2025届新高考数学一轮复习精讲精练第08讲函数与方程（含新定义解答题）（分层精练）（Word版附解析）

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A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·天津·高一校联考期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在求得函数定义域上，根据函数的单调性和某区间的端点函数值异号即可判定.
【详解】因函数的定义域为，且在上单调递增，由，
根据零点存在定理该函数的零点所在的区间是.
故选：A.
2．（2024上·安徽·高一校联考期末）用二分法求函数的零点时，初始区间可选为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】计算出，结合零点存在性定理得到答案.
【详解】，
则，即初始区间可选．
故选：D．
3．（2024上·江西吉安·高一统考期末）下列区间内存在方程的根的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的零点个数与方程的实根个数的关系，利用零点存在定理结合图形判断即得.
【详解】令，显然函数在R上连续，因，
故 在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根．

如图，作出函数和的图象，由图可知和有两个交点，
因，，即，
所以在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根，
由选项可知只有C项符合题意.
故选：C.
4．（2024上·河南新乡·高一统考期末）已知函数在内的一个零点附近的函数值如下表：
则该零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判定函数的单调性，然后将表中数据按照从小到大排列，根据函数零点存在性定理即可求解.
【详解】因为函数和都是上的单调增函数，所以函数为单调递增函数.
将表格中数据按照从小到大排列如下：
由表格可得：.
由函数零点存在性定理可得：函数有唯一零点，所在的区间为.
故选：C.
5．（2024上·福建龙岩·高一校联考期末）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（ ）年．
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由题设有，即可求参数、的值，进而判断的单调性且，即可判断植物的高度超过至少需要多少年.
【详解】依题意可得，则，解得，
∴，
因为在定义域上单调递减，且，又在上单调递减，
所以在上单调递增，而，，
即，
∴该植物的高度超过，至少需要年.
故选：C.
6．（2024下·河北保定·高一河北安国中学校联考开学考试）函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】当时，解二次方程得函数零点，当时，把函数零点个数转化为函数与函数的交点个数，即可求解.
【详解】当时，令，解得或；
当时，令，则，画出函数与函数的图象，
可知在上有一个公共点.故的零点个数为3.
故选：C
7．（2024下·山东济宁·高三校考开学考试）是定义在上的函数，对于任意的，都有且时，有，则函数的所有零点之和为（ ）
A．10B．13C．22D．26
【答案】C
【分析】根据函数的对称性可得函数的周期为4，进而根据函数图象，结合对称性即可求解.
【详解】因为对于任意的，都有，，
所以为的一条对称轴，为的一个对称中心，
故
所以为的周期，
由得，又由时，有，
可以画出与的图象，如图:
由于也关于对称，且当时，，

由图象可得，函数共有11个零点，故所有零点之和为.
故选:C
8．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【分析】首先利用函数的性质画出两个函数的图象，再结合对称性求所有实数根的和.
【详解】由题意知，关于点对称，
函数的周期为2，则函数，在区间上的图象如下图所示：
由图形可知函数，在区间上的交点为，
易知点的横坐标为,
若设的横坐标为，则点的横坐标为，
所以方程在区间上的所有实数根之和为.
故选：B
二、多选题
9．（2024下·广东湛江·高二校考开学考试）已知函数的图象与直线有两个不同交点，则正实数a的取值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．1
【答案】BC
【分析】在同一坐标系中作出两函数的图象，观察图象可得到a的取值范围.
【详解】在同一坐标系中作出函数与的大致图象，
如图所示，两图象都经过，易知只有时才能在的区域有第二个交点，
故的取值范围.
故选：BC

10．（2024上·河南安阳·高一林州一中校考期末）已知函数，，，，是函数的4个零点，且，则（ ）
A．的取值范围是B．
C．的取值范围为D．的最大值是
【答案】BD
【分析】作出函数的图象，结合图象判断A，对方程化简，利用基本不等式求出范围判断B，由对数的运算性质得出，利用函数单调性和基本不等式可判断C，D.
【详解】作出函数的图象，如图所示：
对选项A，由条件，函数有4个零点，即有4个不等实数根，
即与的图象有四个交点，由图象知，故选项A错误；
对选项B，因为，，，是函数的4个零点，
且，所以，，所以，
所以，，
由，所以，
即，所以，
因为，当且仅当时等号成立，
又因为，所以，
即，所以，
所以，即，故选项B正确；
对选项C，因为，，，所以由图可知，，
由，，得，
因为，所以，
所以，所以， 即 ，
所以 ，
因为 ，且在 单调递减，
所以，即的取值范围不为，故选项C错误；
对选项D，由选项B可得，，所以，
由选项C可知，， 所以 ，
当且仅当时等号成立，
所以 ，
所以 的最大值是，故选项D正确.
故选：BD.
三、填空题
11．（2024上·江西九江·高一江西省庐山市第一中学校考期末）已知函数，且时，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意画出图形，得出各自的范围以及关系，进一步即可求解.
【详解】
，
结合图形可得，，，
∵，∴，∴，
∴，∴.
故答案为：.
12．（2024上·河南驻马店·高一统考期末）给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数的值为 ．若为“函数”，则实数的取值范围为 ．
【答案】 3
【分析】对于第一空，由题可知，代入相应解析式可得答案；
对于第二空，为“函数”，则函数，与函数图象有交点，据此可得答案.
【详解】对于第一空，因是的一个“点”，则；
对于第二空，由题可知为“函数”，即函数在定义域内的图像中，存在中心对称的两点，即函数的图象，
与函数关于原点对称的函数的图象有交点，即方程有大于0的解.
，当且仅当，
即时取等号，故答案为：.
故答案为：3；.
四、解答题
13．（2024上·广东茂名·高一统考期末）已知二次函数满足，且，为偶函数，且当时，．

(1)求的解析式；
(2)在给定的坐标系内画出的图象；
(3)讨论函数（）的零点个数．
【答案】(1)
(2)作图见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）设出解析式，根据题目条件得到方程组，求出，得到解析式；
（2）根据函数的奇偶性得到的解析式，从而画出函数图象；
（3）在（2）的基础上，得到函数零点个数
【详解】（1）设，则
因为，
故，
所以，解得，
因此；
（2）当时，，
当时，，则，
为偶函数，故，
故，
综上，，
画出函数图象如下：

（3）由图可知，，，
当时，函数没有零点，
当时，函数只有两个零点，
当时，函数有四个零点，
当时，函数有三个零点，
当时，函数有两个零点
14．（2024上·江苏南京·高一统考期末）已知函数.
(1)若函数为奇函数，求的值；
(2)当时，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；
(3)若函数有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据得到方程，求出，验证后得到答案；
（2）定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论；
（3）换元后得到在有两个不同的实数解，由根的判别式和对称轴得到不等式，求出的取值范围.
【详解】（1）的定义域为R，且为奇函数，
由，得，
此时.
因为，所以为奇函数，
故.
（2）当时，.
任取，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（3）有两个不同的零点，等价于有两个不同的实数解.
令，则在有两个不同的实数解，
令，其中，
所以，解得.
所以的取值范围为.
B能力提升
1．（2024下·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）已知函数，若存在，使得，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．在内有零点D．若在内有零点，则
【答案】A
【分析】根据函数的单调性结合零点存在定理逐项判断即可得结论.
【详解】因为在上单调递增，且，，
所以，，根据零点存在定理可得函数在内有零点，故C正确；
又因为，所以，故B正确；
又因为，则可能大于，故A不正确；
若函数在内有零点，则，故D正确.
故选：A.
2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】由函数偶函数性质及结合得到函数的周期，然后求出的在上的解析式，则求的零点就等价于函数与函数图象的交点，作出相关图形，从而可求解.
【详解】由函数为偶函数，所以，
因为对任意，都有，即，
所以函数的周期，
当时，，则，
对于函数的零点等价于函数与函数图象的交点，
如图所示，一共有10个交点，故C正确.
故选：C.
3．（2024·山西吕梁·校考模拟预测）用[]表示不大于实数a的最大整数，如[1.68]=1，设分别是方程及的根，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】用零点存在性定理确定两个根的取值范围即可.
【详解】因为分别是方程，的根，
则分别是函数及的零点，
而函数是单调递增函数，又，，则 ，
函数在上单调递增，，，则，
因此，所以.
故选：C
【点睛】方法点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
4．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）已知，符号表示不大于的最大整数，比如，，若函数有且仅有个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，由可得，
问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示：

当直线经过点时，则有，可得；
当直线经过点时，则有，可得.
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
5．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称，②函数为偶函数；③当时，，若关于x的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数性质可知函数关于，对称，且周期为4，再利用上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数的取值范围.
【详解】由函数为偶函数可知，函数关于对称，且，即，
又因为关于对称，所以，即，
可得函数的周期，
当时，可得其图象如下所示：
由对称性可知，当时满足不等式的整数解有3个即可，
根据图示可得，解得，
即.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：函数图象在方程、不等式中的应用策略
(1)研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；
(2)确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数图象与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图象交点的横坐标；
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
C综合素养
6．（2024上·安徽安庆·高一安庆一中校考期末）设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．
(1)若函数为“函数”，求实数的值；
(2)证明：函数为“函数”；
(3)若函数为“函数”，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见详解；
(3)
【分析】（1）根据新定义函数的性质，写出f(x)满足的等式进而求解出结果；
（2）令，得，设，，根据图象可知有解，得证；
（3）根据题意得，，进而整理得存在实数使得，再结合和讨论求解即可.
【详解】（1）由为“函数”，
得，即，
解得，故实数的值为；
（2）由，
则，，
令，得，
设，，
如图可知，两函数由一个交点，
即存在实数，使得成立，
所以函数为“函数”；
（3）函数有意义，则，定义域为
因为函数为“函数”，
所以存在实数使得成立，
即存在实数使得，
所以存在实数使得成立，即，
所以当时，，满足题意；
当时，，即，
解得且，
所以实数a的取值范围是
【点睛】思路点睛：本题考查了函数的新定义，解题的关键是理解函数为“函数”的定义，每一问套用定义得到关于的方程，解方程或讨论方程有解.
7．（2024上·湖南郴州·高一统考期末）对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.若函数，，若存在，使得，则称为函数的稳定点.
(1)证明：函数不动点一定是函数的稳定点.
(2)已知函数，
（Ⅰ）当时，求函数的不动点和稳定点；
（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，求的值和实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)（Ⅰ）不动点为1和；稳定点为1和；；（Ⅱ），.
【分析】（1）根据不动点的定义可得，即可代入求证稳定点，
（2）（Ⅰ）根据不动点以及稳定点的定义即可求解方程得解，
（Ⅱ）根据不动点的定义以及换元可得，进而将问题进一步转化为，根据二次方程根的分布即可判定的方程必有一根为正根和一个零根，即可根据韦达定理求解.
【详解】（1）证明：若实数是的一个不动点，则，
所以，故函数不动点一定是函数的稳定点.
（2）（Ⅰ）当时，，∴，解得：或
所以函数的不动点为1和；
又
∴
解得：或，或或
所以函数的稳定点为1和；
解法2：所以函数的不动点为1和；
由得
即，由（Ⅰ）可知函数的不动点1和一定是稳定点，
故可令
，
从而由待定系数法可求得，，
所以，
解得或，或或
所以函数的稳定点为1和；
（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，
当时，令，当且仅当时取等号，
又，由，可化为
，关于的方程有三个不等实根，
令，，
由于非负数，如果有两个不同正根，方程必有四个解即四个不同的不动点，与题设矛盾；
如果有且只有一个正根，只有两个不动点，与题设矛盾；
所以必有一根为正根和一个零根，即或
则，因为，得：，则.
故实数的取值范围是，.
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
8．（2024上·江苏徐州·高一统考期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.
(1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；
(2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；
(3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解.
【答案】(1)函数是“2-利普希兹条件函数”； 函数不是“2-利普希兹条件函数”；
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数新定义得和，即可判断；
（2）由题知均有成立，不妨设，得恒成立，由，得，即可求解；
（3）由题得，即，不妨设，根据零点的定义可得、，进而，则，设，有，结合零点的存在性定理即可证明.
【详解】（1）由题知，函数，定义域为R，
所以，
所以函数是“2-利普希兹条件函数”；
函数，
所以，
当时，则，
函数不是“2-利普希兹条件函数”；
（2）若函数是“利普希兹条件函数”，
则对于定义域上任意两个，均有成立，
不妨设，则恒成立，
因为，所以，得，
所以的最小值为2．
（3）因为函数是“利普希兹条件函数”，
所以在R上恒成立，即在R上恒成立，
由，得.
因为是函数的零点，则，
又是函数的零点，则，又，
所以，而，故，
设，，
由，，
得，由零点的存在性定理知函数在上有零点，
即方程在上有解.
【点睛】本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义，构造所需要达到的定义式，此类题目综合性强，属于难度题.