浙教版八年级数学上学期【第一次月考卷】（2份，原卷版+解析版）

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考生注意：
1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一．选择题（共10小题）
1．下列各组长度的线段能构成三角形的是（ ）
A．1.5cm，3.9cm，2.3cmB．3.5cm，7.1cm，3.6cm
C．6cm，1cm，6cmD．4cm，10cm，4cm
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、1.5+2.3＜3.9，不能组成三角形，故此选项错误；
B、3.5+3.6＝7.1，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+6＞6，能够组成三角形，故此选项正确；
D、4+4＜10，不能组成三角形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个．
2．已知△ABC的三个内角的大小关系为∠A﹣∠B＝∠C，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
【分析】根据∠A、∠B、∠C之间的关系结合三角形内角和定理即可得出∠A＝90°，进而可得结论．
【解答】解：∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝∠B+∠C，
即2∠A＝180°，∠A＝90°．
∴△ABC为直角三角形，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，求出∠A的度数是解题的关键．
3．已知，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝80°，则∠B＝（ ）
A．60°B．30°C．20°D．40°
【分析】直接根据三角形内角和定理进行解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝80°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣80°＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
4．如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝36°，∠C'＝24°，则∠B＝（ ）
A．60°B．100°C．120°D．135°
【分析】根据全等三角形的性质求出∠C，再根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△A'B'C'，∠C'＝24°，
∴∠C＝∠C'＝24°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣36°﹣24°＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠DAC，添加一个条件后不能保证△BAC≌△DCA的是（ ）
A．AB∥CDB．∠B＝∠DC．AB＝CDD．AD＝BC
【分析】由于∠ACB＝∠DAC，加上公共边AC，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠ACB＝∠DAC，AC＝CA，
∴当添加AB∥CD时，∠BAC＝∠DCA，则可根据“ASA”判断△BAC≌△DCA；
当添加∠B＝∠D时，则可根据“AAS”判断△BAC≌△DCA；
当添加AD＝BC时，则可根据“SAS”判断△BAC≌△DCA．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
6．如图，已知∠AOB，按下面步骤作图：
（1）在射线OA上任意取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，连接CE，DE；
（3）作射线OE交CD于点F．
根据以上所作图形，有如下结论：
①CE∥OB；②CE＝2CF；③∠AOE＝∠BOE；④CD⊥OE．其中正确的有（ ）
A．①②③④B．②③C．③④D．②③④
【分析】利用基本作图得到OC＝OD，CE＝DE＝CD，则可判断△OCE≌△ODE，所以∠COE＝∠DOE，于是可对③进行判断；利用∠CEO＝∠DEO和△CDE为等边三角形得到EF⊥CD，CF＝DF，则可对②④进行判断；由于∠AOB不能确定为60°，所以∠CEO不能确定等于∠DOE，则可对①进行判断．
【解答】解：由作法得OC＝OD，CE＝DE＝CD，
在△OCE和△ODE中，
，
∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠COE＝∠DOE，所以③正确；
∠CEO＝∠DEO，
∵△CDE为等边三角形，
∴EF⊥CD，CF＝DF，
∴CE＝CD＝2CF，CD⊥OE，所以②④正确；
∵∠AOB不能确定为60°，
∴∠CEO不能确定等于∠DOE，所以①不正确．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
7．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝12cm2，则阴影部分△AEF的面积为（ ）cm2．
A．1B．1.5C．2D．3
【分析】（1）根据三角形中线的性质，先求得△ADC的面积，再求得△CDE的面积，即可求得△AEF的面积．
【解答】解：∵S△ABC＝12cm2，D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝×12＝6（cm2），
∵E为AD的中点，
∴S△AEC＝S△ADC＝×6＝3（cm2），
∵F为EC的中点，
∴S△AEF＝S△AEC＝×3＝1.5（cm2），
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
8．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AC＝DFC．AB＝EDD．BF＝EC
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．
【解答】解：选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（ ）
A．D是BC中点B．AD 平分∠BAC
C．AB＝2BDD．∠B＝∠C
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，BD＝DC．
∴AD平分∠BAC，
无法确定AB＝2BD．
故A、B、D正确，C错误．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10．如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由翻折易得DB＝AD，在直角三角形ACD中，利用勾股定理即可求得CD长．
【解答】解：由题意得DB＝AD；
设CD＝x，则
AD＝DB＝（8﹣x），
∵∠C＝90°，
∴AD2﹣CD2＝AC2（8﹣x）2﹣x2＝36，
解得x＝；
即CD＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．本题中得到BD＝AD是关键．
二．填空题（共8小题）
11．若点（3+m，a﹣2）关于y轴对称点的坐标是（3，2），则m+a的值为 ﹣2 ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点是（﹣x，y），进而得出m，a的值．
【解答】解：∵点（3+m，a﹣2）关于y轴对称点的坐标是（3，2），
∴3+m＝﹣3，a﹣2＝2，
解得：m＝﹣6，a＝4，
则m+a的值为：﹣6+4＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
12．如图，已知∠BAC＝130°，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于点D，则∠ADB＝ 50 度．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝CD，再根据等边对等角可得∠C＝∠CAD，∠B＝∠C，然后利用三角形内角和定理列式求出∠C，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABC中，∠ABC+∠B+∠C＝180°，
∴130°+2∠C＝180°，
解得∠C＝25°，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝25°+25°＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并利用三角形的内角和定理列出方程是解题的关键．
13．若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为 80°或50° ．
【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【解答】解：当该角为顶角时，顶角为50°；
当该角为底角时，顶角为80°．
故其顶角为50°或80°．
故填50°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
14．如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，则∠B＝ 20° ．
【分析】根据等边对等角和三角形的内角和定理，可先求得∠CAD的度数；再根据外角的性质，求∠B的读数．
【解答】解：∵AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，
∴∠CAD＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝100°＝40°+100°＝140°，
∵DC＝DB，
∴∠B＝（180°﹣140°）÷2＝20°．
故答案为：20°．
【点评】此题很简单，考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形的内角和定理．
15．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDE＝ 70° ．
【分析】首先在△ABC中，求出∠ABC和∠ACB的和，再利用∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，求出∠DBC和∠DCB的在和，△BCD中点E就是三角形三个内角平分线的交点，由此求得结论即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，
∵∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，
∴∠DBC+∠DCB＝40°，
∵BE、CE分别是∠DBC、∠DCB的角平分线，
∴DE平分∠BDC，
而∠BDC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠BDE＝70°．
故答案为：70°．
【点评】此题考查三角形的内角和，角平分线的性质，以及三角形中三条内角的平分线交于一点等知识点．
16．如图，分别以正方形ABCD的两条边AD、CD为边向外作两个正三角形，即△ADG与△CDF，然后延长GA，FC交于点E，得到一个“镖型”ABCE．已知正方形ABCD的边长为2，则“镖型”ABCE的周长为 8+4 ．
【分析】延长CB交AE于点N，由正方形的性质可得∠ABN＝180°﹣∠ABC＝90°，再由等边三角形的性质可得∠BAN＝∠BCE＝30°，然后由勾股定理及三角形周长公式可得答案．
【解答】解：延长CB交AE于点N，
∵ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵△CDF，△ADG是以AD，CD为边的等边三角形，
∴∠GAD＝∠DCF＝60°，
∴∠BAN＝∠180°﹣∠GAD﹣∠DAB＝30°，
∠BCE＝180°﹣∠DCF﹣∠BCD＝30°，
在四边形ADCE中，
∠E＝360°﹣∠CDA﹣∠DAE﹣∠DCE＝30°，
∴∠E＝NCE＝30°，
∴NC＝NE，
在Rt△ABN中，∠BAN＝30°，
设BN＝x，AN＝2x，
∴AB2+BN2＝AN2，
即22+x2＝4x2，解得，x＝，
CN＝NE＝2+，
∴AE＝AN+NE＝2+2，
同理CE＝2+2，
∴镖形周长＝AE+CE+BC+BA＝2（2+2）+2+2＝8+4．
故答案为：8+4．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角函数解答．
17．如图，图1是一个儿童滑梯，AE，DF，MN是滑梯的三根加固支架（如图2），且AE和DF都垂直地面BC，N是滑道DC的中点，小周测得FM＝1米，MN＝2米，MC＝3米，通过计算，他知道了滑道DC长为 2 米．
【分析】连接FN，过N作NG⊥CF于G，由直角三角形斜边上的中线性质得FN＝DC＝CN，再由等腰三角形的性质得FG＝CG＝CF＝2（米），然后由勾股定理得NG＝米，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接FN，过N作NG⊥CF于G，
∵FM＝1米，MC＝3米，
∴CF＝FM+MC＝4（米），
∵DF⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
∵N是滑道DC的中点，
∴FN＝DC＝CN，
∵NG⊥CF，
∴FG＝CG＝CF＝2（米），
∴MG＝FG﹣FM＝2﹣1＝1（米），
在Rt△MNG中，由勾股定理得：NG＝＝＝（米），
在Rt△CNG中，由勾股定理得：CN＝＝＝（米），
∴DC＝2CN＝2（米），
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学知识，属于中考常考题型．
18．在如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝ 135 °．
【分析】标注字母，根据图形判断出∠1、∠3是全等直角三角形的两个互余的锐角，∠2为等腰直角三角形的锐角，然后求解即可．
【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠3＝∠BAC，
在Rt△ABC中，∠BAC+∠1＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
由图可知，△ABF是等腰直角三角形，
∴∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故答案为：135．
【点评】本题考查了全等图形，等腰直角三角形的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．如图，线段AC、BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE．求证：∠B＝∠C．
【分析】根据AE＝DE，∠AEB＝∠DEC，BE＝CE，证出△AEB≌△DEC，即可得出∠B＝∠C．
【解答】证明：在△AEB和△DEC中，
∵
∴△AEB≌△DEC，
∴∠B＝∠C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求AB的长．
【分析】（1）依据∠ACB＝90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD＝∠B，再根据CE平分∠BCD，可得∠BCE＝∠DCE，进而得出∠AEC＝∠ACE；
（2）依据∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，∠ACB＝90°，即可得到∠ACD＝30°，进而得出Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，Rt△ABC中，AB＝2AC＝4．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题时注意：三角形内角和是180°．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：EB⊥AB；
（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．
【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE＝AD，∠CBE＝∠CAD＝45°，可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠CBE＝∠CAD＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴BE⊥AB；
（2）解：∵AD＝BF，BE＝AD，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵∠CBE＝45°，
∴∠BEF＝＝67.5°．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2．
【分析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式．
【解答】证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
【点评】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．
23．在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，请在甲，乙，丙三个方格图中，分别按照要求画一个格点三角形（三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形）．
（1）请在图甲中作△DEF与△ABC全等．
（2）请在图乙中作格点三角形与△ABC全等，且所作的三角形有一条边经过MN的中点．
（3）请在图丙中作格点△PQR与△ABC不全等但面积相等．
【分析】（1）根据全等三角形的判定作出图形即可；
（2）根据要求作出图形即可；
（3）利用等高模型作出图形即可．
【解答】解：（1）如图甲中，△DEF即为所求；
（2）如图乙中，△DEF即为所求；
（3）如图丙中，△PQR即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于直径常考题型．
24．如图，∠ABE＝∠ACD＝Rt∠，AE＝AD，∠ABC＝∠ACB．
求证：∠BAE＝∠CAD．
请补全证明过程，并在括号里写上理由．
证明：在△ABC中，
∵∠ABC＝∠ACB
∴AB＝ AC（在同一个三角形中，等角对等边）
在Rt△ABE和Rt△ACD中，
∵ AB ＝AC， AE ＝AD
∴Rt△ABE≌Rt△ACD HL
∴∠BAE＝∠CAD 全等三角形对应角相等
【分析】由已知条件得到AB＝AC，根据全等三角形的判定定理和性质得到∠BAE＝∠CAD即可．
【解答】证明：在△ABC中，
∵∠ABC＝∠ACB
∴AB＝AC（在同一个三角形中，等角对等边）
在Rt△ABE和Rt△ACD中，
∵AB＝AC，AE＝AD
∴Rt△ABE≌Rt△ACD （HL）
∴∠BAE＝∠CAD（全等三角形对应角相等）
故答案为：AC，在同一个三角形中，等角对等边，AB，AE，HL，全等三角形对应角相等．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
25．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请分别在甲、乙、丙三个图中添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，并画出图形．
【分析】根据轴对称图形的定义画出图形即可．
【解答】解：图中如图所示：
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，正方形的性质等知识，解题的关键是理解轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，∠C＝30°点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）DF＝ t ；（用含t的代数式表示）
（2）求证：△AED≌△FDE；
（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；
（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值．）
【分析】（1）在Rt△CDF中，利用30度角的对边等于斜边的一半，即可得出DF的长，此题得解；
（2）由∠CFD＝90°，∠B＝90°可得出DF∥AB，利用平行线的性质可得出∠AED＝∠FDE，结合AE＝FD，ED＝DE即可证出△AED≌△FDE；
（3）由（2）可知：当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形，由∠A＝60°可得出AD＝AE，进而可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（4）由（2）可知：当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形，分∠AED＝90°和∠ADE＝90°两种情况考虑，利用30度角的对边等于斜边的一半，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°．
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠C＝30°，CD＝2t，
∴DF＝CD＝t．
故答案为：t．
（2）证明：∵∠CFD＝90°，∠B＝90°，
∴DF∥AB，
∴∠AED＝∠FDE．
在△AED和△FDE中，，
∴△AED≌△FDE（SAS）．
（3）∵△AED≌△FDE，
∴当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形．
∵∠A＝90°﹣∠C＝60°，
∴AD＝AE．
∵AE＝t，AD＝AC﹣CD＝10﹣2t，
∴t＝10﹣2t，
∴t＝，
∴当t为时，△DEF是等边三角形．
（4）∵△AED≌△FDE，
∴当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形．
当∠AED＝90°时，AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，
解得：t＝；
当∠ADE＝90°时，AE＝2AD，即t＝2（10﹣2t），
解得：t＝4．
综上所述：当t为或4时，△DEF为直角三角形．
【点评】本题考查了解含30度角的直角三角形、全等三角形的判定、等边三角形的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）在Rt△CDF中，利用30度角的对边等于斜边的一半找出DF的长；（2）利用全等三角形的判定定理SAS证出△AED≌△FDE；（3）利用全等三角形的性质及等边三角形的性质，找出关于t的一元一次方程；（4）分∠AED＝90°和∠ADE＝90°两种情况，利用30度角的对边等于斜边的一半找出关于t的一元一次方程