．
则，且，
可得，即．
曲线与曲线的公切线的方程为，该公切线的一个方向向量为．
故答案为：（答案不唯一）．
16．（2023•惠安县模拟）已知直线是曲线与的公切线，则直线与轴的交点坐标为 ．
【解答】解：由，得，
由，得，
设直线与曲线和分别切于，，，，
则，即，代入，
可得，解得，
，切点为，，则切线方程为，
取，得．
直线与轴的交点坐标为．
故答案为：．
17．（2023•防城港模拟）若曲线与有一条斜率为2的公切线，则 ．
【解答】解：设公切线在曲线与上的切点分别为，，，，
由得，则，解得，
，则，
故在点的切线方程为，
又得，则，即，
，
又切点，，则，在切线上，
，解得，
．
故答案为：．
18．（2023•广东模拟）曲线与的公共切线的条数为 2 ．
【解答】解：设曲线上的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
由得，
则，
所以，
所以曲线上的切点为，，
所以切线方程为，
所以，
所以，
在同一坐标系中作出曲线和的图象，
由图可知，两函数图象有两个交点，
故答案为：2．
19．（2023春•重庆期末）已知直线是函数与函数的公切线，若，（1）是直线与函数相切的切点，则 ．
【解答】解：，
，，
，（1）是直线与函数相切的切点，
（1），（1），
，
，
即直线的方程为，
，
，
设与的切点坐标为，，
，，
切线方程为，
即，
，，
解得，
，
．
故答案为：．
20．（2023春•涪城区校级期中）若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则 0 ．
【解答】解：，，
如图所示，设公切线与相切于，，与相切于，，则有以下关系：
，求得，
故公切线方程为，所以，
即，．
故答案为：0．
21．（2023•浠水县校级三模）若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围为 ， ．
【解答】解：设公切线与曲线的切点为，，与曲线的切点为，，
，，
在处的切线方程为，
同理可得，在处的切线方程为，
由题意可知，，即①，
，，
，，
方程组①消去，整理得，
设，则，
，
令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
，
又（1），
，
即的取值范围为，．
故答案为：，．
22．（2023•厦门模拟）已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为 ．
【解答】解：，
假设两曲线在同一点，处相切，
则，可得，即，
因为函数单调递增，且时，
所以，则，此时两曲线在处相切，
根据曲线的变化趋势，若继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，
所以的最大值为．
故答案为：．
23．（2023春•广西期中）已知曲线与的公切线为，则实数 1 ．
【解答】解：对曲线求导数得，
设切点为，则切线为，
即，与公切线对照得，
解得，所以切线方程为，
对于，设切点为，，
则，解得，．
故答案为：1．
24．（2023•邯郸三模）若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是 ．
【解答】解：曲线在点，处的切线方程为，
由于直线与圆相切，得，
因为曲线与圆有三条公切线，故式有三个不相等的实数根，
即方程有三个不相等的实数根．
令，则曲线与直线有三个不同的交点，
显然，，
当时，，当时，，当时，，
所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
且当时，，当时，，
因此，只需，即，
解得，即实数的取值范围是．
故答案为：．
25．（2023春•靖江市校级月考）已知曲线与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为 ， ．
【解答】解：由，得，由，得，
设直线分别与、切于，、，，
则直线的方程为，，
即，．
，可得．
令，则，
则当时，，单调递增，
当，时，，单调递减．
．
又当时，，当时，，
，，可得，．
故答案为：，．
26．（2023春•香坊区校级月考）定义：若直线与函数，的图象都相切，则称直线为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数的值为 ．
【解答】解：设直线与切于，与切于，
，，
与切线方程分别为，，
由题意得，则．
令，，
则，
当时，，单调递增，
当，时，，单调递减．
．
又当时，，当时，，且已知，
若函数和有且仅有一条公切线，则实数的值为．
故答案为：．
27．（2023•鼓楼区校级模拟）已知曲线与曲线有且只有一条公切线，则 ．
【解答】解：曲线，，
设公切线与，的切点为，，可知，
由，
得，，
，，可得，即，
，
构造函数，，
问题等价于直线与曲线在时有且只有一个交点，
，当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
的最大值为（2），（1），当时，，
故．
故答案为：．
28．（2023•蓬莱区三模）已知曲线与的两条公切线的夹角余弦值为，则 3 ．
【解答】解：曲线与互为反函数，图象关于对称，如图所示，
由题意可知，，
所以，
，解得，或，
因为为锐角，
所以，
由对称性，不妨取直线进行研究，则直线的倾斜角为，
，
设切点的横坐标为，切点的横坐标为，则，，
，所以，
所以直线的方程为，即，
，
所以，
所以直线的方程为，即．
所以，即，
所以，即，
所以，即，则，
所以．
故答案为：3．
29．（2023•浙江开学）已知曲线与的两条公切线的夹角正切值为，则 ．
【解答】解：与互为反函数，图像关于直线对称，如图所示，
由题意，两条公切线的夹角正切值为，
解得或，又为锐角，所以．
由对称性，不妨取直线进行研究，则直线的倾斜角为：
，，
设点的横坐标为，切点的横坐标为，
则，，
，即，
所以，，
，即．
，则，
即，则，
所以，
即，
所以．
故答案为：．
四．解答题（共1小题）
30．（2023•郴州模拟）已知函数，．
（1）若，在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数和有公切线，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，当时，设，
则，，
令，得（舍负）在上单调递减，在上单调递增，（1）．
根据题意的取值范围为，．
（2）设函数在点，处与函数在点，处有相同的切线，
则，，
，代入，
得．问题转化为：关于的方程有解，
设，则函数有零点，
，当时，，，
问题转化为：的最小值小于或等于，
设，
则当时，，当时，，
在上单调递减，在，上单调递增，
的最小值为，
由知，
故，
设，
则，
故在上单调递增，
（1），当，时，，的最小值等价于．
又函数在，上单调递增，．