浙教版数学八年级上册第1章 三角形的初步认识（单元提升卷）（2份，原卷版+解析版）

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第1章 三角形的初步认识（单元提升卷）（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．选择题（共10小题）1．下列各组线段中，能组成三角形的是（　　）A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，12 D．2，3，6【分析】三角形的任意两边之和都大于第三边，根据以上定理逐个判断即可．【解答】解：A、∵4+6＝10，不符合三角形三边关系定理，∴以4、6、10为三角形的三边，不能组成三角形，故本选项错误；B、∵3+6＞7，6+7＞3，3+7＞6，符合三角形三边关系定理，∴以3、6、7为三角形的三边，能组成三角形，故本选项正确；C、∵5+6＜12，不符合三角形三边关系定理，∴以5、6、12为三角形的三边，不能组成三角形，故本选项错误；D、∵2+3＜6，不符合三角形三边关系定理，∴以2、3、6为三角形的三边，不能组成三角形，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了对三角形三边关系定理的应用，能熟记三角形三边关系定理的内容是解此题的关键．2．在△ABC中，∠A﹣∠C＝∠B，那么△ABC是（　　）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形【分析】根据三角形内角和定理得到∠A+∠B+∠C＝180°，则∠A+∠B＝180°﹣∠C，由∠A＝∠B﹣∠C变形得∠A+∠B＝∠C，则180°﹣∠C＝∠C，解得∠C＝90°，即可判断△ABC的形状．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C+∠B＝180°﹣∠A，而∠A﹣∠C＝∠B，∴∠C+∠B＝∠A，∴180°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝90°，∴△ABC为直角三角形．故选：D．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°，直角三角形的判定，熟记掌握三角形的内角和是解题的关键．3．如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS可得到三角形全等．【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，得到∠A′O′B′＝∠AOB．故选：B．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．4．如图AB⊥AD，AB⊥BC，则以AB为一条高线的三角形共有（　　）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由于AB⊥AD，AB⊥BC，根据三角形的高的定义，可确定以AB为一条高线的三角形的个数．【解答】解：∵AB⊥AD，AB⊥BC，∴以AB为一条高线的三角形有△ABD，△ABE，△ABC，△ACE，一共4个．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，则△DEB的周长为（　　）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD＝DE，然后求出△DEB的周长＝AB即可得解．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴CD＝DE，∴△DEB的周长＝BD+DE+BE，＝BD+CD+BE，＝BC+BE，＝AC+BE，＝AE+BE，＝AB，∵AB＝6cm，∴△DEB的周长＝6cm．故选：B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．6．如图所示，△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（　　）对．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】从最简单的开始找，因为图形对折，所以首先△CDB≌△C′DB，由于四边形是长方形所以，△ABD≌△CDB．进而可得另有2对，分别为：△ABE≌△C′DE，△ABD≌△C′DB，如此答案可得．【解答】解：∵△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，∴C′D＝CD，BC′＝BC，∵BD＝BD，∴△CDB≌△C′DB（SSS），同理可证明：△ABE≌△C′DE，△ABD≌△C′DB，△ABD≌△CDB三对全等．所以，共有4对全等三角形．故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要由易到难，循序渐进．7．下列是命题的是（　　）A．作两条相交直线 B．∠α和∠β相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a的值【分析】根据命题的定义对各选项进行判断．【解答】解：A、“作两条相交直线”为描叙性语言，它不是命题，所以A选项错误；B、“∠α和∠β相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以A选项错误；C、全等三角形对应边相等，它是命题，所以C选项正确；D、“若a2＝4，求a的值”为描叙性语言，它不是命题，所以D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8．下列命题中，真命题是（　　）A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 C．三角形三个内角中，至少有2个锐角 D．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等【分析】利用垂线的性质、全等三角形的判定、锐角的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行，故错误，为假命题；B、有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，应该是两个锐角三角形或钝角三角形全等．故错误，为假命题；C、三角形的三个角中，至少有两个锐角，故正确，为真命题；D、有两边和其中一个角对应相等的两个三角形全等，错误，为假命题，故选：C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂线的性质、全等三角形的判定、锐角的性质，难度不大．9．如图，对任意的五角星，结论正确的是（　　）A．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝90° B．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180° C．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝270° D．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝360°【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得到∠1＝∠2+∠D，∠2＝∠A+∠C，根据三角形内角和定理得到答案．【解答】解：∵∠1＝∠2+∠D，∠2＝∠A+∠C，∴∠1＝∠A+∠C+∠D，∵∠1+∠B+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．10．如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（　　）A．60° B．70° C．80° D．90°【分析】根据三角形内角和定理可求得∠DBC+∠DCB的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC+∠ACB的度数，从而不难求得∠A的度数．【解答】解：连接BC．∵∠BDC＝130°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣130°＝50°，∵∠BGC＝100°，∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣100°＝80°，∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，∴∠GBD+∠GCD＝∠ABD+∠ACD＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝110°，∴∠A＝180°﹣110°＝70°．故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．二．填空题（共8小题）11．把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式是　“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”　．【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论解答．【解答】解：把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式，是“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，故答案为：“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”．【点评】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．12．如图，已知△ABC≌△ADE，∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB的度数是　20　度．【分析】根据全等三角形的性质得到∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD，根据三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE＝×（100°﹣60°）＝20°，∵∠B＝∠D，∠BGA＝∠DGF，∴∠DFB＝∠BAD＝20°，故答案为：20．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．13．将两块分别含有30°和45°角的直角三角板按如图所示叠放，若∠1＝∠2，则∠3＝　67.5　°．【分析】根据等角的余角相等得到∠3＝∠4，再根据三角形内角和定理和∠5的度数即可得到结论．【解答】解：如图，∵∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵∠5＝45°，∴∠3＝∠4＝（180°﹣45°）＝67.5°，故答案为：67.5．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．14．如图AB＝DC，若要证明△ABC≌△DCB，需要补充的一个条件是　AC＝DB或∠ABC＝∠DCB　（写出一个即可）．【分析】由图形可知BC为公共边，则可再加一组边相等或一组角相等，可求得答案．【解答】解：∵AB＝DC，BC＝CB，∴可补充AC＝DB，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）；可补充∠ABC＝∠DCB，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），故答案为：AC＝DB或∠ABC＝∠DCB．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．15．如图，将面积相等的正方形ABCD和直角三角形CEF叠放在一起，则图中阴影部分的面积是　ab　．（用含a、b的代数式表示）【分析】由题意可知，正方形ABCD的面积﹣非阴影的面积＝直角三角形CEF﹣非阴影的面积，进而即可求得阴影部分的面积．【解答】解：由题意可知正方形ABCD的面积﹣非阴影的面积＝直角三角形CEF﹣非阴影的面积，∴阴影的面积＝2×ab＝ab，故答案为ab．【点评】本题考查了三角形的面积，根据题意得出正方形ABCD的面积﹣非阴影的面积＝直角三角形CEF﹣非阴影的面积是解题的关键．16．举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题　∵两个不相等的角互为补角，∴这两个角一个角大于90°，一个角小于90°，即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题　．【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．【解答】解：∵两个不相等的角互为补角，∴这两个角一个角大于90°，一个角小于90°，即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题；故答案为：∵两个不相等的角互为补角，∴这两个角一个角大于90°，一个角小于90°，即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题．【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．17．如图：△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，那么CF的长为　3　．【分析】利用全等三角形的性质可得EF＝BC＝7，再解即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝7，∵EC＝4，∴CF＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．18．如图，已知∠A＝∠D，EF∥BC，请在空格上添加一个适当的条件，使得△ABC≌△DEF，则添加的这个条件是　AC＝DF或AF＝CD　（只要填上一个满足的条件即可，多填不多给分）．【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠ACB，∵∠D＝∠A，∴当DF＝AC时，△ABC≌△DEF（ASA），∴可以添加条件：AC＝DF或AF＝CD．故答案为：AC＝DF或AF＝CD．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三．解答题（共6小题）19．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可；（2）利用全等三角形的性质进行解答．【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．20．小明想知道一堵墙上点A的高度（AO⊥OD），但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案，请你先补全方案，再说明理由．第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠　OCD　＝∠　ABO　．标记此时直杆的底端点D；第三步：测量　OD　的长度，即为点A的高度．说明理由：【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：OCD，ABO，OD；理由：在△AOB与△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴OA＝OD．故答案为：OCD，ABO，OD．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．21．已知：两边及其夹角，线段a，c，∠α．求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）请你根据所学的知识，说明尺规作图作出∠ABC＝∠α，用到的是三角形全等判定定理中的 　SSS　，作出的△ABC是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的 　SAS　．【分析】先利用“SSS”作∠ABC＝∠α，再分别截取BA＝c，BC＝a，从而得到△ABC，并且利用“SAS”可判断△ABC是唯一的．【解答】解：如图，△ABC为所作；用到的是三角形全等判定定理中的“SSS”，作出的△ABC是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的“SAS”．故答案为SSS，SAS．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．22．如图，点A、B、C、D在一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠FBD，CE∥DF，求证：CE＝DF．【分析】依题意可求证△AEC≌△BFD易求CE＝DF．【解答】证明：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD，∵CE∥DF，∴∠D＝∠ECA，在△AEC与△BFD中，，∴△AEC≌△BFD（ASA），∴CE＝DF．【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．23．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，ED＝BD．（1）求证：△ABD≌△CED；（2）若∠ACE＝22°，则∠B的度数为　67°　．【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△CED即可；（2）由全等三角形的性质，即可得出答案．【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠CDE＝90°，在Rt△ADB与Rt△CDE中，，∴Rt△ADB≌Rt△CDE（HL）；（2）∵Rt△ADB≌Rt△CDE，∴AD＝CD，∴△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝45°﹣22°＝23°，∴∠CED＝90°﹣23°＝67°，∴∠B＝∠CED＝67°，故答案为：67°．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线定义，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．24．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，求t的值．【分析】分三种情况讨论，由全等三角形的判定和性质可求解．【解答】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC＝CQ，∴5﹣2t＝6﹣3t，∴t＝1，当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC＝CQ，∴5﹣2t＝3t﹣6，∴t＝，当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC＝CQ，∴2t﹣5＝18﹣3t，∴t＝，综上所述：t的值为1或或．【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定和用分类讨论的思想解决问题是本题的关键．