2025高考数学一轮专题复习：解析几何专题9（含答案解析）-练习

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典例1、已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
（1）求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程；（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值．
随堂练习：已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的
右焦点到的渐近线的距离为．
（1）求与的方程；（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．
典例2、已知双曲线的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
（1）求双曲线C的方程；（2）设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值．
随堂练习：已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线
C交于M，N两点，且.
（1）求C的方程；（2）过点的直线与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
典例3、已知抛物线：（）的焦点为，为上的动点，为在动直线（）上的投影.当为等边三角形时，其面积为.
（1）求的方程；（2）设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与交于点.试问：是否存在，使得为的中点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
随堂练习：已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双
曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.
（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知过点的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且
的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程.
知识点二 根据椭圆过的点求标准方程,根据韦达定理求参数
典例4、已知椭圆的离心率为，且经过点，椭圆C的右顶点到抛物线的准线的距离为4．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；（2）设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
随堂练习：已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，以原点为圆心､椭圆
短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线交椭圆于两点（直线与轴不重合）.在轴上是否存在点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
典例5、已知椭圆的右焦点为，短半轴长为，为椭圆上一点，的最小值为．
（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）若过点的直线与椭圆相交于，两点，试问：在 轴上是否存在异于点的定点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
随堂练习：设中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为，为的右焦点，为
上一点，轴，的半径为．
（1）求椭圆和的方程；（2）若直线与交于，两点，与交于，两点，其中，在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程：若不存在，说明理由．
典例6、已知在中，两直角边，的长分别为和，以的中点为原点，所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，椭圆以，为焦点，且经过点.
（1）求椭圆的方程； （2）直线：与相交于，两点，在轴上是否存在点，使得为等边三角形，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
随堂练习：已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为，，短轴长为．点
在椭圆上，且满足△的周长为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个定点，使得 恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由．
高考解析几何复习专题九答案
典例1、答案：（1）双曲线C的方程为，离心率，渐近线方程为 （2）
解：（1）因为双曲线C与有相同的渐近线，
所以可设双曲线C的方程为，
代入，得，得，故双曲线C的方程为，
所以，，，故离心率， 渐近线方程为．
（2）联立直线AB与双曲线C的方程，得，
整理得， ．
设，，则AB的中点坐标为，
由根与系数的关系得，，，
所以AB的中点坐标为，
又点在圆上，所以， 所以．
随堂练习：答案： （1）， （2）
解：（1）由题意可得，则． 因为的渐近线方程为，即，
椭圆的右焦点为，由题意可得，，解得，
故椭圆的方程为，双曲线的方程为．
（2）设直线的倾斜角为， 所以，直线的斜率为，
所以直线的方程为， 联立得，则，
设、，则，， 所以,
联立可得，，
设点、，则，，
所以，，故．
典例2、答案： （1） （2）1
解：（1）由题意可得，渐近线的方程为， 设，则有，即，
因为点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
所以，
又离心率，即，所以，所以，，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知，，设直线的方程为，
联立，得， 所以，
若，，则，，
所以|， 所以，
所以的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
整理得，所以， 则，所以．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由题意得，解得 故C的方程为.
（2）显然直线率存在，设直线的方程为，，，
联立，得，
因为与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，
故， 解得， 此时有.
，，
由，解得，同理可得，所以.
因为，故. 因为，故，
故实数的取值范围是.
典例3、答案： （1）； （2）存在，，理由见解析.
解：（1）设，， 因为为等边三角形时，其面积为，
所以，解得，即，
由抛物线定义可知，y=t为抛物线的准线，
由题意可知，所以， 所以的方程；
（2）设，则在动直线上的投影， 当时，，
由可得，所以切线的斜率为，
设，，线段的中点，
由，可得， 所以，
整理可得：，即，所以，
可得，又因为，
所以当时，，此时三点共线，满足为的中点，
综上，存在，使得点为的中点恒成立，.
随堂练习：答案： （1） （2）或
解：（1）由在双曲线C上，得， 由TP垂直x轴于点P，得，
则由到双曲线C的渐近线的距离为2， 得，得，
联立和， 解得，， 即双曲线C的标准方程为.
（2）由题意，， 当直线无斜率时，直线方程为，则、，
则为等腰三角形，若的外接圆的圆心Q在y轴上，
则，而，，， 不符合题意（舍）；
当直线存在斜率时，设直线方程为，
联立，得， 即
设直线l与双曲线C的右支相交于、，
则， 解得，即或；
则，， 从而，
则线段AB的中点， 且.
由题意设， 易知Q在线段AB的垂直平分线上，因此，
得，即， 连接QP，QA，QM，因此.
由勾股定理可得，，
又，则，
化简得，得（舍去），
因此直线l的方程为， 即或.
典例4、答案： （1）； （2）存在；
解：（1）由已知得，∴，． ∴椭圆的方程为．
∴椭圆的右顶点为． ∴，解得． ∴抛物线的方程为．
（2）由题意知直线l的斜率存在且不为0．
设直线的方程为，，．
由消去y，得．
∴，∴． ∴，．
∴．
∴． ∴，∴．∴，此时．
∴直线l的方程为． 假设在轴上存在点，使得轴平分，
则直线的斜率与直线的斜率之和为，
设，， 由消去，得．
∴，即恒成立． ∴，．
∵， ∴．
∴． ∴．
∴．解得． ∴在轴上存在点，使得轴平分．
随堂练习：答案： （1）； （2）存在，点的坐标为和.
解：（1）由题意知，直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，即.
因为，所以.
故椭圆的标准方程为.
（2）因为直线过点且与轴不重合，所以可设直线的方程为.
联立方程，得化简并整理得
设，则.
所以
设存在点，则直线与的斜率分别为，
所以
令，解得或. 当时，；
当时，. 因此，满足条件的点的坐标为和.
典例5、答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率；（2）存在点，使得．
解：（1）由题知，， 又，解得，
所以椭圆的标准方程为， 椭圆的离心率．
（2）当直线的斜率存在时，设 ，．
联立，消去并整理得， 由，得或
则，
若存在异于点的定点，使得，则的平分线与轴平行，即．
设， 则

解得，即；
当直线斜率的不存在时，由对称性，显然有．
综上，存在点，使得．
随堂练习：答案： （1），. （2）不存在，理由见解析
解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为， 椭圆的离心率，，
，， 将点代入椭圆的方程得：，
联立解得：， 椭圆的方程为：， ，
轴，， 的方程为：；
（2）由、在圆上得，
设，，， 同理：，
若，则，即， ，
由得，
得，无解，故不存在．

典例6、答案： （1）；（2）存在，或
解:（1）由题意，根据椭圆的定义，可得， 所以，又，
又，又焦点在x轴上， 故所求椭圆方程为.
（2）假设在轴上存在点，使得为正三角形.
设，线段AB的中点为，则.
又，整理得， 则，解得，
又
所以， ，
即，则，
令，则，即，， 所以，
解得，满足条件 所以在轴上存在点，使得为正三角形.
直线方程为或.
随堂练习：答案： （1） （2）存在，
解：（1）由题意知：，解得， 椭圆方程为：.
（2）设，，，，，
当直线斜率存在时，设直线的方程为：，联立，
得，则，，
又，
而
为定值．
只需，解得：，从而．
当不存在时，，
当时，，
综上所述：存在，使得．