人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课时作业

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1．（2023-24高一上·陕西咸阳·期中）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．9B．18C．27D．36
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故的最小值为27.
故选：C.
2．（2023-24高一上·广西·期中）若，则函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，可得，所以，
当且仅当时，即时，取得最小值.
故选：D.
3．（2023-24高一上·河南·期中）用长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设该矩形相邻的两边长为，则，即.
由，，则，得，
当且仅当时，等号成立.
故该矩形面积的最大值为.
故选：A.
4．（2023-24高二下·安徽阜阳·期中）已知实数a，b满足，则下列数中不可能是的值的是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【详解】因为．所以，，．
当时，，，当且仅当，时等号成立，
当时，，，当且仅当，时等号成立．
故的取值范围为，只有不在此范围内．
故选：B．
5．（2023-24高一上·江苏镇江·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】C
【详解】由，得，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
6．（2023-24高一上·四川成都·期中）在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形面积的最大值为（ ）
A．6B．9C．12D．18
【答案】B
【详解】设直角三角形两直角边长分别为、，
依题意可得，
所以三角形的面积，当且仅当时取等号.
故选：B
7．（2023-24高二下·北京海淀·期末）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ）
A．B．3C．8D．9
【答案】B
【详解】由，得，
于是，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为3.
故选：B
8．（2023-24高二下·吉林长春·期末）命题，使得成立.若p为假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【详解】由题意，p为假命题，故为真命题，故﹐
故，
又当时，，当且仅当时，等号成立，
所以的取值范围是
故选：A．
9．（2023-24高一下·湖北咸宁·期末）矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】

设，其中，则，
在直角中，由勾股定理得：，
解得：,
.
当且仅当，即时等号成立.
故选:B.
10．（2023-24高三上·河北石家庄·期中）已知非负实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【详解】因为，所以，则，
所以，
根据不等式性质可知，
当且仅当时等号成立，即满足条件，
所以，
所以的最小值为.
故选：B
11．（2023-24高一上·河北沧州·期中）若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为，且，
所以．
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，解得或，
所以m的取值范围是．
故选：D．
12．（2023-24高一上·江西南昌·期中）正数满足，则的最大值为（ ）
A．8B．3C．D．4
【答案】D
【详解】解：因为
当，即时，等号成立，
又因为，
所以，时，等号成立.
故选：D.
13．（2023-24高一上·河南郑州·期中）受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑；其中，.则下列结论中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意知：
所以,,
,
由基本不等式知，
所以,
所以，
故，当且仅当时，等号成立.
故正确，错误；
又当时，
,故，则错误；
又,
,
取,此时，故错误，
故选：
14．（2023-24高一上·山东·期中）不等式对于，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为不等式对于，恒成立，
所以不等式对于，恒成立，
令，
由对勾函数的性质，函数在上单调递减，
所以，所以，.
故选：A
15．（2023-24高一上·浙江杭州·期中）已知且，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【详解】设，，，，，，
解得，即，
故.
当且仅当，即，时等号成立，
故选：B
16．（2023-24高三上·江西南昌·期中）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，
令，，则，，
，
当且仅当且，即，时，等号成立，
所以，故有最小值.
故选：D.
二、多选题
17．（2023-24高一上·山东济南·期中）（多选）设正实数满足，则下列说法中正确的有（ ）
A．有最大值
B．有最大值4
C．有最大值
D．有最小值
【答案】ACD
【详解】对于A选项，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，由基本不等式可得
，
当且仅当，即时, 等号成立，即的最小值是4，B不正确；
对于C选项，，则，
当且仅当时，等号成立，C选项正确.
对于D选项，，所以，，
当且仅当时，等号成立，D选项正确；
故选：ACD.
18．（2023-24高一上·广东惠州·期中）下列选项正确的是（ ）
A．若，则的最小值为2B．若，的最小值为3
C．的最小值为2D．函数的最大值是0
【答案】BD
【详解】对于A，当时，，故的最小值不是2，A错误，
对于B，，则，，
当且仅当，即时取等号，故B正确，
对于C，由于，而，当且仅当时取等号，但是无实数根，所以取不到等号，故C错误，
对于D，当时，，，故，因此，
当且仅当时等号成立，故D正确，
故选：BD
19．（2023-24高一上·福建厦门·期中）若，，且，则下列不等式恒成立的（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】对于A和C，因为，，所以，即，
当且仅当时等号成立，故，则，故A正确，C错误；
对于B，代入，，故B错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：AD
20．（2023-24高一上·福建莆田·期中）一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】不妨设矩形长宽分别为，则.
对于A项，显然成立，符合，
对于C项，显然成立，符合，
即A、C正确；
对于B项，显然不成立，
对于D项，显然不成立，即B、D错误.
故选:AC
21．（2022·河北张家口·三模）已知，（m是常数），则下列结论正确的是（ ）
A．若的最小值为，则
B．若的最大值为4，则
C．若的最大值为m，则
D．若，则的最小值为2
【答案】BC
【详解】由已知得，
，解得，当时取等号，故A错误；
，，当时取等号，故B正确；
，，当时取等号，故C正确；
对于D，
，当时取等号，又，且，所以等号取不到，故D错误，
故选：BC.
22．（2022·山东菏泽·二模）设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，当时，由C可知，，故D不正确.
故选：AB
23．（2023-24高二上·云南玉溪·期中）已知正实数a，b满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则的最小值为3
D．若，，则
【答案】ACD
【详解】因为，
对于A，当时，，则，
当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，则，
当且仅当时取等号，故B错误；
对于C，当时，，则，
则
，
当且仅当，即时取等号，故C正确，
对于C，当时，，解得（舍负），
当且仅当时取等号，故D正确．
故选：ACD．
24．（2024高一上·全国·专题练习）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（ ）
A．由题图（1）和题图（2）面积相等得
B．由可得
C．由可得
D．由可得
【答案】BCD
【详解】对于A，由题图（1），（2）面积相等得，所以，故A错误．
对于B，因为，所以，所以，
设题图（3）中内接正方形的边长为t，根据三角形相似可得，解得，所以．
因为，所以，整理可得，故B正确．
对于C，因为D为斜边的中点，所以，
因为，所以，整理得，故C正确．
对于D，因为，所以，整理得，故D正确．
故选：BCD
25．（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】解：因为正实数，且为自然数，
所以，
则恒成立，即恒成立，
两边同乘，则，
而，
，
当且仅当，即时，等号成立，
若恒成立，则恒成立，
A.当时，，不成立；
B.当时，，成立；
C.当时，，成立；
D.当时，，不成立，
故选：BC
三、填空题
26．（2023-24高二下·天津·期末）若直角三角形的面积等于，则两条直角边的和的最小值是 .
【答案】8
【详解】设两条直角边分别为，
则由三角形的面积可知：
故，当且仅当时，等号成立.
故答案为：8
27．（2023-24高一下·山西大同·期末）若正实数a，b满足，则的最小值是 .
【答案】
【详解】因为，由基本不等式得，
即，解得，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
28．（2023-24高一下·江苏盐城·期末）若，，，则的最小值为 .
【答案】
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
29．（2023-24高三上·广东·期中）已知正数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】由题意可得，故，又，
所以，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：．
30．（2023-24高一上·江苏扬州·期中）已知圆的半径为，矩形的边长为，，且圆与矩形的周长均为2，面积分别为，，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】圆与矩形的周长均为2，
，即，
，
，
，
当且仅当时，等号成立，
的最小值为.
故答案为：.
31．（2023-24高一上·辽宁·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门900步能见到此树，则该小城的周长的最小值为 里（注：1里300步）
【答案】
【详解】设里，里，且步里，步里，
因为，所以，
所以，所以，
所以小城周长，当且仅当时取等号，
所以周长的最小值为里，
故答案为：.
32．（2023-24高二下·天津河东·期末）已知正数x，实数y满足，则的最小值为 .
【答案】/0.75
【详解】由正数x，实数y满足，得，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
33．（2023-24高二下·江苏常州·期末）定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是 .
【答案】−2
【详解】因为，，
所以两个数中有一个负数，不妔设，所以，
由已知可得，所以，
所以，所以，
所以，所以，
由，故的最大值是.
故答案为：−2
34．（2023-24高一上·浙江宁波·期中）已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是 .
【答案】
【详解】因为，即，
设，则，且，
原式
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：4
35．（2023-24高一上·江西赣州·期中）设，则的最小值为 .
【答案】
【详解】因为，所以，，
则
，
当且仅当，即时，等号成立.
则的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
36．（2023-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最小值．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为，所以，
则，当且仅当，即时，取到等号，
所以的最大值为；
（2）因为，所以，
令，则，
所以，
当且仅当，即，即时，取到等号，
所以的最小值为.
37．（2023-24高一上·新疆阿克苏·期末）设，且
(1)若，求的最大值；
(2)若，求的最小值
【答案】(1)81；
(2)4.
【详解】（1）由题设知，而，当且仅当时取等号，
所以最大值为.
（2）由题设知，即，而，
所以，当且仅当取等号，故最小值是4.
38．（2023-24高二上·河南郑州·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为．

(1)若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小；
(2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由已知可得，篱笆总长为．
又因为，当且仅当，即时等号成立．
所以当时，可使所用篱笆总长最小．
（2）由已知得，
又因为，
所以，当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值是．
39．（2023-24高一上·广东深圳·期中）若，且
(1)求的取值范围；
(2)求的最小值，以及此时对应的的值.
【答案】(1)；
(2)时，取最小值为
【详解】（1），，，得，解得，明显可得，
的取值范围为
（2）由得，，结合得
，
当且仅当时，等式成立，解得，，
即当时，取最小值为
40．（2023-24高一上·江苏常州·期末）常州在中国工业大奖和工业强基工程项目双双位列全国地级市第一，已知常州某零件装备生产企业2023年的固定成本为2500万元，每生产100x件零件，需另投资(单位：万元)，经计算与市场评估得，调查发现，零件装备售价5万元，且全年内生产的零件装备当年能全部销售完(其中).
(1)预测出2023年的利润(单位：万元)的函数表达式(利润=销售额—成本)；
(2)当2023年装备产量为多少时，常州该企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)当2023年生产10000件时，该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元
【详解】（1）根据题意，当时，
；
当时，
；
故；
（2）根据题意，当时，
，
当时，；
当时，
，
当且仅当时等号成立，则有；
由，故；
故当时，即当2023年生产10000件时，
该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元.
41．（2023-24高一·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为．
(1)求，的值；
(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，
所以，为方程的根，且.
所以，解得，.
（2）因为恒成立，
所以即可.
因为，所以，
当且仅当，即时取等号.
所以，解得.
42．（2023-24高一上·江苏南通·期末）已知集合．
(1)设，求的取值范围；
(2)对任意，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：若，又，
则，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
故的取值范围为．
（2）证明：
，当且仅当时取等号．
43．（2023-24高一上·福建·期中）函数的图象经过第一象限的点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为．
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)求四边形（为坐标原点）面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由函数的图象经过第一象限的点，
则，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，
因为恒成立，即恒成立，即恒成立，
由，解得，
即实数的取值范围.
（2）解：由题意，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为，
可得，则四边形为矩形，所以面积为，
因为，且，
可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得，所以四边形面积的最大值为.
44．（2023-24高一上·四川雅安·期中）若，，满足，则称比更远离．
(1)判断“”是“比更远离”的什么条件，并说明理由；
(2)已知，，，证明：比更远离2．
【答案】(1)“”是“比更远离”的充分不必要条件，理由见解析．
(2)证明见解析
【详解】（1）解：“”是“比更远离”的充分不必要条件．
理由如下：
由，得，则，
故“”是“比更远离”的充分条件．
由比更远离，可得．
当，，时，满足，但不满足，
则“”不是“比更远离”的必要条件．
综上，“”是“比更远离”的充分不必要条件．
（2）证明：因为，，所以，，
所以，当且仅当时，等号成立．
因为，，所以，，
所以，当且仅当时，等号成立．
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以．
由（1）可知比更远离2．