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    3.1.2 椭圆的简单几何性质(教案),2021-2022学年(新人教A版选择性必修第一册)(含解析)
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    人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆优质课教案及反思

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    这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆优质课教案及反思,共9页。教案主要包含了学习目标,要点梳理,典型例题,总结升华等内容,欢迎下载使用。

    3.1.2 椭圆的简单几何性质

    【学习目标】

    1.掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质.

    2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.

    3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.

    【要点梳理】

    要点一、椭圆的简单几何性质

    我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质

    椭圆的范围

    椭圆上所有的点都位于直线x=±ay=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a|y|≤b.

    椭圆的对称性

    对于椭圆标准方程,把x换成―x,或把y换成―y,或把xy同时换成―x―y,方程都不变,所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。

    椭圆的顶点

    椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

    椭圆ab0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A1―a0),A2a0),B10―b),B20b)。

    线段A1A2B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,|A1A2|=2a|B1B2|=2bab分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

    椭圆的离心率

    椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作

    因为ac0,所以e的取值范围是0e1e越接近1,则c就越接近a,从而越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2+y2=a2

    要点诠释:

    椭圆的图中线段的几何特征(如下图):

    1

    2

    3,

    要点二、椭圆标准方程中的三个量abc的几何意义

    椭圆标准方程中,abc三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:ab0ac0,且a2=b2+c2

    可借助下图帮助记忆:

     

    abc恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,bc为两条直角边。

    abc有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关,这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题,将有关线段,有关角()结合起来,建立之间的关系.

     

     

    要点三、椭圆两个标准方程几何性质的比较

    标准方程

    图形

    性质

    焦点

    焦距

    范围

    对称性

    关于x轴、y轴和原点对称

    顶点

    长轴长=,短轴长=

    离心率

     

    要点诠释:椭圆ab0)的相同点为形状、大小都相同,参数间的关系都有ab0a2=b2+c2;不同点为两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不相同;

    椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看x2y2的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。

    要点四、直线与椭圆的位置关系

    平面内点与椭圆的位置关系

    椭圆将平面分成三部分:椭圆上、椭圆内、椭圆外,因此,平面上的点与椭圆的位置关系有三种,任给一点Mx,y),

    若点Mx,y)在椭圆上,则有

    若点Mx,y)在椭圆内,则有

    若点Mx,y)在椭圆外,则有.

    直线与椭圆的位置关系

    将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组,消元转化为关于xy的一元二次方程,其判别式为Δ.

    Δ0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点);

    Δ0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)

    Δ0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点.

    直线与椭圆的相交弦

    设直线交椭圆于点两点,则

    ==

    同理可得

    这里的求法通常使用韦达定理,需作以下变形:

    【典型例题】

    类型一:椭圆的简单几何性质

    1.  已知椭圆的对称轴为坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长是6,且,求椭圆的方程。

    【解析】  椭圆的长轴长为6,所以点A不是长轴的顶点,是短轴的顶点,所以|OF|=c

    所以c=2b2=3222=5

    故椭圆的方程为

    【总结升华】  灵活运用椭圆的几何性质:①a2=b2+c2;②长轴长2a,短轴长2b,进行求参数的值或求椭圆的方程.

    举一反三:

    【变式1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

    【变式2长轴长等于20,离心率等于,求椭圆的标准方程。

    【答案】

    【变式3在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点x轴上,离心率为.过点的直线lCAB两点,且的周长为16,那么C的方程为______

    【答案】

    类型二:求椭圆的离心率或离心率的取值范围

    2.1)已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段,求其离心率;

    2)已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为104,求其离心率。

    【解析】  1)由题意得

    解得

    2)由题意得

    解得,故离心率

    【总结升华】  椭圆的离心率是椭圆几何性质的一个重要参数,求椭圆离心率的关键是由条件寻求ac满足的关系式;

    椭圆的离心率,所以构造abc三者中任意两个的关系,均可求出椭圆离心率,而abc三者中任意两个的关系,可以通过几何图形直观观察,可构造方程或不等式得到三者关系。

    求椭圆的离心率通常有两种方法:

    1)若给定椭圆的方程,则根据焦点位置确定a2b2,求出ac的值,利用公式直接求解。

    2)若椭圆的方程未知,则根据条件建立abce满足的关系式,化为关于ac的齐次方程,再将方程两边同除以a的最高次幂,得到e的方程,解方程求得e

    举一反三:

    【变式1椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是(    )

    【答案】D

    【变式2椭圆上一点到两焦点的距离分别为,焦距为,若成等差数列,则椭圆的离心率为_____

    【答案】

    3. M为椭圆上一点,F1F2为椭圆的焦点,若∠MF1F2=75°,∠MF2F1=15°,求椭圆的离心率。

    【解析】 在△MF1F2中,由正弦定理得

    【总结升华】  本题利用了椭圆的定义、正弦定理、等比定理、三角变换等多种知识,求出离心率e

    举一反三:

    【变式1以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点,顺次连结这四个点和两个焦点,恰好围成一个正六边形,则这个椭圆的离心率等于____。

    【答案】

    【变式2已知椭圆的左焦点为F,右顶点A,上顶点为B,若BFBA,则称其为优美椭圆,那么优美椭圆的离心率为________

    【答案】  

    【解析】 根据题意,|AB2|=a2+b2|BF|=a|AF|=a+c,所以在RtABF中,有(a+c)2=a2+b2+a2,化简得c2+aca2=0,等式两边同除以a2,得e2+e1=0,解得

    0e1

    4已知椭圆F1F2是两个焦点,若椭圆上存在一点P,使,求其离心率的取值范围。

    【解析】△F1PF2中,已知|F1F2|=2c|PF1|+|PF2|=2a

    由余弦定理:4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°

    |PF1|+|PF2|=2a   

    联立① ②得4c2=4a2-|PF1||PF2|,∴

    【总结升华】求离心率或离心率的范围,通常构造关于的齐次式,从而构造出关于的方程或不等式.

    举一反三:

    【变式】已知椭圆,以为系数的关于的方程无实根,求其离心率的取值范围。

    【答案】由已知,,所以

    不等式两边同除可得

    解不等式得.

    由椭圆的离心率

    所以所求椭圆离心率.

    类型三:直线与椭圆的位置关系

    6. 已知椭圆,求过点且被平分的弦所在的直线方程.

    【解析】解法一:设所求直线的斜率为,则直线方程为.代入椭圆方程,并整理得

    由韦达定理得

    是弦中点,.故得

    所以所求直线方程为

    解法二:设过的直线与椭圆交于,则由题意得

                   

    代入,即直线的斜率为

    所求直线方程为

    【总结升华】

    1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.

    2)解法二是点差法,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.

    3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:韦达定理应用点差法.有关二次曲线问题也适用.

    举一反三:

    【变式1】已知点P42)是直线被椭圆所截得线段的中点,求直线的方程.

    【答案】直线的方程为x+2y8=0

    【变式2若直线与椭圆恒有公共点,求实数的取值范围。

    【答案】时,直线与椭圆恒有公共点

     

     

     

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