苏科版数学八上期末专题复习专题12 轴对称30大高频考点（期末真题精选）（2份，原卷版+解析版）

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实战训练
一．生活中轴对称
1．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点D 点．
试题分析：要击中点N，则需要满足点M反弹后经过的直线过N点，画出反射路线即可得出答案．
答案详解：解：
可以瞄准点D击球．
所以答案是：点D．
2．数的运算中含有一些有趣的对称形式，如12×231＝132×21，按照此等式的形式填空：12×462＝ 264 × 21 ； 18 ×891＝ 198 ×81．
试题分析：分析题目中算式可得：各个数字关于等号是“轴对称”；依据所给例子的形式填空，并通过计算验证等式．
答案详解：解：（1）12×462＝5544＝264×21；
（2）18×891＝3564＝198×81．
所以答案是：264，21；18，198．
二．轴对称图形的辨析
3．在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，对称轴最多的图形是 等边三角形 ．
试题分析：根据轴对称及对称轴的定义，进行填空即可．
答案详解：解：在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，是轴对称图形的有线段、角、等边三角形；角都有一条对称轴，线段有两条对称轴，等边三角形有3条对称轴，
所以对称轴最多的是：等边三角形．
所以答案是：等边三角形．
4．如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 5 个．
试题分析：根据轴对称图形的定义与判断可知．
答案详解：解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，
分别为△ABD，△BCE，△GHF，△EMN，△AMQ，共有5个．
所以答案是：5．
5．线段是轴对称图形，它的对称轴是 线段的垂直平分线或线段本身所在的直线 ；角是轴对称图形，它的对称轴是 角的平分线所在直线 ．
试题分析：根据轴对称图形的概念求解．
答案详解：解：线段是轴对称图形，它的对称轴是：线段的垂直平分线或线段本身所在的直线；
角是轴对称图形，它的对称轴是：角的平分线所在直线．
所以答案是：线段的垂直平分线或线段本身所在的直线；角的平分线所在直线．
三．镜面对称
6．有两面可绕一立轴转动的立式镜，我站在这两面镜手前的一个点上，这个点位于镜面夹角的角平分面上．若两镜面的夹角为50°，我将可以看到自己的镜像数为（ ）
A．10B．8C．6D．4
试题分析：可画出一个圆，以及圆心角为50°的一个角，利用圆心角内有一点A，分别作出点A关于两面镜子的多次反射，数出相关的像即可．
答案详解：解：物体A在每面镜子中各有一个初始镜像A1和A1′．
∵它们在对面的镜子中又会产生镜像，A1′的镜像为A2，A1的镜像为A2′．
∴一面镜子就反射出了一系列的镜像：A1，A2，A3，An，另一面镜子则对称地反射出镜像A1′，A2′，A3′…An′．
由图中可以看出总共会得到6个镜像．
所以选：C．
四．剪纸类
7．将一个正方形纸片对折后对折再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
试题分析：严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．
答案详解：解：将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是：
所以选：A．
8．如图，从△ABC的纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．若∠1+∠2＝230°，则∠C＝（ ）
A．230°B．130°C．50°D．110°
试题分析：根据∠1+∠2的度数，再利用四边形内角和定理得出∠A+∠B的度数，即可得出∠C的度数
答案详解：解：∵四边形ABDE的内角和为360°，且∠1+∠2＝230°．
∴∠A+∠B＝360°﹣230°＝130°．
∵△ABC的内角和为180°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）
＝180°﹣130°＝50°．
所以选：C．
五．设计轴对称图案
9．如图是5个小正方形纸片拼成的图形，现将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形，在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有（ ）
A．0对B．1对C．2对D．3对
试题分析：将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形，进而得出结论．
答案详解：解：如图所示：
在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有3对，
所以选：D．
六．轴对称的性质
10．如图，点P为∠AOB内部任意一点，点P与点P1关于OA对称，点P与点P2关于OB对称，OP＝4，∠AOB＝45°，则△OP1P2的面积为 8 ．
试题分析：根据轴对称的性质，可得OP1、OP2的长度等于OP的长，∠P1OP2的度数等于∠AOB的度数的两倍，再根据直角三角形的面积计算公式解答即可．
答案详解：解：∵点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，
∴OP1＝OP＝OP2＝4，且∠P1OP2＝2∠AOB＝90°．
∴△P1OP2是直角三角形，
∴△OP1P2的面积为4×4＝8，
所以答案是：8．
11．如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC的内部，若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，则∠DAE的度数为 36° （用含n的式子表示）．
试题分析：由矩形的性质和折叠的性质即可得出答案．
答案详解：解：如图，设∠BAD′＝x，则∠CAE＝2x，
由翻折变换的性质可知，∠DAE＝∠EAD′＝2x+n，
∵∠DAB＝90°，
∴4x+2n+x＝90°，
∴x（90°﹣2n），
∴∠DAE＝2（90°﹣2n）+n36°．
所以答案是：36°．
七．：轴对称与最值
12．如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝4，BE＝4，AB＝8，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是 12 ．
试题分析：如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．证明△CMN是等边三角形，再根据DE≤DM+MN+EN，当D，M，N，E共线时，DE的值最大．
答案详解：解：如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．
由题意AD＝EB＝4，AC＝CB＝4，DM＝CM＝CN＝EN＝4，
∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC，
∵∠DCE＝120°，
∴∠ACD+∠BCE＝60°，
∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN，
∴∠ACM+∠BCN＝120°，
∴∠MCN＝60°，
∵CM＝CN＝4，
∴△CMN是等边三角形，
∴MN＝4，
∵DE≤DM+MN+EN，
∴DE≤12，
∴当D，M，N，E共线时，DE的值最大，最大值为12，
所以答案是：12．
13．如图，点C，D在AB的同侧，AC＝5，AB＝10，BD＝10，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是 15+5 ．
试题分析：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
答案详解：解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝5+510＝15+5，
∴CD的最大值为15+5，
所以答案是15+5．
14．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为 ．
试题分析：连接AD，取AD中点G，连接EG、FG，过点A作AH⊥BC于H，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得∠EGF＝2∠EAF，再由∠B＝45°，∠C＝75°得∠EGF＝120°，即有EFEG，使EF最小，即要使EG最小，即要使EG+GF＝AD最小，故求出AH即可解决问题．
答案详解：解：如图，连接AD，取AD中点G，连接EG、FG，过点A作AH⊥BC于H，
∵DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°，
∴EG＝GF＝0.5AD＝AG＝GD，
∴∠EAG＝∠AEG，∠GAF＝∠AFG，
∴∠EGF＝2∠EAF，
∵∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠EGF＝120°，
∴EFEG，
要使EF最小，即要使EG最小，即要使EG+GF＝AD最小，
∵点到直线垂线段最短，
∴AD最小为AH，
∵∠B＝45°，
∴AB，
∴AH＝2，
∴EG最小值为，
∴EF最小值为．
解法二：延长DE到M，使得EM＝DE，延长DF到N使得FN＝DF，连接ANM，AM，MN．
∵EFMN，
∴MN最小时，EF的值最小，
∵当AD最小时，MN的值最小，AD的最小值为2，
∴MN的最小值为2，
∴EF的最小值为．
所以答案是：．
15．如图，在锐角△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，S△ABC＝8，点P是边BC上的一动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别是M，N，连接MN，则MN的最小值为 ．
试题分析：由轴对称的性质得出MN＝AP，即可求解．
答案详解：解：连接PM，PN，AM，AP，AN，ρ
∵点P关于直线AB，AC的对称点分别是M，N，
∴AB垂直平分PM，AC垂直平分PN，
∴AM＝AP，AN＝AP，
∴∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，
∵∠PAB+∠PAC＝30°，
∴∠MAB+∠NAC＝30°，
∴∠MAN＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴MN＝AM＝AP，
当AP⊥CB时，AP最小，此时NM最小，
∵S△ABC＝8，
∴BC•AP＝8，
∴AP，
∴MN的最小值是，
所以答案是：．
八．作图：轴对称的变换
16．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，△A′B′C′和△ABC关于直线l成轴对称，其中A′点的对应为A点．
（1）请画出△A′B′C′，并标出相应的字母；
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△A′B′C′的面积．
试题分析：（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用三角形面积求法得出答案．
答案详解：解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；
（2）△A′B′C′的面积为：2×4＝4．
17．如图，在平面直角坐标系的网格中，其最小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A'B'C'，并写出△A'B'C'三个顶点的坐标；
（2）判断△A'B'C'的形状，并简单加以说明．
试题分析：（1）先作出三角形各顶点的对称点，连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形，进而得到△A'B'C'三个顶点的坐标；
（2）先依据DB'＝EA'，∠A'DB'＝∠C'EA'，A'D＝C'E，判定△A'DB'≌△C'EA'，即可得到A'B'＝A'C'．
答案详解：解：（1）作出的△A'B'C'如图所示．
△A'B'C'顶点的坐标A'（2，﹣3）、B'（﹣3，﹣1）、C'（0，2）．
（2）△A'B'C'是等腰三角形；
理由：如图所示，∵DB'＝EA'，∠A'DB'＝∠C'EA'，A'D＝C'E，
∴△A'DB'≌△C'EA'，
∴A'B'＝A'C'，
即△A'B'C'是等腰三角形．
九．角平分线的性质
18．如图，已知△ABC的周长是18，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积是 27 ．
试题分析：过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，连接OA，根据角平分线的性质可得OE＝OD＝OF，进一步求△ABC的面积即可．
答案详解：解：过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，连接OA，如图所示：
∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
∵OD＝3，△ABC的周长为18，
∴△ABC的面积＝S△AOB+S△AOC+S△BOC


18×3
＝27，
所以答案是：27．
19．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝3，点Q是射线OM上一个动点，若PQ＝m，则m的取值范围是 m≥3 ．
试题分析：过P作PE⊥OM于E，当Q和E重合时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PE＝PA，即可求出答案．
答案详解：解：如图，过P作PE⊥OM于E，当Q和E重合时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝3，
∴PE＝PA＝3，
即PQ的最小值是3，
∴m≥3．
所以答案是：m≥3．
20．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是30、40、50，∠ABC和∠ACB的角平分线交于O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
试题分析：过O分别作OE⊥AB，FO⊥BC，OD⊥AC，根据角平分线的性质可得EO＝DO＝FO，再根据三角形的面积公式可得S△ABO：S△BCO：S△CAO＝30：40：50＝3：4：5．
答案详解：解：过O分别作OE⊥AB，FO⊥BC，OD⊥AC，
∵BO是∠ABC平分线，
∴EO＝FO，
∵CO是∠ACB平分线，
∴EO＝DO，
∴EO＝DO＝FO，
∵S△ABOAB•EO，S△BCOCB•FO，S△CAOAC•DO，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝30：40：50＝3：4：5．
所以选：D．
十．角平分的性质与面积
21．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是 50 ．
试题分析：根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．
答案详解：解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABD，OD⊥BC于点D，
∴OD＝OE＝5，
∴△AOB的面积，
所以答案是：50．
22．如图，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 27 ．
试题分析：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质得出OE＝OD＝OF＝3，求出△ABC的面积S＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，再求出答案即可．
答案详解：解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，OD＝3，
∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，
∵△ABC的周长为18，
∴AB+BC+AC＝18，
∴△ABC的面积S＝S△AOB+S△BOC+S△AOC

AB×3BC×3
（AB+BC+AC）
18
＝27，
所以答案是：27．
23．已知点O是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为24cm，面积为36cm2，则点O到AB的距离为 3 cm．
试题分析：连接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
答案详解：解：连接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，
∵OB平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD＝OE，
同理，OD＝OE＝OF，
则AB•ODAC•OFCB•OE＝36，即（AB+AC+BC）×OD＝36，
∴OD＝3（cm），
所以答案是：3．
十一．角平分线的判定
24．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离相等（即OF＝OD＝OE），若∠BAC＝80°，则∠BOC（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
试题分析：由角平分线的判定即可推出∠OBC＝∠ABO，∠OCB＝∠ACO，再根据三角形内角和定理即可求解．
答案详解：解：∵OF＝OD，OF⊥BF，OD⊥BD，
∴BO是∠FBD的角平分线，
同理可得CO是∠ACB的角平分线，
∴∠OBC＝∠ABO，∠OCB＝∠ACO，
∴∠OBC+∠OCB
＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
所以选：C．
25．东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（ ）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
试题分析：根据角平分线的性质定理可得点H在∠BAC的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，然后利用等式的性质可得△ABH的面积＝△CBH的面积，即可解答．
答案详解：解：如图：
∵AD平分∠BAC，点H在AD上，
∴点H到AB、AC的距离相等，
∵BE是AC边上的中线，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，
∴△ABE的面积﹣△AHE的面积＝△BCE的面积﹣△CHE的面积，
∴△ABH的面积＝△CBH的面积，
∴凉亭H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点，
所以选：A．
十二．垂直平分线的性质
26．如右图：AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，则AB＝ 8.5 cm．
试题分析：根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据题意和三角形的周长公式计算即可．
答案详解：解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
由题意得，AC＝AB﹣3，
△ACD的周长＝AD+DC+AC＝AD+BD+AB﹣3＝2AB﹣3＝14，
解得，AB＝8.5，
所以答案是：8.5．
27．如图，在△ABC中，AB、AC的中垂线GF、DE分别交BC于点F、E，连接AE、AF，∠B+∠C＝50°，那么∠FAE的度数是（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
试题分析：由线段垂直平分线的性质可得AF＝BF，AE＝CE，即可得∠B＝∠BAF，∠C＝∠CAE，再利用三角形的内角和定理可求解．
答案详解：解：∵AB、AC的中垂线GF、DE分别交BC于点F、E，
∴AF＝BF，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAF，∠C＝∠CAE，
∵∠B+∠C＝50°，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝130°，∠BAF+∠CAE＝50°，
∴∠FAE＝130°﹣50°＝80°，
所以选：A．
十三．垂直平分线的判定
28．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
（2）求证：EF垂直平分AD．
试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝AEAB，DF＝AFAC，再根据四边形的周长的定义计算即可得解；
（2）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可．
答案详解：（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AEAB10＝5，DF＝AFAC8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝5+5+4+4＝18；
（2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴EF垂直平分AD．
十四．角平分线与垂直平分线的融合
29．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．
试题分析：连EB、EC，根据角平分线性质得EF＝EG；根据垂直平分线的性质得EB＝EC；再根据“HL”定理证明Rt△EFB≌Rt△EGC，从而得BF＝CG．
答案详解：解：相等．
证明如下：连EB、EC，
∵AE是∠BAC的平分线，
且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，
∴EF＝EG．
∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，
∴EB＝EC．
∴Rt△EFB≌Rt△EGC，
∴BF＝CG．
十五．等腰三角形的性质
30．如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（ ）
A．190°B．195°C．200°D．210°
试题分析：根据已知易证CA＝CB，所以想到等腰三角形的三线合一性质，过点C作CD⊥AB，垂足为D，延长BO交CD与点P，然后连接AP，易证∠CAP＝∠CBP＝18°，从而求出∠PAO＝18°，再利用三角形的外角求出∠POA的度数，放在直角三角形中求出∠ACP的度数，进而证△ACP≌△AOP，可得AC＝AO，最后放在等腰三角形ACO中求出∠ACO即可．
答案详解：解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，延长BO交CD与点P，连接AP，
∵∠OBC＝18°，∠CBA＝48°，
∴∠ABP＝∠CBA﹣∠OBC＝30°，
∵∠CAB＝∠CBA＝48°，
∴CA＝CB，
∵CD⊥AB，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∴∠CAP＝∠CAB﹣∠PAB＝18°，
∵∠AOP是△AOB的一个外角，
∴∠AOP＝∠OAB+∠OBA＝42°，
∵∠CDA＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝42°，
∴∠AOP＝∠ACD，
∵∠PAB＝30°，∠OAB＝12°，
∴∠PAO＝∠PAB﹣∠OAB＝18°，
∴∠CAP＝∠OAP，
∵AP＝AP，
∴△ACP≌△AOP（AAS），
∴AC＝AO，
∵∠CAO＝∠CAP+∠OAP＝36°，
∴∠ACO＝∠AOC＝72°，
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝138°，
∴∠ACO+∠AOB＝210°，
所以选：D．
31．求证：等腰三角形两底角的平分线相等．
试题分析：根据等腰三角形的两底角相等可得到∠ABC＝∠ACB，再根据角平分线的性质可得到∠BCE＝∠CBF，从而可利用ASA判定△BCE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等即可证得结论．
答案详解：已知：△ABC中，AB＝AC，BF，CE分别∠ABC，∠ACB的角平分线．
求证：BF＝CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BF，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠BCE＝∠CBF，
∵∠ABC＝∠ACB，BC＝BC，
∴△BCE≌△CBF，
∴BF＝CE，即等腰三角形两底角的平分线相等．
32．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
试题分析：设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
答案详解：解：设∠A＝x．
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x；
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x，
∴∠DBC＝x；
∵x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．
十六．考点16：等腰三角形的判定
33．如图，已知△ABC，CD平分它的外角∠BCE，AB∥CD，证明：△ABC为等腰三角形．
试题分析：利用角平分线的定义可得∠BCD＝∠DCE，再利用平行线的性质可得∠B＝∠BCD，∠A＝∠DCE，从而可得∠A＝∠B，然后利用等角对等边，即可解答．
答案详解：证明：∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD，∠A＝∠DCE，
∴∠A＝∠B，
∴CA＝CB，
∴△ABC为等腰三角形．
34．如图，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB．
（1）求∠BPC的度数；
（2）连接EF，求证：△EFP是等腰三角形．
试题分析：（1）根据三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，根据角平分线定义得出∠ABE＝∠CBEABC，，求出∠CBE+∠BCF∠ABCACB＝60°，再根据三角形内角和定理求出答案即可；
（2）在BC上截取BQ＝BF，连接PQ，根据全等三角形的判定得出△FBP≌△QBP，根据全等三角形的性质得出FP＝QP，∠BFP＝∠BQP，求出∠CEP＝∠CQP，根据全等三角形的判定得出△CQP≌△CEP，根据全等三角形的性质得出EF＝QP，求出FP＝EP即可．
答案详解：（1）解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABE＝∠CBEABC，，
∴∠CBE+∠BCF∠ABCACB60°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠CBE+∠BCF）＝180°﹣60°＝120°；
（2）证明：在BC上截取BQ＝BF，连接PQ，
在△FBP和△QBP中，
，
∴△FBP≌△QBP（SAS），
∴FP＝QP，∠BFP＝∠BQP，
∵∠A＝60°，∠FPE＝∠BPC＝120°，
∴∠AFP+∠AEP＝360°﹣60°﹣120°＝180°，
∴∠BFP+∠CEP＝180°，
∵∠CQP+∠BQP＝180°，
∴∠CEP＝∠CQP，
在△CQP和△CEP中，
，
∴△CQP≌△CEP（AAS），
∴EF＝QP，
∵FP＝QP，
∴FP＝EP，
∴△EFP是等腰三角形．
十七．考点17：格点等腰三角形
35．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点；已知A，B是两格点，若C点也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 10 个．
试题分析：分三种情况，CA＝CB，AB＝AC，BA＝BC．
答案详解：解：如图：
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，符合条件的点有6个，
当AB＝AC时，以A为圆心，AB长为半径作圆，符合条件的点有2个，
当BA＝BC时，以B为圆心，BA长为半径作圆，符合条件的点有2个，
综上所述，△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有10个，
所以答案是：10．
36．如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 a＝4或a＞8 ．
试题分析：分两种情况，①作线段MN的垂直平分线交OB于点P，连接PM，PN，过点M作MH⊥OB于点H，当MH＝MN时，a＝8，即可求出a的取值范围；②当△PMN是等边三角形时，根据等边三角形的性质可得OM＝MP＝MN，求出a，即可确定a的取值范围．
答案详解：解：①作线段MN的垂直平分线交OB于点P，连接PM，PN，如图所示：
则PM＝PN，此时△PMN是等腰三角形，
过点M作MH⊥OB于点H，
当MH＞MN，满足条件的点P恰好只有一个，
∵MN＝4，∠AOB＝30°，
当MH＝4时，OM＝2MH＝8，
∴当a＞8时，满足条件的点P恰好只有一个，
②当△PMN是等边三角形时，满足条件的点P恰好只有一个，
此时MN＝MP，∠NMP＝60°，
∵∠AOB＝30°，
∴∠MPO＝30°，
∴OM＝MP＝MN＝4，
∴a＝4，
综上，满足条件的a的取值范围：a＝4或a＞8，
所以答案是：a＝4或a＞8．
十八．图形的存在性之等腰
37．如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是 100°或55°或70° ．
试题分析：作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解．
答案详解：解：①如图1，点P在AB上时，AP＝AC，顶角为∠A＝100°，
②∵∠B＝25°，∠A＝100°，
∴∠C＝180°﹣25°﹣100°＝55°，
如图2，点P在BC上时，若AC＝PC，顶角为∠C＝55°，
如图3，若AC＝AP，则顶角为∠CAP＝180°﹣2∠C＝180°﹣2×55°＝70°，
当PA＝PC时，则∠C＝∠PAC＝55°，
∴顶角＝180°﹣2×55°＝70°，
综上所述，顶角为100°或55°或70°．
所以答案是：100°或55°或70°．
38．在△ABC中，∠A＝40°，当∠C＝ 40°或70°或100° 时，△ABC为等腰三角形．
试题分析：分三种情形分别讨论即可解决问题；
答案详解：解：①当AB＝AC时，
∵∠A＝40°，
∠C＝∠B＝70°．
②当CA＝CB时，
∵∠A＝∠B＝40°，
∴∠C＝100°．
③当BA＝BC时，
∴∠C＝∠A＝40°，
综上所述，∠C的值为40°或70°或100°，
所以答案是40°或70°或100°．
39．如图，等边△ABC的边长为12cm，M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边顺时针运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N两点同时停止运动，则当M，N运动时间t＝ 4或16 s时，△AMN为等腰三角形．
试题分析：分两种情况求解：如图1，由可得AN＝AM，可列方程求解；如图2，首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．
答案详解：解：如图1，设点M、N运动x秒后，AN＝AM，
由运动知，AN＝（12﹣2x）cm，AM＝xcm，
∴12﹣2x＝x，
解得：x＝4，
∴点M、N运动4秒后，△AMN是等腰三角形；
如图，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∠C＝∠B，∠AMC＝∠ANB，AC＝AB，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝（y﹣12）cm，NB＝（36﹣2y）cm，
∵CM＝NB，
∴y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴点M、N运动时间为4秒或16秒时，△AMN为等腰三角形．
所以答案是：4或16．
十九．考点19:等腰三角形的性质与判定综合
40．如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
（1）判断△CEF的形状，并说明理由；
（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．
试题分析：（1）根据平行线的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到AB＝BC，CF＝CE＝4．推出BD是线段AC的垂直平分线，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD．根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，于是得到结论．
答案详解：解：（1）△CEF是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵AB∥DE，
∴∠CEF＝∠ABC＝60°，
∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，△CEF是等边三角形，
∴AB＝BC，CF＝CE＝4．
∵AD＝CD，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵AB∥DE，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BE＝DE．
∵BC＝BE+EC＝DE+CF，
∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．
41．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．
（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．
试题分析：（1）由等边三角形的性质得出AE＝BE，∠BCE＝30°，再根据ED＝EC，得出∠D＝∠BCE＝30°，再证出∠D＝∠DEB，得出DB＝BE，从而证出AE＝DB；
（2）作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE＝EF，再证明三角形全等，得出DB＝EF，证出AE＝DB．
答案详解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，AE＝BE，
∴∠BCE＝30°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE＝30°．
∵∠ABC＝∠D+∠BED，
∴∠BED＝30°，
∴∠D＝∠BED，
∴BD＝BE．
∴AE＝DB．
（2）解：AE＝DB；
理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF．
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB＝EF，
∴AE＝BD．
二十．等边三角形的性质
42．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE＝CD，
（1）求证：DB＝DE．
（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝4，求△ABC的周长．
试题分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，再根据角之间的关系求得∠DBC＝∠CED，根据等角对等边即可得到DB＝DE．
（2）由DF的长可求出CD，进而可求出AC的长，则△ABC的周长即可求出．
答案详解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED∠BCD＝30°．
∴∠DBC＝∠DEC．
∴DB＝DE（等角对等边）；
（2）∵∠CDE＝∠CED∠BCD＝30°，
∴∠CDF＝30°，
∵CF＝4，
∴DC＝8，
∵AD＝CD，
∴AC＝16，
∴△ABC的周长＝3AC＝48．
二十一．等边三角性的判定
43．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．
试题分析：（1）因为AB＝AC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又∠BAC＝120°，根据三角形内角和，可求出∠C的度数为30°．
（2）AD⊥AC，AE⊥AB，∠ADE＝∠AED＝60°，三个角是60°的三角形是等边三角形．
答案详解：（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
所以答案是：30°．
（2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB．
∴∠ADC＝∠AEB＝60°，
∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
二十二．等边三角性的判定与性质的综合运用
44．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
试题分析：（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；
（2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．
答案详解：解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，
＝∠ADC+60°+∠BED，
＝∠CED+60°，
＝60°+60°，
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AMAD，BNBE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
45．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
试题分析：（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；
（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．
答案详解：（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：连接CD．
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
二十三．含30°角的直角三角形
46．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）
试题分析：先根据线段垂直平分线的性质得：AE＝BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得：DF与BE的关系，最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系，从而得出结论．
答案详解：证明：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线（已知），
∴AE＝BE，∠EDB＝90°（线段垂直平分线的性质），
∴∠EAB＝∠EBA＝15°（等边对等角），
∴∠AEC＝30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
Rt△EDB中，∵F是BE的中点（已知），
∴DFBE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
Rt△ACE中，∵∠AEC＝30°（已知），
∴ACAE（直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴AC＝DF（等量代换）．
二十四．直角三角形斜中线的运用
47．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103﹣104页的部分内容．
如图24.2.1，画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系．
相信你与你的同伴一定会发现，CD恰好是AB的一半．
下面让我们用演绎推理证明这一猜想．
已知：如图24.2.2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CDAB．
定理证明：请根据教材图24.2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．
定理应用：（1）如图②，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D（点D在BC上），CE是AB边上的中线，DG垂直平分CE．求证：∠B＝2∠BCE；
（2）在（1）条件下，若BF⊥AC于点F，连接DE、EF、FD．当△DEF是等边三角形，且BD＝3时，△DEF的周长为 9 ．
试题分析：定理证明：延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，BE，证得四边形ACBE是矩形，根据矩形的性质即可证得结论；
（1）连接DE，由线段线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得∠DEC＝∠BCE，由直角三角形斜边的中线和等腰三角形的性质证得∠B＝∠BFE，根据三角形外角定理及等量代换即可证得结论；
（2）证得△BDE和△CDF都是等边三角形，即可求得结果．
答案详解：解：定理证明：
延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，BE，
则CDCE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴▱ACBE是矩形，
∴CE＝AB，
∴CDAB；
（1）连接DE，
∵CE是AB边上的中线，
∴AE＝BE，
∵AD⊥BC，
∴DEAB＝AE＝BE，
∴∠B＝∠BDE，
∵DG垂直平分CE，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠BDE＝2∠BCE，
∴∠B＝2∠BCE；
（2）由（1）得DE＝BE，
∵BF⊥AC，AD⊥BC，点E是AB中点，
∴EF＝BE＝DE，
∵DE＝DC，EF＝CF，
∴DE＝DC＝EF＝FC，
∴四边形EFCD是菱形，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FED＝60°，DF＝DE，
∴DF＝CF＝CD，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠CDF＝60°，
∴∠BDE＝180°﹣∠CDF﹣∠EDF＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD＝3，
∴等边△DEF的周长为9，
所以答案是：9．
48．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．
试题分析：由直角三角斜边上的中线性质得出PA＝PCCD，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠APD＝2∠ACD，同理得出∠DPE＝2∠DCB，PA＝PE，再证出∠APE＝2∠ACB＝60°，即可得出结论．
答案详解：解：△PAE的形状为等边三角形；理由如下：
∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，
∴PA＝PCCD，
∴∠ACD＝∠PAC，
∴∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD，
同理：在Rt△CED中，PE＝PCCD，∠DPE＝2∠DCB，
∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，
∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，
∴△PAE是等边三角形．
二十五．新定义
49．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 A ．
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB，则该三角形的面积为 ；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP，求△PDC的面积．
试题分析：（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断；
（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，满足a2+b2＝3，根据“方倍三角形”定义，还满足：a2+3＝2b2，即可得a和b的值，进而可得直角三角形的面积；
（3）根据题意可得△ABP≌△DBP，根据“方倍三角形”定义可得△ABD为等边三角形，从而证明△APD为等腰直角三角形，可得AP＝DP，延长BP交AD于点E，根据勾股定理求出BE的长，根据△PBC为等腰直角三角形，可得PCPB，进而可以求△PDC的面积．
答案详解：解：（1）对于①等边三角形，三边相等，
设边长为a，
则a2+a2＝2a2，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
a2+b2＝c2，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
所以答案是：A；
（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，
则满足a2+b2＝3，
根据“方倍三角形”定义，还满足：
a2+3＝2b2，
联立解得，
则Rt△ABC的面积为：；
所以答案是：；
（3）由题意可知：
△ABP≌△DBP，
∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP，
根据“方倍三角形”定义可知：
BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，
∴AD＝AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形，∠BAD＝60°，
∴∠ABP＝∠DBP＝30°，
∴∠PBC＝90°，
∵∠CPB＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DPC＝90°，
∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝15°，
∴∠CAD＝45°，
∴△APD为等腰直角三角形，
∴AP＝DP，
∴AD＝2，
延长BP交AD于点E，如图，
∵∠ABP＝∠PBD，
∴BE⊥AD，PEAD＝AE＝1，
∴BE，
∴PB＝BE﹣PE1，
∵∠CPB＝∠PCB＝45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PCPB，
∴S△PDCPC•PD（）1．
二十六．尺规作图
50．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积．
试题分析：（1）根据角平分线的作法，画出图形即可；
（2）作DH⊥AB于H．只要证明CD＝DH，根据三角形的面积公式即可解决问题．
答案详解：解：（1）∠ABC的平分线如图所示．
（2）作DH⊥AB于H．
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝3，
∴△ABC的面积＝S△BCD+S△ABDBC•CDAB•DH3BC3AB（BC+AB）3×16＝24．
51．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
试题分析：到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．
答案详解：解：如图：
点C即为所求作的点．
二十七．规律类
52．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若操作2022次，得到小正方形的个数是（ ）
A．6065B．6066C．6067D．6068
试题分析：根据题意可以发现：每一次剪的时候，都是把上一次的图形中的一个进行剪切．所以在4的基础上，依次多3个，继而解答各题即可．
答案详解：解：根据题意可知：后一个图形中的个数总比前一个图形中的个数多3个，
即剪第1次时，可剪出4个正方形；
剪第2次时，可剪出7个正方形；
剪第3次时，可剪出10个正方形；
剪第4次时，可剪出13个正方形；
…
剪n次时，共剪出小正方形的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1．
当n＝2022时，正方形的个数为3×670+1＝6067，
所以选：C．
53．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E；…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以A2022为顶点的内角度数是（ ）
A．（）2019•75°B．（）2020•75°
C．（）2021•75°D．（）2022•75°
试题分析：根据等腰三角形的性质，由∠B＝30°，A1B＝CB，得∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°，那么∠BA1C150°＝75°．由A1A2＝A1D，得∠DA2A1＝∠A1DA2．根据三角形外角的性质，由∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1，得∠DA2A1∠BA1C150°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．
答案详解：解：∵∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°．
∴2∠BA1C＝150°．
∴∠BA1C＝×150°＝75°．
∵A1A2＝A1D，
∴∠DA2A1＝∠A1DA2．
∴∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1．
∴∠DA2A1∠BA1C150°．
同理可得：∠EA3A2∠DA2A1150°．
…，
以此类推，以An为顶点的内角度数是∠An＝（）n×150°＝（）n﹣1×75°．
∴以A2022为顶点的内角度数是（）2021•75°．
所以选：C．
二十八．坐标中的轴对称
54．已知点M（a，﹣3），点N（﹣2，b）关于y轴对称，则（a+b）2022的值（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
试题分析：根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．据此可得a、b的值，再代入所求式子计算即可．
答案详解：解：∵M（a，﹣3），点N（﹣2，b）关于y轴对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴（a+b）2022＝（﹣1）2022＝1．
所以选：C．
55．平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）．
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）求△ABC的面积．
（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标．
试题分析：（1）根据点A、B、C的坐标及坐标的概念描点即可；
（2）根据三角形的面积公式求解可得；
（3）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
答案详解：解：（1）如图所示，点A、B、C即为所求；
（2）△ABC的面积为：5；
（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，则A1（1，﹣4）、B1（3，﹣4）、C1（3，1）．
二十九．三线合一的妙用
56．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，DE＝3，则CF的长为（ ）
A．4B．6C．9D．12
试题分析：解法一：根据等腰三角形的性质可知∠B＝∠ACB，根据相似三角形的判定定理可证明△BCF∽△CDE，利用相似三角形的性质定理即可求出CF的长度．
解法二：利用SAS证明△ABD≌△ACD可得S△ABC＝2S△ACD，再利用三角形的面积公式计算可求解．
答案详解：解：解法一：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
由题意可知：∠BFC＝∠DEC＝90°，
∴△BCF∽△CDE，
∴，
设CD＝x，
∴BC＝2CD＝2x，
∴，
∴CF＝6．
解法二：∵AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴S△ABD＝S△ACD，
∴S△ABC＝2S△ACD，
∵DE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABC，S△ACD，
∵AB＝AC，DE＝3，
∴CF＝2DE＝6．
所以选：B．
57．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）求证：BE＝CE．
试题分析：（1）通过全等三角形的判定定理SSS证得△ABD≌△ACD，根据其对应角相等证得结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质证得结论．
答案详解：（1）证明：∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD．
在△ABD和△ACD中，
．
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝EC．
三十．角平分与平行、垂直的巧妙融合
58．如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB＝4，则线段FG的长为 2 ．
试题分析：延长BF交AC于E，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据全等三角形的性质得到AE＝AB＝4，根据平行线的性质得到∠BAF＝∠AFG，得到AG＝FG，推出FGAE＝2．
答案详解：解：延长BF交AC于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，
∵AF＝AF，
∴△ABF≌△AEF（ASA），
∴AE＝AB＝4，
∵FG∥AB，
∴∠BAF＝∠AFG，
∴∠GAF＝∠FAG，
∴AG＝FG，
∵∠FAG+∠AEF＝∠AFG+∠EFG＝90°，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴FG＝GE，
∴FGAE＝2，
所以答案是：2．
59．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若
FG＝5，ED＝9，求EB+DC＝ 14 ．
试题分析：根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBG和△DFC是等腰三角形，从而可得EB＝EG，DF＝DC，进而可得EB+DC＝ED+FG，然后进行计算即可解答．
答案详解：解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABG＝∠CBG，∠ACF＝∠FCB，
∴∠EBG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF，
∴EB＝EG，DF＝DC，
∵FG＝5，ED＝9，
∴EB+DC＝EG+DF
＝ED+FG
＝14，
所以答案是：14．
60．如图，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC 12 m2．
试题分析：延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADCS△ABC．
答案详解：解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADCS△ABC24＝12（m2），
所以答案是：12；