高中人教A版 (2019)9.2 用样本估计总体教案

这是一份高中人教A版 (2019)9.2 用样本估计总体教案，共10页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
总体离散程度的估计
一、教学目标
1.熟悉极差、方差、标准差的计算公式，并理解极差、方差、标准差等离散程度参数的统计意义．
2.会求解极差、方差、标准差，并会用平均数、中位数、众数和极差、方差、标准差对数据进行比较、分析和评价．
3.掌握用样本的离散程度参数估计总体的离散程度的方法，体会样本估计总体的思想，发展数据分析素养.

二、教学重难点
重点：极差、方差、标准差等离散程度参数的统计意义的理解和计算，应用平均数、中位数、众数和极差、方差、标准差对数据进行分析．
难点：已知每组数据个数、平均数和方差，获得各组数据合并后全部数据的方法的计算方法，及计算中的递推思想．

三、教学过程
（一）创设情境
假设你是一名质量控制分析师，工作于一个生产陶瓷餐具的公司。公司最近推出了一款新的餐盘系列，并希望确保它们在生产过程中的尺寸保持一致性，因为每个餐盘直径越接近，则餐盘的整体美观和功能性更好，你被要求分析餐盘直径的数据集，并确定生产过程是否一致.那么，如何刻画餐盘直径的离散程度呢？
设计意图：通过案例，给出生活中应用方差解决实际问题的例子，培养学生的学习兴趣，让学生从生活中去感知数学.
（二）探究新知
任务1：回忆和巩固方差的概念和统计意义.
例：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
想一想：如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
师生活动：学生提出评价标准，教师利用电子表格软件进行计算.
预设答案：学生可能先提出比较甲和乙10次射击的平均数、中位数和众数（通过计算会发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数和众数均为7）.
在发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数和众数均为7后，知道从集中位置的角度看，两名运动员之间没有差别.
结合初中知识，可能想到用方差进行比较.
方差的定义：假设一组数据是x1，x2，···，xn，用x表示这组数据的平均数，我们称
1ni=1n(xi−x)2
为这组数据的方差.
因为
1ni=1n(xi−x)2=1ni=1n(xi2−2∙x∙xi+x2)
=1ni=1nxi2−2∙x∙(1ni=1nxi)+x2
=1ni=1nxi2−2∙x∙x+x2
=1ni=1nxi2−x2
所以有时为了计算方差方便，也用上述表达式计算方差.
方差刻画了数据的离散程度或波动程度，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.
如果有学生回答用最大值或最小值，那么可以引导学生考虑成绩的稳定性.
思考：两名运动员射靶环数的方差分别是多少？为什么可以运用方差分析两个运动员的射击成绩？
预设答案：根据方差公式s2=1ni=1n(xi−x)2计算得s甲2=4，s乙2≈1.2，由s甲2>s乙2可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，说明乙比甲的射击成绩稳定.两个运动员的平均成绩一样，比较他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置，如果两人都排在前面，越稳定越好，可以选择成绩稳定的乙；如果两人的成绩抽排在后面，希望比赛时有突出表现，可以选择成绩方差大的甲.
设计意图：通过案例，帮助学生回忆方差的概念和统计意义，并掌握应用方差刻画一组数据的离散程度.
任务2：探究其他刻画一组数据的离散程度的统计量.
思考：除了方差，你还能想到其他刻画一组数据的离散程度的统计量？
师生活动：学生思考、讨论并分享，教师引导学生解释这些量的合理性.
预设答案：（1）极差.极差是数据的最大值与最小值的差，即xmax−xmin，可以反映数据的波动范围.在一定程度上，极差越大，数据的离散程度越大；极差越小，数据的离散程度越小.
评价：极差是一种简单的度量数据离散程度的方法.但因为极差只用到了数据中的最大值和最小值，对其他数据没有涉及，所以极差包含的信息量很少.
平均偏差.平均偏差是每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数，假设一组数据是x1，x2，···，xn，用x表示这组数据的平均数.即
|x1−x|+|x2−x|+∙∙∙+|xn−x|n
为这组数据的平均偏差.
评价：平均偏差与方差产生的思想一样，都是运用平均距离刻画数据的离散程度.但平均偏差计算公式中含绝对值，计算不方便.
设计意图：让学生主动探索多个统计量刻画数据的离散程度，并认识到每个统计量的优缺点.
任务3：探究标准差的概念和统计意义.
思考：任务1中计算的两名运动员的方差，其单位是什么？是否与原始数据的单位一致呢？如果不一致，又可以用什么来刻画一组数据的离散程度呢？
预设答案：方差的单位是原始数据单位的平方.，与原始数据的单位不一致.如果对方差求算术平方根，则单位和原始数据的单位一致.
因此用方差的算术平方根，即
1ni=1n(xi−x)2
我们称之为这组数据的标准差，来刻画一组数据的离散程度.
标准差刻画了数据的离散程度或波动程度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.
显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，···，YN，总体平均数为Y，则称
S2=1Ni=1N(Yi−Y)2
为总体方差，
S=S2
为总体标准差.
与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式.如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，···，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，···，k），则总体方差为
S2=1Ni=1kfi(Yi−Y)2
追问：方差和标准差的取值范围是什么？如果方差和标准差为0，这组数据有什么特征？
预设答案：方差和标准差的取值范围为[0,+∞).标准差和方差为0时，样本各数据全相等，都等于样本的平均数，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性.
设计意图：巩固对方差和标准差的理解.
任务4：探究分层随机抽样样本方差的计算，并估计总体的方差.
在实际问题中，如果能获得总体中所有个体的观测值，可以用方差的公式直接计算总体的方差.比如，要了解某中学教师年工资差别，可以直接从学校财务出获得所有教师的年工资收入数据，计算其方差即可判断.如果要了解某市中学生教师年工资的差别，获取所有教师的年工资数据就比较困难，可以用简单随机抽样或分层随机抽样方法抽取样本，取到样本中所有个体的年工资数据，然后计算其方差，该方差是样本的方差，利用样本估计总体的思想，可以用样本方差估计总体方差.
思考：在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，样本的平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，样本的平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出样本的方差吗？并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
师生活动：教师引导学生明确题目的条件和结论，引导学生独立计算多组数据汇总后的方差.
分析：把男生样本记为x1，x2，⋯，x23，其平均数记为x，方差记为sx2；把女生样本记为y1，y2，⋯，y27，其平均数记为y，方差记为sy2；把总样本数据的平均数记为z，方差记为s2．
根据方差的定义，总样本方差为
s2=150[i=123(xi−z)2+i=127(yj−z)2]
=150[i=123(xi−x+x−z)2+j=127(yj−y+y−z)2].
由i=123(xi−x)=i=123xi−23x=0，可得i=1232(xi−x)(x−z)=2(x−z)i=123(xi−x)=0．
同理可得j=1272(yi−y)(y−z)=0．
因此，s2=150[i=123(xi−x)2+i=123(x−z)2+j=127(yj−y)2+j=127(y−z)2]
=15023[sx2+(x−z)2]+27[sy2+(y−z)2]①.
由x=170.6，y=160.6，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平
均数的关系，可得总样本平均数为
z=2323+27x+2723+27y=23×170.6+27×160.650=165.2．
把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入 ①，可得
s2=15023×[12.59+(170.6−165.2)2]+27×[38.62+(160.6−165.2)2]=51.4862．
我们可以计算出总样本的方差为51.4862，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862．
追问：比较总体样本方差与男生组及女生组的方差，你能发现什么？你能解释在估计全体学生平均身高时，按性别分层随机抽样的理由吗？
师生活动：学生可以看到总样本方差既大于男生组的方差，也大于女生组的方差，教师解释相同样本量的条件下，总样本方差越小，样本均值估计总体均值效果越好.男、女生的均值相差越大，即两组差别越大，总样本方差比男、女生的方差均大得越多，分层随机抽样的效果越好.
设计意图：引导学生对统计结果进行解释，进而更好地理解分层随机抽样的适用范围.
思考：一般地，如果知道两组数据各自的数据个数、平均数和方差，如何计算全部数据的平均数和方差呢？
师生活动：教师引导学生由具体例子进行一般化归纳.
分析：一般地，如果已知第一组数据的个数是m，平均数和方差分别是x和sx2，第二组数据的个数是n，平均数和方差分别是y和sy2，那么，总样本平均数
z=mm+nx+nm+ny
总样本方差为
s2=mm+n[sx2+(x−z)2]+nm+n[sy2+(y−z)2]
如果两组数据的平均数相等，那么总样本均值与两组数据的均值相同，总样本方差计算公式中的(x−z)2和(y−z)2都等于0，总样本方差是两组方差的加权平均，即s2=mm+nsx2+nm+nsy2，不会同时大于每组的方差.
设计意图：将总样本均值和总样本方差的计算公式在问题的推广到一般，让学生体会由具体到一般的思想.
拓展：平均数反映数据的集中趋势，标准差刻画了数据离平均数的波动大小，那么将平均数和标准差综合在一起呢?
如：课本9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，可以计算出样本平均数x=8.79，样本标准差s≈6.20.则
x−s=2.59，x+s=14.99，
x−2s=−3.61，x+2s=21.19.
如图可以发现，这100个数据中大部分落在区间[x−s，x+s]=[2.59，14.99]内，在区间[x−2s，x+2s]=[−3.61，21.19]外的只有7个，也就是说，绝大部分的数据落在[x−2s，x+2s]内.
通过平均数和标准差两个统计量，就可以得到大部分数据的取值范围.方差越大，则这个区间越大；方差越小，则这个区间也越小.
设计意图：让学生认识到利用平均数和标准差也可以部分反映数据的取值规律.
（三）应用举例
例1 小明和小红5次考试数学成绩统计如表：
则成绩较为稳定的那个同学成绩的方差为( )
A. 110B. 108C. 22D. 4
提示：根据已知条件，结合平均数x=1n(x1+x2+⋯+xn)与方差s2=1ni=1n(xi−x)2的公式，即可求解.
解：观察两组数据可知，小明的成绩较稳定，
小明成绩的平均数x−=15×(107+111+110+109+113)=110，
小明成绩的方差s2=15[(107−110)2+(111−110)2+(110−110)2+(109−110)2+(113−110)2]=4．
故选：D．
例2 现有A，B两组数据，其中A组有4个数据，平均数为2，方差为6，B组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 ．
提示：根据题意，由分层随机抽样的样本平均数的计算公式z=mm+nx+nm+ny
和方差的计算公式s2=mm+n[sx2+(x−z)2]+nm+n[sy2+(y−z)2]计算可得答案.
解： A组有4个数据，平均数为2，方差为6，B组有6个数据，平均数为7，方差为1，
则两组数据混合后，新数据的平均数x=4×2+6×74+6=5，
新数据的方差s2=410[6+(2−5)2]+610[1+(7−5)2]=9，
故答案为：9．
例3有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c(i=1,2,⋅⋅⋅,n),c为非零常数，则( )
A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样本数据的样本极差相同
解：对于A，∵x=1ni=1nxi，
y=1ni=1n(xi+c)=1ni=1nxi+c=x+c， ∴A错；
对于B，设第一组中位数为xk，
则第二组中位数为yk=xk+c， ∴B错；
对于C，∵第一组标准差s= 1ni=1n(xi−x)2，
第二组标准差s′= 1ni=1n(yi−y)2= 1nn=1n(xi−x)2，
∴C正确;
对于D，设第一组中最大值为xi， 最小值为xj， ∴极差xi−xj，
则第二组中最大值为xi+c， 最小值为xj+c， ∴极差xi−xj， D正确．
故选CD．
【反思感悟】
设一组样本数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，标准差为s2=s.
由这组数据得到新样本数据x1+c，x2+c，…，xn+c，其中c为非零常数，则该组数据的方差也为s2，标准差也为s2=s，极差为xmax−xmin.
由这组数据得到新样本数据mx1，mx2，…，mxn，，其中m为非零常数，则该组数据的方差为m2s2，标准差为m2s2=|ms|=|m|s，极差为mxmax−mxmin=m(xmax−xmin).
由这组数据得到新样本数据mx1+c，mx2+c，…，mxn+c，，其中m、c均为非零常数，则该组数据的方差为m2s2，标准差为m2s2=|ms|=|m|s，极差为(mxmax+c)−(mxmin+c)=m(xmax−xmin).
例4 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i=14pi=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
A. ，==0.1，==0.4B. ==0.4，==0.1
C. ，==0.2，==0.3D. ==0.3，==0.2
提示：根据方差的加权公式s2=1ni=1nfi(yi−y)2先求出方差，再得方差的算术平方根，即可求解.
解：A中，平均数为1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5，
标准差为 (1−2.5)2×0.1+(2−2.5)2×0.4+3−2.52×0.4+(4−2.5)2×0.1= 0.65，
同理可得B中，平均数为2.5，标准差为 1.85，
C中，平均数为2.5，标准差为 1.05，
D中，平均数为2.5，标准差为 1.45，
故选B．
设计意图：通过例题，熟悉极差、方差和标准差的公式，并增强对极差、方差和标准差及其统计意义的理解，掌握分层随机抽样样本方差的计算．
（四）课堂练习
1.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A. x1，x2，…，xn的平均数B. x1，x2，…，xn的标准差
C. x1，x2，…，xn的最大值D. x1，x2，…，xn的中位数
解：评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差
故选B．
2.已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ．
解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：
x=15×(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)=5.1，
∴该组数据的方差：
S2=15×[(4.7−5.1)2+(4.8−5.1)2+(5.1−5.1)2+(5.4−5.1)2+(5.5−5.1)2]=0.1．
故答案为：0.1．
已知一组样本数据x1，x2，…，x10，且x12+x22+…+x102=2020，平均数x=9，则该组数据的标准差为 ．
解：一组样本数据x1，x2，…，x10，且x12+x22+…+x102=2020，平均数x−=9，
则该组数据的方差为110[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(x10−x−)2]
=110[x12+x22+…+x102−2x−×(x1+x2+…+x10)+10x2]
=110(2020−2×9×90+10×81)=121，
∴则其标准差为s=121=11．
故答案为：11．
4. 若样本数据 x1, x2,⋯, x10的标准差为8，则数据2x1−1，2x2−1，−1，的标准差为( )
A. 8B. 15C. 16D. 32
解：设样本数据 x1, x2,⋯, x10的标准差为 D(X) ，则 D(X) =8，即方差D(X)=64，而数据2x1−1，2x2−1，⋯，2x10−1的方差D(2X−1)= 22D(X)= 22 ×64，所以其标准差为 22 ×64 =16,
故选C．
5.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为( )
A. 3.5B. 4C. 4.5D. 5
解：根据题意，甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3，
则两组数据混合后，新数据的平均数x=6×3+6×512=4，
则新数据的方差s2=612[5+(3−4)2]+612[3+(5−4)2]=5，
故选：D．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固极差、方差和标准差的公式及其统计意义，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
平均数
中位数
众数
甲
7
8
7
9
5
4
9
10
7
4
7
7
7
乙
9
5
7
8
7
6
8
6
7
7
7
7
7
姓名
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
小明
107
111
110
109
113
小红
99
110
111
108
112