第1章 直角三角形的边角关系 北师大版数学九年级下册单元测试卷(含答案)

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第一章　直角三角形的边角关系一　选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)　　　　　　 　　　　　　　　　　1.如图,在△ABC中,∠C=90°,则BCAB= (　　)A.sin A B.sin B C.tan A D.tan B2.(2021·浙江杭州一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC∶BC=1∶2,则cos A的值为 (　　)A.255 B.2 C.55 D.523.(2020·贵州黔西南州中考)如图,某停车场入口的栏杆AB,从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置,已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA'=α,则栏杆A端升高的高度为 (　　)A.4sinα 米 B.4sin α米 C.4cosα 米 D.4cos α米(第3题图)　 　　(第4题图)4.(2021·浙江温州瑞安一模)如图,在平面直角坐标系中,第一象限内的点P在射线OA上,OP=13,cos α=513,则点P的坐标为 (　　)A.(5,13) B.(13,5) C.(12,5) D.(5,12)5.(2020·安徽黄山期中)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且∠B和∠C均为锐角,若c·cos B=b·cos C ,则△ABC是(　　)A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形6.(2020·河北遵化一模)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=16 cm,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD.若cos ∠BDC=35,则BD的长是 (　　)A.10 cm B.6 cm C.8 cm D.4 cm(第6题图)　　 (第7题图)7.(2021·江苏无锡滨湖区一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,点D从点A出发沿AC以1 cm/s的速度向点C运动,过点D作DE∥AB交BC于点E,过点E作EF⊥BC交AB于点F.当四边形ADEF为菱形时,点D运动的时间为 (　　)A.32 s B.52 s C.127 s D.158 s8.(2020·四川绵阳游仙区模拟)如图,在300 m高的山顶上测得一塔的塔顶D与塔基C的俯角分别为30°和60°,则塔高CD为 (　　)A.2003 m B.200 m C.1003 m D.100 m(第8题图)　　 　 (第9题图)9.定义:在等腰三角形中,底边与腰的比值叫做顶角的正对,顶角A的正对记作sad A,即sad A=底边腰.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=4∠B,则cos B·sad A= (　　)A.1 B.32 C.32 D.3410.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图(1)所示,点A是栏杆转动的支点,点E是两段栏杆的连接点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升起到如图(2)所示的位置,其示意图如图(3)所示(栏杆宽度忽略不计),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2 m,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据: sin 37°≈0.60, cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) (　　)　　　 图(1)　　　 　图(2)　　 　 　图(3)　A　　　 　 B　　　 　 C　　　　 D二　填空题(共6小题,每小题3分,共18分)11.(2021·上海模拟)一商场内有一座自动扶梯,小明站在自动扶梯上,当他沿着自动扶梯前进了13米时,他在铅垂方向上升高了5米,则自动扶梯的坡度i是　　　　. 12.(2021·四川乐山模拟)如图,已知△ABC的三个顶点都在方格图的格点上,则cos C的值为　　　　. 13.(2021·浙江绍兴中考改编)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,cos B=14,点D是边BC的中点,以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE,使AB∥DE,连接CE,则ECAD的值为　　　　. (第13题图)　　 　(第14题图)14.(2020·辽宁葫芦岛一模)如图,甲,乙两艘船同时从港口A出发,甲船沿北偏东45°的方向前进,乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进,两船航行2小时分别到达B,C处,此时测得甲船在乙船的正西方向,则甲船每小时行驶　　　　海里.(结果精确到个位,参考数据:tan 15°≈0.27,sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,3≈1.73) 15.图(1)是一个地铁站入口的双翼闸机.如图(2),它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm,双翼的边缘AC=BD=54 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=27°.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度约为 　　　　　cm.(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51) 　　　　图(1)　　　　　　 　　图(2)16.[新风向·新定义试题]如果三角形一边上的中线长恰好等于这条边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”.若Rt△ABC是“好玩三角形”,∠C=90°,则tan A=　　　　. 三　解答题(共6小题,共52分)17.(共2小题,每小题4分,共8分)计算:(1)(2021·北京石景山区期末)sin 60°·tan 30°+cos60°tan45°.(2)(2021·安徽合肥期末)(tan60°-1)2+|1-cos 30°|-2tan 45°·sin 30°.18.(8分)如图,射线OA放置在3×5的正方形网格中,现请你在图中找出格点(即每个小正方形的顶点)B,并连接OB,AB,使△AOB为直角三角形,且(1)使tan∠AOB的值为1;(2)使tan∠AOB的值为12.　　　　图(1)　　　　　　　　图(2)19.(8分)(2021·湖南永州中考)已知锐角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,边角总满足关系式:asinA=bsinB=csinC.(1)如图(1),若a=6,∠B=45°,∠C=75°,求b的值;(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD[如图(2)所示],若CD⊥AB,AC=14米,AB=10米,sin∠ACB=5314,求景观桥CD的长.图(1)　　　　　　　　　图(2)20.(9分)小明在课外活动中观察吊车的工作过程,绘制了如图所示的平面图形,已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO'=1.5米,吊臂OA的长度为6米,当吊臂顶端由A点抬升至A'点(吊臂长度不变)时,地面B处的重物(大小忽略不计)被吊至B'处,并且从O点观测到点A的仰角为45°,从O点观测到点A'的仰角为60°.(1)求此重物在水平方向移动的距离BC;(2)求此重物在竖直方向移动的距离B'C. 21.(9分)(2020·河南郑州模拟)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案,并完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,该小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如表(尚不完整).任务一:两次测量A,B之间的距离的平均值是　　　　m. 任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度.(参考数据:sin 26.5°≈0.45,cos 26.5°≈0.89,tan 26.5°≈0.50,sin 33°≈0.54,cos 33°≈0.84,tan 33°≈0.65)22.(10分)(2021·湖北荆门中考)某海域有一小岛P,在以P为圆心,半径R为10(3+3)海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行,它在A处测得小岛P位于其北偏东60°的方向上,当海监船行驶202海里后到达B处,此时测得小岛P位于B处北偏东45°的方向上.(1)求A,P之间的距离AP.(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险?请说明理由.如果有触礁危险,那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域?第一章　直角三角形的边角关系1.A2.C　设AC为x,则BC=2x,由勾股定理得AB=　AC2+BC2=5x,∴cos A=ACAB=x5x=55.3.B　如图,过点A'作A'C⊥AB于点C.由题意知A'O=AO=4米,∴sin α=A'CA'O,∴A'C=4sin α米.故选B.　　(第3题图) (第4题图)4.D　如图,过点P作PE⊥x轴于点E.设点P的坐标为(x,y),则OE=x,PE=y.在Rt△OPE中,∵cos α=513=OEOP,OP=13,∴OE=5,∴PE=132-52=12,∴点P的坐标为(5,12).5.C　过点A作AD⊥BC于点D,则cos B=BDc,cos C=CDb,∴BD=c·cos B,CD=b·cos C.∵c·cos B=b·cos C,∴BD=CD,∴AD是线段BC的垂直平分线,∴b=c,即AC=AB,∴△ABC是等腰三角形.故选C.6.A　∵cos ∠BDC=CDBD=35,∴设DC=3x cm,BD=5x cm.∵MN是线段AB的垂直平分线,∴AD=BD=5x cm.∵AC=16 cm,∴3x+5x=16,解得x=2,∴BD=10 cm.7.D　设经过t s后,四边形ADEF是菱形,则AD=DE=t,CD=3-t,∠ABC=∠DEC.∵∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB=AC2+BC2=32+42=5.∵sin∠DEC=sin∠ABC,∴DCDE=ACAB,∴3-tt=35,解得t=158.8.B　如图,延长CD交过A的水平线于点E.∵在300 m高的山顶上测得一塔的塔基C的俯角为60°,∴∠CAB=30°,AB=300 m,∴BC=AB·tan 30°=1003 (m).易得AE=1003 m,CE=AB=300 m.∵在300 m高的山顶上测得一塔的塔顶D的俯角为30°,∴DE=AE·tan 30°=100 (m),∴CD=CE-DE=200 m.9.C　∵在△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°且∠A=4∠B,∴6∠B=180°,解得∠B=30°,∴cos B=32.如图,过点A作AD⊥BC于点D,设AD=a,则AB=2a,BD=3a.∵BC=2BD=23a,∴sad∠BAC=BCAB=23a2a=3,∴cos B·sad∠BAC=32×3=32.故选C. （第9题图） （第10题图）10.A　如图,过点A作BC的平行线AG,过点E作EH⊥AG于点H,则∠AHE=∠EHG=∠HEF=90°.因为∠AEF=143°,所以∠AEH=∠AEF-∠HEF=53°,所以∠EAH=37°.在Rt△EAH中,EH=AE×sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72(m),所以AB+EH=1.2+0.72=1.92(m).故选A.11.1∶2.4　设此时水平距离为x米,根据勾股定理,得x2+52=132,解得x=12(负值已舍去),故坡度i=5∶12=1∶2.4.12.31010　在CB的延长线上取格点D,令∠ADC=90°,如图,在Rt△ADC中,AC=AD2+CD2=22+62=210,∴cos C=CDAC=6210=31010.　　(第12题图) (第13题图)13.2　如图,设DE交AC于点T,过点E作EH⊥CD于点H.∵AB∥DE,∴∠DTC=∠BAC=90°.∵DT∥AB,BD=DC,∴AT=TC,∴EA=EC=ED,∴∠EDC=∠ECD.∵EH⊥CD,∴CH=DH.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B,∴∠ECD=∠B,∴cos∠ECH=cos B=14,即CHEC=14,∴ECAD=ECCD=EC2CH=2.14.11　设甲船每小时行驶x海里,则AB=2x海里,过点B作BD⊥AC于点D.由题意得,∠BAD=30°,∠C=15°,AC=60海里,∴AD=AB·cos 30°=3x≈1.73x(海里), BD=AB·sin 30°=x(海里),DC=BDtan15°=xtan15°≈x0.27(海里).∵AD+DC=AC,∴1.73x+x0.27=60,解得x≈11.【一题多解】设甲船每小时行驶x海里,则AB=2x海里,如图,过点B作BD⊥AC于点D,在AC上取点E,使BE=CE,根据题意知,∠BAD=30°,∠C=15°,∴∠BED=30°,∴DE=AD=AB·cos 30°=3x(海里),CE=BE=AB=2x海里,∴AD+DE+CE=60海里,即3x+3x+2x=60,解得x=15(3-1)≈11.15.58.6　过点A作AE⊥CP于点E,过点B作BF⊥DQ于点F,则Rt△ACE中,AE=AC·sin 27°≈54×0.45=24.3(cm),同理可得,BF≈24.3 cm,∵点A与B之间的距离为10 cm，∴通过双翼闸机的物体的最大宽度约为24.3+10+24.3=58.6(cm).16.32或233　由题意得,只能是直角边上的中线,故分两种情况讨论.①如图(1),BD是AC边上的中线,BD=AC.设AD=DC=k(k>0),则BD=AC=2k.在Rt△BCD中,∠C=90°,∴BC=BD2-CD2=3k,∴tan A=BCAC=3k2k=32.②如图(2),AD是BC边上的中线,AD=BC.设BD=DC=m(m>0),则AD=BC=2m.在Rt△ACD中,∠C=90°,∴AC=AD2-CD2=3m,∴tan∠CAB=BCAC=2m3m=233.综上所述,tan A的值为32或233.　图(1)　　　　　　图(2)17.【参考答案】(1)原式=32×33+12÷1 (2分)=12+12 (3分)=1. (4分)(2)原式=3-1+1-32-2×1×12 (3分)=32-1. (4分)18.【解题思路】根据tan∠AOB的值分别为1,12,构造直角三角形进而画出△AOB.(1)如图(1)所示. (4分)(2)如图(2)所示. (8分)　　　　　 　　 　 图(1)　　　 　图(2)19. 【参考答案】∵∠B=45°,∠C=75°,∴∠A=180°-45°-75°=60°.∵asinA=bsinB,∴6sin60°=bsin45°,∴b=26. (4分)(2)∵ABsin∠ ACB=ACsinB,∴105314=14sinB,∴sin B=32,∴∠B=60°. (6分)∴tan B=CDBD=3,∴BD=33CD.∵AC2=CD2+AD2,∴142=CD2+(10-33CD)2,∴CD=83,CD=-33(舍去),∴景观桥CD的长为83米. (8分)20.【解题思路】(1)过点O作OD⊥AB于点D,交A'C于点E,则EC=DB=OO'=1.5米,ED=BC,解直角三角形AOD和A'OE 得出OD与OE,从而求出BC;(2)先解直角三角形A'OE,得出A'E,然后求出B'C.(1) 【参考答案】过点O作OD⊥AB于点D,交A'C于点E.根据题意可知,EC=DB=OO'=1.5米,ED=BC,∠A=45°,∠A'=30°,∠A'ED=∠ADO=90°. (2分)在Rt△AOD中,∵cos A=ADOA,OA=6米,∴AD=OD=32 米.在Rt△A'OE中,∵sin A'=OEOA',OA'=6米,∴OE=3米,∴BC=ED=OD-OE=(32-3)(米),故此重物在水平方向移动的距离BC是(32-3)米. (5分)(2)在Rt△A'OE中,A'E=OA'·cos A'=33(米).∴B'C=A'C-A'B'=A'E+CE-AB=A'E+CE-(AD+BD)=33+1.5-(32+1.5)=(33-32)(米),故此重物在竖直方向移动的距离B'C是(33-32)米. (9分)21.【解题思路】任务一:根据两次测量结果直接求平均值就得到答案.任务二:设EC=x m,解直角三角形得到结论.任务一:6 (2分)任务二:设EG=x m,在Rt△DEG中,∠DEG=90°,∠GDE=33°.∵tan 33°=EGDE,∴DE=xtan33°. (4分)在Rt△CEG中,∠CEG=90°,∠GCE=26.5°.∵tan 26.5°=EGCE,∴CE=xtan26.5°. (6分)又CD=CE-DE=AB=6 m,∴xtan26.5°-xtan33°=6,解得x≈13∴GH=EG+EH=13+1.5=14.5 (m).答:旗杆GH的高度约为14.5 m. (9分)22. 【参考答案】(1)如图,过点P作PC⊥AB,交AB的延长线于点C,由题意得,∠PAC=30°,∠PBC=45°,AB=202.设PC=x,则BC=x,在Rt△PAC中,∵tan 30°=PCAC=xx+202=33,∴x=106+102,∴PA=2x=206+202.答:A,P之间的距离AP为(206+202)海里. (4分)(2)∵PC-10(3+3)=106+102-30-103=10(6-3+2-3)