（福建卷）中考数学第三次模拟考试（2份，原卷版+解析版）

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一．选择题（共10小题）
1．在中，，若，，则的值是
A．B．C．D．
【解答】解：在中，，，，
，
，
故选：．
2．如图，该几何体的主视图是
A．B．
C．D．
【解答】解：从正面看，底层是一个矩形，上层的右边是一个矩形．
故选：．
3．以下剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
4．如图，在等腰中，，，是的角平分线，则的度数等于
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
又为的平分线，
，
．
故的度数为．
故选：．
5．已知点在第三象限，则的整数值是
A．3.4B．2，3C．4，5D．2，3，4，5
【解答】解：点在第三象限，
，
解得：，
整数的值是3，4．
故选：．
6．2022年杭州亚运会以“中国新时代杭州新亚运”为定位．“中国风范、浙江特色、杭州韵味、共建共享”为目标，秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办会理念，坚持“以杭州为主，全省共享”的办赛原则，高质量推进亚运会筹办工作，某校对亚运知识进行了相关普及，学生会为了了解学生掌握情况，从中抽取50名学生成绩，列表如下：
根据表格提供的信息可知，这组数据的众数与中位数分别是
A．100分，95分B．98分．95分C．98分，98分D．97分，98分
【解答】解：这组数据中出现最多的是98，
所以众数是98分，
总人数是（人，
第25个和第26个数据分别是98和98，
所以中位数是（分，
故选：．
7．下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：选项，故选项错误，
选项，故选项错误，
选项，故选项错误，
选项，故选项正确，
故选：．
8．如图，，在上，是直径，，则
A．B．C．D．
【解答】解：连接，
，
，
为的直径，
，
，
故选：．
9．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是 （注：其中的丈、尺是长度单位，1丈尺）
A．3尺B．4尺C．4.55尺D．5尺
【解答】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：．
解得：，
答：折断处离地面的高度为4.55尺．
故选：．
10．已知二次函数是常数）的图象与轴有两个交点，，，，，则下列说法：
①该二次函数的图象一定过定点；
②若该函数图象开口向下，则的取值范围为：；
③若，当时，的最大值为0，最小值为，则的取值范围为．
其中，正确的个数为
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：①，
当时，，故该函数图象一定过定点，故①正确；
②若该函数图象开口向下，则，且△，
△，解得：，且，故的取值范围为：，故②正确；
③当，函数为，
抛物线开口向上，对称轴为直线，时，的最大值为0，最小值为，
原点关于直线的对称点为，
，故③正确；
故选：．
二．填空题（共6小题）
11．分解因式： ．
【解答】解：
，
故答案为：．
12．一个不透明的箱子中装有10个球，它们除颜色外其余都相同，从箱子中随机摸出一个球，记下颜色并放回．若摸到红球的概率是0.4，则箱子中红球有 4 个．
【解答】解：设有红球个，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：4．
13．如图，射线是的平分线，是射线上一点，于点，，若是射线上一点，，则的面积是 12 ．
【解答】解：过点作于点，
是的角平分线，，，
，
则，
故答案为：12．
14．如图，数轴上每个刻度为1个单位长，则，分别对应数，，且，那么数轴上原点的位置在 ．
【解答】解：数轴上每个刻度为1个单位长，，分别对应数，，
，
，
，
，
点对应的数为，
点在点右边4个单位长度，
点表示的数为0，即原点．
15．如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接、，则图中阴影部分的周长为 ．
【解答】解：正六边形的边长为2，
，，
，
，
过作于，
，，
在中，，
，
同理可证，，
，
图中阴影部分的周长为
故答案为：．
16．如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于，，，两点，连接、，现有以下4个结论：①；②不等式的解集是；③；④．其中正确结论的序号是 ①③④ ．（填上你认为正确的所有结论的序号）
【解答】解：①如图所示，直线经过第一、三象限，则．
双曲线经过第一、三象限，则．
所以．
故结论①正确；
②如图所示：不等式的解集是或；
故结论②不正确；
③把，，，的坐标代入得，，
，
把，，，的坐标代入，得，
，
，
，
，
，
；
故结论③正确；
④把，，，的坐标代入得，，
解得，
直线解析式为，
点，，
把，，，的坐标代入，得，
，
，
．
故结论④正确．
故答案是：①③④．
三．解答题（共10小题）
17．先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
18．如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，．求证：．
【解答】解：在正方形中，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
19．计算：．
【解答】解：原式
．
20．解不等式组：并写出它的所有整数解．
【解答】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解有、、0．
21．如图，中，是的角平分线．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接，若，，求的长．
【解答】解：（1）如图，为所作；
（2）垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
22．如图．是半圆的直径，圆心是，点在半圆上，连接，作弦，连接．过点作半圆的切线分别交，的延长线于点、．
（1）求证：；
（2）若，．求弦的长．
【解答】（1）证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，即；
（2）解：连接，
，
由（1）可知，，
设的半径为，
，
，
，
，
在中，．
23．一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量（单位：，结果如下：
75 74 84 83 70 75 84 80 80 85 85 86 85 87 89 96 94 94 91 93 99 100 107 99 109 97 101 107 117 104
（1）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长承诺每天只卖当天新进的苹果，根据上述数据，若进货量为100千克，请估计100天中能满足顾客需求的天数；
（2）将上述30天的销售量数据利用等距分组的频数分布表来整理．
①若组距为6，则组数是 8 ．
②在①的情况下，记销售量数据为，第一组为．店长想要用850元的宣传费来增加销售量，希望第一、二组的日平均销售量获得足够的增加，第三、四组的日平均销售量增加7千克，第五、六组的日平均销售量增加3千克，其余组保持稳定，已知该款苹果每千克的平均利润为5元，若该店能够盈利，请估计第一、二组的日平均销售量至少增加多少千克？
【解答】解：（1）因为有6天的进货量大于100千克，
所以30天中有24天能满足顾客需求，
所以估计100天中能满足顾客需求的天数为：（天；
（2）①因为组数，
所以组数是8；
故答案为：8；
②由数据可知：第一、二组有6天，第三、四组有11天，第五、六组有9天，
设第一、二组的日平均销售量增加千克，根据题意，得
，
解得．
答：估计第一、二组的日平均销售量至少增加11千克．
24．数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯把三等分的操作如下：
任务一：判断四边形的形状，并证明；
任务二：请证明．
【解答】证明：（1）轴，轴，轴，轴，
，，
四边形是平行四边形，
轴轴，轴，轴，
，
四边形是矩形；
（2）四边形是矩形，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
．
25．在平面直角坐标系中，，为抛物线上两点，其中．
（1）求抛物线与轴的交点坐标；
（2）若，点，在抛物线上运动，当时，求的值；
（3）记抛物线在，两点之间的部分为图象（包含，两点），若图象上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）令，解得或，
抛物线与轴的交点坐标为或；
（2）由题意得，此时点的坐标为，
为等腰直角三角形，故，
则，
，
解得或；
（3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为，，
①当点、在对称轴同侧时，
当点、均为对称轴的右侧时，即，
则，
，解得；
当点、均在对称轴左侧时，可得：；
；
②当点、在对称轴两侧时，
则最小值为，最大值为或，
当最大值为时，则，
即，解得或（舍去），
则与点关于抛物线对称轴对称的点的横坐标为，
故点的横坐标在和之间，即，
解得；
当最大值为时，同理可得，；
故；
综上，．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
A
C
C
A
C
D
C
C
D
分数（分
90
92
94
96
98
100
人数（人
2
4
10
8
15
11
（1）以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系；
（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数的图象，图象与的边交于点；
（3）以点为圆心，为半径作弧，交函数的图象于点；
（4）分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，；
（5）作射线，交于点，得到．