苏科版数学八上专题18 期末压轴大题精练（一）（五大考点）（期末真题精选 ）（2份，原卷版+解析版）

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一．函数的图象
1．【直观想象】如图1，动点P在数轴上从负半轴向正半轴运动，点P到原点的距离先变小再变大，当点P的位置确定时，点P到原点的距离也唯一确定；
【数学发现】当一个动点P（x，0）到一个定点的距离为d，我们发现d是x的函数；
【数学理解】（1）动点P（x，0）到定点A（2，0）的距离为d，当x＝ 时，d取最小值；
【类比迁移】（2）设动点P（x，0）到两个定点M（1，0）、N（3，0）的距离和为y．
①随着x增大，y怎样变化？
②在给出的平面直角坐标系中画出y关于x的函数图象；
③当y＞6时，x的取值范围是 ．
二．一次函数的应用--行程类
2．甲、乙两地间的直线公路长为400km．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1h，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1h后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（km）与轿车所用的时间x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是 km/h；轿车的速度是 km/h，t值为 ；
（2）求轿车距其出发地的距离y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）货车出发多长时间两车相距155km？
三．一次函数综合题
3．一次函数y＝3x+m的图象经过（﹣1，3），且与x轴、y轴分别交于点A、点B，一次函数y＝k（x﹣3）的图象经过点B，且交x轴于点C．
（1）求m、k的值；
（2）当3x+m＜k（x﹣3）时，求x的取值范围；
（3）求∠ABC的度数；
（4）爱动脑筋的小颖同学继续研究发现y轴上存在点Q，使得∠AQC＝2∠ABC．亲爱的同学，请你求出Q点的坐标．
4．[模型建立]
如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”，接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
[模型运用]
（1）如图1，若AD＝2，BE＝4，则△ABC的面积为 ；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点C坐标为（0，﹣2），点A坐标为（4，0），将线段CA绕点C逆时针旋转90°，得线段CB，连接线段AB，则点B坐标为 ；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，直线l函数关系式为y＝2x+1交x轴于点B，若将直线l绕点B顺时针旋转45°得直线l′，问：直线l'是否经过点A（，1），请说明理由，．
[模型拓展]
（4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点B（0，4），P是直线y＝2x﹣5上一点，将线段BP延长至点Q，使BQBP，将线段BQ绕点B顺时针旋转45°后得BA，直接写出OA的最小值为 （结果精确到0.1）
5．如图，在平面直角坐标系中，直线l：yx+b（b＜0）与x轴交于点C．点D为直线l上第一象限内一点，过D作DE⊥y轴于点E，CA⊥DE于点A．点B在线段DA上，DB＝AC．连接CB，P为线段CB上一动点，过点P作PR⊥x轴，分别交x轴、CD、DE于点R、Q、S．
（1）若点D坐标为（12，3）．
①求直线BC的函数关系式；
②若Q为RS中点，求点P坐标．
（2）在点P运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．
6．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线分别与x轴、y轴交于D、B两点，点C（﹣3，m）是BD上一点．
（1）b＝ ，m＝ ．
（2）试判断线段CA与线段BA之间的关系，并说明理由；
（3）如图2，若点Q（0，﹣1）是y轴上一点，点M是直线AB上一动点，点N是直线BD上一动点，当△MNQ是以点Q为直角顶点的等腰三角形时，请直接写出相应的点M、N的坐标．
7．（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系xOy中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（2，3）处．则：
①OA的长为 ；
②点B的坐标为 ．
（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系xOy中，将等腰Rt△ACB如图放置，直角顶点C（﹣2，0），点A（0，5），试求直线AB的函数表达式．
（3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点B（5，4），过点B作BA⊥y轴，垂足为点A，作BC⊥x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝3x﹣10上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰Rt△APQ，若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
8．如图1，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0）、与y轴交于点B（0，﹣3）．
（1）直线l1的表达式为 ；
（2）若直线l1上有一点M（﹣2，﹣2），y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标；
（3）如图2，直线l2：与直线l1交于点C，点D（0，3），直线l2上是否存在一点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
9．给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1（a，b），P2（c，b），P3（c，d），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“最短间距”．
例如：如图，点P1（﹣1，2），P2（1，2），P3（1，3）的“最短间距”是1（即P2P3的长）．
（1）点Q1（2，1），Q2（4，1），Q3（4，4）的“最短间距”是 ；
（2）已知点O（0，0），A（﹣3，0），点B（﹣3，y）在第三象限．
①若点O，A，B的“最短间距”是1，求y的值；
②点O，A，B的“最短间距”的最大值为 ；
（3）已知直线l与坐标轴分别交于点C（0，3）和D（4，0），点P（m，n）是线段CD上的一个动点．当点O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最短间距”取到最大值时，则此时点P的坐标 ．
10．对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“顺转点”，图1为点P关于点A的“顺转点”Q的示意图．
【知识理解】
（1）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“顺转点”为点Q．
①若点P的坐标为（1，0），则点Q的坐标为 ；
②当点P的坐标为 时，点Q的坐标为（2，﹣1）；
③△PAQ是 三角形；
【知识运用】
（2）如图2，已知直线yx+1与x轴交于点A．
①点B的坐标为（1，0），点C在直线yx+1上，若点C关于点B的“顺转点”在坐标轴上，则点C的坐标为 ；
②点E在直线yx+1上，点E关于点A的“顺转点”为点F，则直线AF的表达式为 ；
【知识迁移】
（3）如图3，已知直线l1：y＝﹣2x+2与y轴交于点A，直线l2经过点A，l1与l2在A点相交所形成的夹角为45°，则直线l2的函数表达式为 ；
（4）点A是平面直角坐标系内一点，点P（2，0）关于点A的“顺转点”为点B，点B恰好落在直线y＝﹣x上．当线段AP最短时，点A的坐标为 ．
11．如图1，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，将点A绕着点B顺时针旋转90°到C的位置．
（1）若点C的横坐标为：﹣2，求直线AB的函数表达式；
（2）如图2，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴相交于点E，过点C作CD⊥AE于点D，试探究AE与CD的数量关系；
（3）如图3，将点O绕着点B逆时针旋转90°到点D，连接DC，在点B的运动过程中，CD与y轴相交于点F，则线段BF的长度是否改变？若不变，求出BF的长度，若改变，请说明理由．
12．如图，已知直线yx+4分别与x，y轴交于点A、B，与直线y＝kx相交于点C（2，n），点P为直线yx+4上一点．
（1）n＝ ，k＝ ；
（2）若点P在射线CA上，且S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标．
（3）若△POC的面积为1，求点P的坐标．
（4）点Q在函数y＝|x+4|的图象上，若△QOC的面积为m（m为常数且m＞0），试确定满足条件的点Q的个数（直接写出结果）．
13．已知：如图，一次函数yx﹣3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC．
（1）直线CD的函数表达式为 ；点D的坐标 ；（直接写出结果）
（2）点P为线段DE上的一个动点，连接BP．
①若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，试求点P的坐标；
②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为（0，8）、（10，0），点D是BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，点F是直线AD与x轴的交点，连接CF．
（1）点C坐标为 ；
（2）求直线AD的函数表达式 ；
（3）点P是直线AD上的一点，当△CFP是直角三角形时，请你直接写出点P的坐标．
四．平面展开-最短路径问题
15．如图①，长方体长AB为8cm，宽BC为6cm，高BF为4cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．
（2）设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图②），则OE＝OF＝OG＝OH＝5cm．
①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为 cm；
②当点P在BC边上，设BP长为acm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）．
五．三角形综合题
16．我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的长度有关问题，这种方法称为面积法．
【问题探究】在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图②，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，S△ABD：S△ACD（用含m，n的代数式表示）＝ ；
【解决问题】如图③，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，求BD的长度．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B、C的坐标分别为（0，0）、（6，0），A是第一象限内的一点，且△ABC是等边三角形．点D的坐标为（2，0），E是边AB上一动点，连接DE，以DE为边在DE右侧作等边△DEF．
（1）求出A点坐标；
（2）当点F落在边AC上时，△CDF与△BED全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由；
（3）连接CF，当△CDF是等腰三角形时，直接写出BE的长度．
18．定义：若一个三角形中有一个是直角，称此三角形为Ⅰ类美丽三角形；
若一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，称此三角形为Ⅱ类美丽三角形；
若一个三角形中有一个角是另一个角的3倍，称此三角形为Ⅲ类美丽三角形；
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形合称为美丽三角形．
如图1中的△ABC中，∠C＝90°，则△ABC是Ⅰ类美丽三角形；
如图2中的△ABC中，∠C＝2∠B＝2α，则△ABC是Ⅱ类美丽三角形；
如图3中的△ABC中，∠C＝3∠B＝3α，则△ABC是Ⅲ类美丽三角形；
结论1：美丽三角形都可以用一条过某一顶点的直线分割成两个等腰三角形．
（1）请在图1、2、3中分别用尺规作图作出分割线（不要求写作法，保留作图痕迹），并用字母表示出相等的边．
（2）如图4，一个含有20°和15°角的三角形，再拼上一个三角形后就可以拼成一个美丽三角形，图5就是其中的一种拼法．请在该三角形的三边上各拼上一个三角形，使之成为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形各一个，在备用图中分别画出来并在图上标出所拼三角形的三个角的度数．（每边只能使用一次）
结论2：如果过一个等腰三角形某一顶点的直线可以把它分割成两个等腰三角形，那么这个三角形称为特美丽三角形．
（3）请画出所有特美丽三角形，并画出分割线、标出图中相等的角并写出特美丽三角形顶角的度数．
19．如图，在平面直角坐标系中，∠ABO＝90°，∠A＝30°，B点坐标为（0，4），点C为AB的中点，动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿线段AO向终点O运动，运动时间为t秒（t＞0），连接CD，作点A关于直线CD的对称点P．
（1）若点P恰好落在AO上，求t的值；
（2）若CP⊥OA，求t的值；
（3）当t≠2时，∠APB的度数是否会发生变化？若保持不变，请求出∠APB的度数；若发生变化，请说明理由．
20．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝∠90°，∠BAC＝30°，BC．点D是AC边上一点，AD＝2，点M是线段AB上一动点（不与A、B重合）．在直线DM左侧作等腰△DMN，满足MD＝MN，∠DMN＝∠ADB，连接BD、BN、AN．
（1）若点M是线段AB的中点，则∠NAD＝ ，△BDN的面积是 ；
（2）在点M的运动过程中，△BDN的面积是否变化？若不变，求出△BDN的面积；若受化，请说明理由；
（3）点N随着点M的运动而运动，请直接写出线段DN的取值范围 ．