2025届新高考数学一轮复习精讲精练第09讲第一章集合与常用逻辑用语、不等式、复数（章节验收卷）（19题新题型）（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024下·河北保定·高一河北安国中学校联考开学考试）已知集合,，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，，故.
故选：C.
2．（2024下·四川·高三四川省西充中学校联考期末）设i为虚数单位，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用共轭复数的意义、复数乘法计算即得.
【详解】复数，则.
故选：A
3．（2024上·安徽·高一校联考期末）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据不含参的一元二次不等式的解法计算即可求解.
【详解】原不等式可化为，解集为.
故选：C.
4．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的 解集可得到，，，把结果代入到所求不等式中即可求解.
【详解】根据题意可知，，，则，，
所求的不等式可化为：，即，解得：或.
故选：C
5．（2024下·广东·高三校联考开学考试）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解不等式求出集合A，根据列出不等式，求解即得答案.
【详解】解不等式 ，得或，
即或，而，
若，则，
即的取值范围是，
故选：A
6．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】变形得到，根据函数单调性得到，故，由于是的真子集，故A正确，其他选项不合要求.
【详解】，，
即，，
∴，其中在上单调递减，
在上单调递增，
其中时，，当时，，
故，即，
由于是的真子集，故“”的必要不充分条件为“”，
其他选项均不合要求.
故选：A
7．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为.
故选：B．
8．（2024上·山东威海·高二统考期末）已知集合，则的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复数的四则运算求出复数z，得出复数的周期性，即可判断集合中的元素个数.
【详解】当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
，可知以上四种情况循环，故集合，的元素个数为3.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024上·江西·高一校联考期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）

A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果.
【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合，
即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且；
因此阴影部分可表示为，即A正确；
且，因此阴影部分可表示为，C正确；
易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误.
故选：AC.
10．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）若复数满足，则下列命题正确的有（ ）
A．的虚部是－1B．
C．D．是方程的一个根
【答案】ABD
【分析】根据复数的除法运算和复数模即可判断AB，利用复数的乘方相关运算即可判断CD.
【详解】，则，故A，B正确；
，故C错误；
而成立，故D正确.
故选：ABD.
11．（2024上·山东聊城·高三统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小值为4
B．若，则的最小值为4
C．若，，，则的最大值为1
D．若，，且满足，则的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据基本不等式和“1”的妙用依次判定即可.
【详解】对于A：当时，，故A错误；
对于B：，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C：，
即，解得，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D: ，
当且仅当时等号成立，此时，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024上·山东临沂·高一统考期末）集合，，且，则实数 ．
【答案】
【分析】根据集合关系，分别讨论，，从而可求解.
【详解】由题意得，
当时，，，则，符合题意；
当时，解得或，
若，则，，不符合题意；
若，则，不符合题意；
综上所述：.
故答案为：.
13．（2024上·湖北荆州·高一校联考期末）若命题为真命题，则m的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用二次函数性质求解可得.
【详解】由题意，不等式有解，即不等式有解，
设，则函数图象开口向上，
要使不等式有解，则函数图象与轴有交点，
则，化简得，解得或．
故答案为：
14．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知复数，满足，，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】设，根据题意求得，根据复数的几何意义求得对应点的轨迹，再根据几何意义求目标式的最大值.
【详解】令复数，，，则，
所以，所以，，即.
又因为，即在复平面内，复数所对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.
又点到点的距离为，
所以的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2023下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）设复数．
(1)若是实数，求；
(2)若是纯虚数，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得.
（2）利用复数除法及复数的分类求出即得.
【详解】（1）由，得，而是实数，
于是，解得，
所以．
（2）依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以．
16．（2015下·福建·高一校联考阶段练习）已知不等式的解集为或
(1)求的值
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题知,是方程的两个解，根据韦达定理列出方程，解出即可；
（2）化简不等式，分类讨论，即可得到不等式的解集.
【详解】（1）因为不等式的解集解集为或,
所以，是方程的两个解，
所以，解得.
（2）由（1）知原不等式为，
即，
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
17．（2024上·浙江湖州·高一统考期末）已知集合，．
(1)求和；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据不等式的解法和指数函数的性质，求得集合，结合集合的运算，即可求解；
（2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：由不等式，解得，所以，
又由，解得，可得，
所以，，则.
（2）解：由集合，且，可得，
则满足，解得，所以实数的取值范围．
18．（2024上·河北石家庄·高一石家庄一中校考期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无关）：万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少?
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元?
【答案】(1)每月产量万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为万元
(2)该企业每月生产不小于万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元
【分析】（1）根据题意，可知平均每套所需的成本费用为，再利用基本不等式即可求出结果；
（2）由题意可知月利润，解一元二次不等式即可求出结果.
【详解】（1）设平均每套的成本为元，
由题有，
当且仅当，即时，取等号，
所以企业每月产量万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为万元.
（2）设月利润为万元，
则有，
由题知，整理得到，解得，
所以，该企业每月生产不小于万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元.
19．（2022上·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知集合（，）具有性质：对任意的、（），与两数中至少有一个属于．
(1)分别判断集合与是否具有性质，并说明理由；
(2)证明：若集合具有性质，则且．
【答案】(1)具有性质，不具有性质P,理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据性质的定义带入数值判断即可；（2）采用构造对应的方法构造一个新的相等的集合，对其元素进行排序后对应相等可解.
【详解】（1）对于集合，取，，
则，，故不具有性质．
对于集合，
若，则；
若，则；
若，则；
若，，则，
综上知具有性质．
（2）首先取，
由于，故，有，
于是，因此．
当时，，命题成立．
当时，取，，
则，故，有．
由于，且它们均为集合的元素，
故有，，…，，
结合，，
将上述个等式相加得，
因此．
【点睛】对于阅读型题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差.题目了解之后再考虑如何从第一第二小问的方法中提炼第三小问的解决方法.本题采用了构造一个新的集合与原集合相等，得到答案.