2025届新高考数学一轮复习精讲精练第08讲：拓展一：分离变量法解决导数问题（Word版附解析）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc28593" 类型一：恒成立（存在问题）求解参数范围 PAGEREF _Tc28593 \h 1
\l "_Tc5317" 角度1：完全分离参数法 PAGEREF _Tc5317 \h 1
\l "_Tc22033" 角度2：部分分离参数法 PAGEREF _Tc22033 \h 7
\l "_Tc26433" 类型二：已知零点个数求解参数范围 PAGEREF _Tc26433 \h 11
\l "_Tc16489" 角度1：完全分离参数法 PAGEREF _Tc16489 \h 11
\l "_Tc10997" 角度2：部分分离参数法 PAGEREF _Tc10997 \h 16
高频考点
类型一：恒成立（存在问题）求解参数范围
角度1：完全分离参数法
典型例题
例题1．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）已知函数，其中，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】
恒成立求参数的取值范围，分离参数转化为求函数的最值问题求解即可.
【详解】函数，因为在恒成立，
所以，在恒成立，
在恒成立，
令，所以，
，得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
例题2．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)函数的极小值为，无极大值；
(2)
【分析】（1）利用导数，先判断函数的单调区间，再求函数的极值；
（2）首先不等式化简为恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可求解.
【详解】（1），令，得，
，和的关系，如下表所示，
所以函数的极小值为，无极大值；
（2）不等式恒成立，即恒成立，
即，，恒成立，所以，，
设，，
，其中，
设，，所以在单调递增，
因为，，所以存在，使，即，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
由，可得，所以，
所以.
例题3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数b的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】
（1）先求出函数的导函数，进而得出，；再根据点斜式方程即可求解.
（2）先求出函数的导函数；再分和两种情况，在每一种情况中借助导数即可解答.
（3）先根据函数在处取得极值得出；再将问题“对，恒成立”转化为“对，恒成立”；最后构造函数，并利用导数求出即可解答.
【详解】（1）当时，，，
则，.
所以在处的切线方程为，即.
（2）由可得：函数定义域为，.
当时，，此时函数在定义域上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（3）因为函数在处取得极值，
所以，即，解得.
此时，
令，解得；令，解得，
所以函数在处取得极值，
故.
所以.
因为对，恒成立，
所以对，恒成立.
令，
则.
令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以.
则，解得：.
所以实数b的取值范围为
练透核心考点
1．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）若不等式恒成立，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】分类讨论去解析式中的绝对值，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最大值，从而即可得解.
【详解】若不等式恒成立，也就是恒成立，
函数，定义域为，
当时，，，
在为减函数，此时；
当时，，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
此时，
综上可知，则a的取值范围是.
故答案为：.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当且时， 不等式在 上恒成立，求的最大值.
【答案】3
【分析】
依题意参变分离可得在上恒成立，则，令，，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出参数的取值范围，即可得解．
【详解】
当时，，又不等式在上恒成立，
则在上恒成立，
所以，
令，，则，
令，，
则，在上单调递增，
，存在唯一，使，
所以，当时即，当时即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，即，
所以，
所以，又，
．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，在上恒成立，求整数k的最大值.
【答案】3
【分析】
分离参数，问题转化为 ()．设 ()，利用导数求出的最小值，得解.
【详解】由题意，在上恒成立，
即 ()．
设 ()，
则，
令 ()，则，
所以，在上为增函数．
因为，，，
所以在上有唯一实数根，
使得.
当时，，即；
当时，，即.
即在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，
且，
所以.由，得整数k的最大值为3.
角度2：部分分离参数法
典型例题
例题1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于的不等式解集中恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得的解集中恰有3个不同的正整数解，设 ，，作出两函数的图象，结合图象分，分别求解即可.
【详解】因为，所以.
设，，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又因为是过点的直线，如图所示：

由此可得当时，的解集中有若干个不同的正整数解，不满足题意；
当时，要使不等式的解集中恰有3个不同的正整数解，

当过点时，取最小值，
因为，此时，
当过点时，取最大值，
因为，此时，
所以的取值范围为.
故选：D.
例题2．（22-23高二下·浙江杭州·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将不等式转化为，构建，利用导数判断其单调性和最值，根据题意利用数形结合，列式求解即可.
【详解】因为，且，可得，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，可得，
且，
由题意可得，解得，
所以的取值范围是.
故选：C.

练透核心考点
1．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则的取值范围是
【答案】
【分析】
将不等式等价变形，构造函数，借助导数探讨函数性质，作出函数图象，结合已知列出不等式组，求解即得.
【详解】当时，由，得，
设，，求导得，由，得，
当时，，为减函数，当上，，为增函数，
的图象恒过点，在同一坐标系中作出函数，的图象，
显然，即，由于有且只有两个整数，使得，
则这两个整数要么是2，3，不是1，要么是1，2，不能是3，
当时，即，解得，此时，，
显然至少有3个整数使得对应的函数值大于0，不符合题意，因此这两个整数是1，2，不能是3，
于是，解得，
所以的取值范围是．
故答案为：
2．（22-23高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知不等式的解集中有且只有个整数,则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】因为,设,,本题转化为函数在直线上方的范围中有且只有个整数.先利用导数确定函数的图像,再与直线的图像结合列出不等式组求解即可.
【详解】,
设,
则,
当,即当时,函数为增函数;
当,即当时,函数为减函数;
当时,;当时,,
则满足题意的函数的图像与直线图像如图:
,
所以,即,
解得.
故答案为:.
类型二：已知零点个数求解参数范围
角度1：完全分离参数法
典型例题
例题1．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，得到，令，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得出函数值的变化，即可求出结果.
【详解】令，得到，令，则，
由得到，由，得到，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，当时，，当时，，且时，，
所以，当函数恰有2个零点时，，
故选：A.
例题2．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若，证明：当时，；
(3)若在有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；
（2）利用导数与函数的单调性间的关系，求出在区间的单调性，再求出的最小值，即可证明结果；
（3）通过分离常量，得到，构造函数，通过求导得到的单调性，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以，所以，
又，所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）当时，，则，
令，则，由，得到，
当时，，当，，
所以，即恒成立，
所以在区间上单调递增，故，命题得证.
（3）因为，令，得到，又，所以，
令，则，当时，，当时，，
所以，又当时，，时，，
又在有两个零点，所以.
例题3．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若有两个不等的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，得到进而求出切线方程；
（2），故只需当时，有且仅有一个实根，参变分离，转化为两函数只有1个交点，求导，得到的单调性，画出其图象，数形结合得到参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）显然，要使方程有两个不等的实根，
只需当时，有且仅有一个实根，
当时，由方程，得.
令，则直线与的图象有且仅有一个交点.
.
又当时，单调递减，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，取得极小值，
又当时，，所以，即，
当时，，即，
所以作出的大致图象如图所示.

由图象，知要使直线与的图象有且仅有一个交点，
只需或.
综上，若有两个不等的实根，则的取值范围为.
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【详解】(解法1)因为f′(x)＝aex－1.
① 当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点，舍去；
② 当a＞0时，令f′(x)＝0⇒x＝－ln a.
且当x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)＜0，此时，函数f(x)单调递减；
当x∈(－ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，此时，函数f(x)单调递增.
因为f(x)有两个不同的零点，所以f(x)min＝f(－ln a)＝1＋ln a＜0，解得0＜a＜.
综上所述，实数a的取值范围是(0，).
(解法2)由f(x)＝aex－x＝0，则a＝.
令g(x)＝，g′(x)＝，
所以g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)＝.
当x→－∞时，g(x)＜0；
当x→＋∞时，g(x)＞0，
根据函数的图象，若方程a＝有两个不同的解，则a∈(0，).
2．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数在处的切线方程为.
(1)求的解析式；
(2)若方程（m为常数）有两个根，求实数m的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得函数的导数，根据切线方程为，得到切点坐标，列出方程组，求得的值，即可求得函数的解析式；
（2）根据题意转化为与图象有两个交点问题，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
又因为已知函数在处的切线为，即切点为，
所以，解之得，，
所以函数的解析式为.
（2）因为，所以，
令，解得，
当，，在为增函数，
且时，，时，，
当，，在为减函数，
且时，，当时，，
若方程（m为常数）有两个根，则.
故实数m的范围为.
.
3．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)若方程有两个实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)减区间是，增区间是
(2)
【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；
（2）由（1）得出的极值及变化趋势，利用的图象与直线有两个交点可得参数范围．
【详解】（1）由已知，
时，，时，，
所以的减区间是，增区间是；
（2）由（1）知时，取得极小值也是最小值，
显然时，，，时，，
在上递减，在上递增，
当时，，
作出的大致图象及直线，如图，
当时，函数的图象与直线有两个交点，即方程有两个解．

角度2：部分分离参数法
典型例题
例题1．（2024高三上·河南·专题练习）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若函数有且只有一个零点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得，可得切线的斜率，从而得到切线方程；（2）将问题转为与只有一个交点，利用导数求出的单调区间和最值，利用二次函数图像性质求出的最值，从而得到的值
【详解】（1）由题意得函数的定义域为，
.
，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）由题意得函数的定义域为，令，得，
即，
令，，则.
由，得，
由，得，
由，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以当时，取得最大值.
又函数，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故当时，取得最小值.

因为函数有且只有一个零点，
所以，解得，所以的值为.
【点睛】关键点点睛：第(2)问的转化是一个关键，由于直接研究函数有且只有一个零点比较困难，所以本题把函数零点转化为与只有唯一交点，通过导数研究和发现，当时，取得最大值，当时，取得最小值，数形结合从而求得值.
练透核心考点
1．（23-24高三上·北京·开学考试）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，判断在零点的个数，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)仅有一个零点，理由见解析；
【分析】（1）利用导函数的几何意义，求出在处的导数值，再由直线的点斜式方程即可求得切线方程；
（2）根据导函数与原函数的关系可知，在上恒成立，构造函数并求出其最小值即可求得实数的取值范围；
（3）利用函数与方程的思想，求出方程的根的个数即可，在同一坐标系下画出函数和的图象，利用切线方程位置可求出结果.
【详解】（1）由可得，
此时切线斜率为，而；
所以切线方程为，即；
即曲线在点处的切线方程为；
（2）根据题意，若在上单调递增，
即可得在上恒成立，即恒成立；
令，则；
显然在上满足，而恒成立，所以在上恒成立；
即在单调递增，所以；
所以即可；
因此实数的取值范围为.
（3）令，即可得；
构造函数，，易知在上恒成立，
即在上单调递增，如下图中实曲线所示：
又函数恒过，且，
易知，所以函数在处的切线方程为；
又，所以（图中虚线）在范围内恒在（图中实直线）的上方；
所以由图易知与在范围内仅有一个交点，
即函数在内仅有一个零点.
0
单调递减
极小值
单调递增