陕西省商洛市2025届高三上学期第一次模拟检测数学试卷(含答案)

这是一份陕西省商洛市2025届高三上学期第一次模拟检测数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若复数，则( )
A.B.C.D.
2．已知集合，，若，则( )
A.1B.2C.3D.4
3．已知向量，，若，则( )
A.B.C.2D.
4．已知a，b是实数，则“且”是“”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
5．在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，则四棱锥外接球的体积是( )
A.B.C.D.
6．已知函数，且是奇函数，则( )
A.B.C.D.2
7．已知直线与抛物线交A，B两点，O为坐标原点，若，则( )
A.B.C.D.
8．已知函数，若不等式成立，则a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．如图，这是某款新能源汽车在速度、稳定性、安全性、易用性、续航能力这五个方面的综合评分的雷达图，则下列结论正确的是( )
A.这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于稳定性方面的综合评分
B.这款新能源汽车在稳定性和续航能力这两方面的综合评分相等
C.这款新能源汽车在安全性方面的综合评分最低
D.这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于易用性方面的综合评分
10．设的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列结论正确的是( )
A.B.的外接圆的面积是
C.的面积的最大值是D.的取值范围是
11．“曼哈顿距离”用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上的任意两点，的曼哈顿距离.下列命题是真命题的是( )
A.若点，，则的值可能是3
B.若点，，则在y轴上存在点H，使得
C.若点，，，则在线段上存在点Q，使得
D.若点D在圆上，点R在直线上，则的值可能为3
三、填空题
12．若椭圆的离心率是，则___________.
13．如图，这是一个圆台形水泥墩，已知该水泥墩的上底面圆的半径为1分米，下底面圆的半径是2分米，高为3分米，则该水泥墩的表面积是___________平方分米.
14．已知函数，若对任意的，成立，则正数a的取值范围是___________.
四、解答题
15．甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是.假设每局比赛结果互不影响.
（1）求比赛进行四局且甲获胜的概率：
（2）比赛结束时、甲、乙共进行了X局比赛，求X的分布列和期望.
16．如图，在长方体中，，E，F，G分别是棱，，的中点.
（1）证明：平面.
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
17．已知双曲线（，）的左、右顶点分别是A，B，点在双曲线C上，且直线，的斜率之积为3.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）斜率不为0的直线l与双曲线C交于D，E两点，O为坐标原点，若，求点O到直线l的距离的最大值.
18．已知函数，满足，.
（1）若为R上的增函数，求a的取值范围.
（2）证明：与的图象关于一条直线对称.
（3）若，且关于x的方程在内有解，求m的取值范围.
19．已知，，定义：数列共有m项，对任意i，j（，），存在（，），使得，或存在（，），使得，则称数列为“封闭数列”.
（1）若（，），判断数列是否为“封闭数列”；
（2）已知递增数列，2，，8，为“封闭数列”，求，，；
（3）已知数列单调递增，且为“封闭数列”，若，证明：是等比数列.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，所以.
故选：D.
2．答案：B
解析：由题意可得，解得.
故选：B.
3．答案：A
解析：因为，，所以.
因为，所以，解得.
故选：A.
4．答案：B
解析：由且，得，反之，不成立，如取，满足，而且不成立，
所以“且”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
5．答案：C
解析：将四棱锥放入正方体中，则四棱锥的外接球与正方体的外接球相同，
设四棱锥外接球的半径为R，则，所以，
故四棱锥外接球的体积.
故选：C.
6．答案：A
解析：因为函数为奇函数，即，
且函数的定义域为R，所以，，
可得，解得，
所以，，
则为奇函数，合乎题意.
因此，.
故选：A.
7．答案：C
解析：如图所示，
设，，联立整理得，
则，解得且，
，，
所以，
因为，所以，即，解得.
故选：C.
8．答案：B
解析：设，则，故是奇函数.
不等式等价于不等式，
即不等式.
因为是奇函数，所以.
易证是R上的减函数，则，即，解得.
故选：B.
9．答案：ABC
解析：由雷达图可知，这款新能源汽车在速度方面的综合评分在内，
在稳定性和续航能力这两方面的综合评分都是8分，
在安全性方面的综合评分在内，
在易用性方面的综合评分是10分，故A，B，C正确，D错误.
故选：ABC.
10．答案：BCD
解析：对于A项，因为，
所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，所以，故A项错误.
对于B项，设的外接圆的半径为R，由正弦定理可得，
则的外接圆的面积是，故B项正确.
对于C项，由余弦定理可得，即①.
因为②，当且仅当时，等号成立，
所以由①②得，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，则C项正确.
对于D项，由正弦定理可得，则，，
所以.
又因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是，故D项正确.
故选：BCD.
11．答案：BD
解析：对于A，，不可能为3，A错误；
对于B，设，则，
（当且仅当时取等号），
，在y轴上存在点H，使得，B正确；
对于C，当点Q与点M，N不重合时，作，垂足为K，则，
，
直线斜率，，即，，
；
当点Q与点M或点N重合时，；
恒成立，C错误；
对于D，若点，点，则满足点D在圆上，点R在直线上，
此时，D正确.
故选：BD.
12．答案：
解析：由题意可得，解得，，.
故答案为：.
13．答案：
解析：由题可知该圆台形水泥墩的母线长分米，
则该水泥墩的表面积为平方分米.
故答案为：.
14．答案：
解析：由，即，得.
因为，所以.
设，则.
因为，所以，所以在上单调递增.
因为，所以，所以，所以，所以.
设，则.
由，得，则在上单调递减；
由，得，则在上单调递增.
故，即.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）分布列见解析；期望为
解析：（1）由题意可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜，
则所求概率.
（2）由题意可知X的所有可能取值分别是3，4，5.
，
，
，
则X的分布列为
故.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取棱的中点H，连接，，
因为G，H分别是棱，的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，，且，，
所以，，所以四边形是平行四边形，所以，
因为E，H是棱，的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为，，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）由题意可知，，两两垂直，则以A为坐标原点，
以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
故，，，
设平面的法向量为
则，令，得，
设平面的法向量为
则，令，得，
设平面与平面的夹角为，
则，
故，
即平面与平面夹角的正弦值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得，，
则直线的斜率，直线的斜率.
因为直线，的斜率之积为3，所以，解得.
因为点在双曲线C上，所以，解得.
故双曲线C的标准方程为.
（2）设直线，，.
联立整理得，
则，
所以，.
因为，所以，
所以，
即，
化简得，故.
由点到直线的距离公式可得，点O到直线l的距离.
因为，所以，所以，
即点O到直线l的距离的最大值是.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）由，可得，
因为为R上的增函数，所以对恒成立，
所以对恒成立，所以对恒成立，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以，所以a的取值范围为.
（2）因为，，
所以，
即，所以，
函数关于y对称的函数为，
再把向右方平移2个单位得到，
所以函数与关于对称；
（3）由（2）可得，
又因为在内有解，
所以在内有解，
所以在内有解，
由（1）可知时，为R上的增函数，
所以，所以在内有解，
令，求导可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，又，，
所以，
所以m的取值范围为.
19．答案：（1）不是“封闭数列”，理由见解析
（2），，
（3）证明见解析
解析：（1）由题意知，数列为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.
因为，，14和均不是中的项，
所以数列不是“封闭数列”.
（2）由题意数列递增可知，则不是中的项，
所以是中的项，即.
因为（，），所以，，都是中的项，
所以，得，
由，得，所以，，.
（3）因为数列单调递增，所以，则不是中的项，
所以是中的项，即.
因为（，）不是中的项，所以是中的项，
所以.
因为，，，，…，，共有m项，
所以（，）①，
类似地，，，，则不是中的项，
所以是中的项，
，
所以（，）②，
由①和②得，
所以是首项为1的等比数列.
X
3
4
5
P