第01讲 集合 (含新定义解答题）(分层精练）-【高考新结构一轮复习】备战2025年高考数学一轮复习精讲精练

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A夯实基础
一、单选题
1．（2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再由交集定义求交集.
【详解】由题意可得，则.
故选：D
2．（2024上·河南焦作·高三统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解出集合，再判断包含关系.
【详解】依题意，，，所以，
.
故选：A
3．（2024下·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）已知集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的定义可得集合.
【详解】因为集合，，则.
故选：A.
4．（2024上·河南南阳·高一统考期末）已知集合，，记.则下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先根据集合对元素的要求，求得集合,再根据交集并集的定义判断A,B两项，根据集合新定义和的元素要求，分别求出集合判断即得.
【详解】由可得可能的取值有，即，均满足，故.
对于A项，，故A项错误；
对于B项，，故B项错误；
对于C项，因，故，故C项正确；
对于D项，依题有，,则，故D项错误.
故选：C.
5．（2024上·四川·高三校联考期末）集合的一个真子集可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误；
是集合的真子集，故C正确.
故选：C.
6．（2024上·山东威海·高三统考期末）设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解出两个集合，然后根据交集的定义得出答案.
【详解】由题意得：或， ，
所以.
故选：D
7．（2024上·江西·高三校联考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式得集合A和集合B，然后根据补集运算和交集运算求解即可.
【详解】由，得或，所以或，
所以.
由得，所以，
所以.
故选：B
8．（2024上·湖南岳阳·高一校考期末）已知，，若集合，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，
所以，解得或
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，.
故选：B.
二、多选题
9．（2024上·江西·高一校联考期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）

A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果.
【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合，
即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且；
因此阴影部分可表示为，即A正确；
且，因此阴影部分可表示为，C正确；
易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误.
故选：AC.
10．（2024上·福建厦门·高二统考期末）已知集合，.若，则实数可以为（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】ABC
【分析】由已知，圆在圆的内部或圆上，即圆心距小于或等于半径差.
【详解】由题意，，即圆在圆的内部或圆上，
则，即.
故选：ABC

三、填空题
11．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先利用基本不等式求得集合，再由得到，即可求得.
【详解】由集合中，当时，，当且仅当，即时等号成立，
故．因为，所以，所以，故实数m的取值范围为．
故答案为：.
12．（2024上·安徽合肥·高一合肥一中校考期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人.
【答案】6
【分析】根据韦恩图计算得到答案.
【详解】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人，
可得，解得．
易知只参加趣味比赛一项的有6人，
故答案为：6
四、解答题
13．（2024上·江西上饶·高一统考期末）已知集合，，.
(1)求，；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.
（2）根据列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，集合，，
所以，或，
所以或.
（2）由于，若，
则.
14．（2024上·浙江宁波·高一余姚中学校联考期末）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)从①；②；③中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，写出集合，并解出集合，利用并集的定义可得出集合；
（2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：由，得，得，所以，
当时，，所以.
（2）解：若选①，因为，则，
当，即，得；
当时，则有，解得，
综上，实数的取值范围是；
若选②，因为，则，
当，即，得；
当时，则有，解得，
综上，实数的取值范围是；
若选③，因为，则，
当，即，得；
当时，则有，解得，
综上，实数的取值范围是.
B能力提升
1．（2024·四川南充·统考一模）已知全集，集合则能表示关系的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解出集合后，求得，逐项分析即可.
【详解】因为，
，
所以，
对于A，，错误；
对于C，，错误；
对于D，错误；B选项符合题意，
故选：B.
2．（2023·全国·统考模拟预测）定义：若集合满足，存在且，且存在且，则称集合为嵌套集合．已知集合且，，若集合为嵌套集合，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出函数的图象，结合函数图象即可求出集合，分类讨论求出集合，再根据嵌套集合的定义即可得解.
【详解】因为，所有，
由，得，
如图，作出函数的图象，
由图可知，不等式的解集为，
所以且，
由，得，
当，即时，则，不符题意；
当，即时，则，
由，得，
根据嵌套集合得定义可得，解得；
当，即时，则，
由，得，
根据嵌套集合得定义可得，无解，
综上所述，实数的取值范围为.
故选：A.
3．（2023·重庆·重庆市石柱中学校校联考一模）设非空集合满足，，则这样的的个数为 ．
【答案】
【分析】利用非空集合子集的个数计算公式可求满足条件的的个数.
【详解】由题设可得，
这5组中的每一组中的元素必定同时出现在集合中，
故这样的非空集合的个数为，
故答案为：
4．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）定义两个点集，之间的距离集为，其中表示两点，之间的距离.已知，，，，，则的一个可能值为 .
【答案】（答案不唯一，可填，中任何一个）.
【分析】根据集合表示双曲线上支，集合表示直线，将转化为直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为1即可求解.
【详解】，即，，故集合表示双曲线上支的点，
集合表示直线上的点，，
故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为1.
双曲线的渐近线为，不妨取，则，平行线的距离，
故，，.
故答案为：（答案不唯一，可填，中任何一个）.
5．（2023上·上海·高一校考期中）是有理数集，集合，在下列集合中：
①；②；
③；④．
与集合相等的集合序号是 .
【答案】④
【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可.
【详解】对于①，因为，设，
则，
不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等；
对于②，令，则，
显然，但，即②与集合不相等；
对于③，当时，此时，即，
而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等；
对于④，令，
则，其中，
所以④与集合相等；
故答案为：④
C综合素养
6．（2024上·北京顺义·高三统考期末）给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．
(1)分别判断集合与是否具有性质；
(2)若集合具有性质，求的值；
(3)若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．
【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质
(2)
(3)，，或
【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足；
（2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解；
（3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解.
【详解】（1）集合中的，，
所以集合不具有性质，
集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质；
（2）若集合具有性质，记，则，
令，则，从而必有，
不妨设，则，且，
令，，则，且，且，
以下分类讨论：
1）当时，若，此时，满足性质；
若，舍；若，无解；
2）当时，则，注意且，可知无解；
经检验符合题意，
综上；
（3）首先容易知道集合中有0，有正数也有负数，
不妨设，其中，，
根据题意，
且，从而或，
1）当时，，
并且，，
由上可得，并且，
综上可知；
2）当时，同理可得，
据此，当中有包含6个元素，且时，符合条件的集合有5个，
分别是，，或.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定满足性质的集合里面有0，再对其他元素进行讨论.
7．（2024上·北京丰台·高一统考期末）设，若非空集合A，B，C同时满足以下4个条件，则称A，B，C是“无和划分”：
①；
②，，；
③，且C中的最小元素大于B中的最小元素；
④，，，必有，，.
(1)若，，，判断A，B，C是否是“无和划分”，并说明理由.
(2)已知A，B，C是“无和划分”（）.
（i）证明：对于任意m，，都有；
（ii）若存在i，，使得，记.证明：Ω中的所有奇数都属于A.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）可取，，从而可求解.
（2）（i）利用假设法存在，，使得，根据题意证得假设不成立，从而求解；（ii）利用，，是“无和划分”，分别设出存在且，且最小值设为，然后分类讨论不同的情况，从而可求解.
【详解】（1）不是.
取，，则，说明A，B，C不是“无和划分”.
（2）（i）假设存在，，使得，记的最小值为，
则，；
设中最小的元素为，则，所以，
所以，（否则与，，矛盾），
（否则与，矛盾），所以，
因为，所以，不同属于C.
所以，这与矛盾.
所以假设不成立，原命题成立.
（ii）因为A，B，C是“无和划分”，且存在，，使得，记的最小值为，所以，；
由（1）知，，，，
因为，所以，，所以，
设中最小的元素为，若，则，所以，
所以，（否则与，，矛盾），
所以（否则与，矛盾），
所以，又因为和不同属于C，所以，
这与，矛盾，所以，即.
所以，所以.
所以，，所以（否则与，矛盾），所以.
若，则与和矛盾，所以，所以，
（否则与，矛盾），
（否则与，矛盾），所以.
以此类推，对于任意奇数，都有，.
所以为偶数（否则，，与和矛盾），
所以，均为奇数.
因为，所以（否则与，矛盾），所以，
所以，所以（否则与，矛盾），所以，
以此类推，对于任意大于，小于或等于n的奇数都属于集合.
综上所述，中的所有奇数都属于集合.
【点睛】方法点睛：根据题意对“无和划分”的定义，分别设出集合中最小值记为，然后分别讨论时对应的情况，从而可求解证明.