人教版数学九年级下册专题27.30 相似三角形几何模型-X型图（基础篇）（专项练习）（含答案）

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专题27.30 相似三角形几何模型-X型图（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，AD，BC相交于点O，由下列条件仍不能判定△AOB与△DOC相似的是（     ） A．AB∥CD B．∠C＝∠B C． D．2．如图，四边形的对角线相交于点，且将这个四边形分成四个三角形，若，则下列结论中正确的是（ ） A．△AOB∽△AOD B．△AOD∽△BOCC．△AOB∽△BOC D．△AOB∽△COD3．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（        ） A．AB∥CD B．C． D．4．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB与△COD相似的是（　　） ∠BAC＝∠BDC B．∠ABD＝∠ACDC． D．5．如图，在中，E为边上的点，若，交于F，则等于（       ） A．4：5 B．2：5 C．5：9 D．4：96．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：DC＝(     )A．2：5 B．3：5 C．5：2 D．5：37．如图，△ABC的两条中线BE、CD交于点O，则下列结论不正确的是（　　） B． C．S△DOE：S△BOC＝1：2 D．△ADE∽△ABC8．如图，AB∥CD，，AB＝2，则CD的长为（　　）A． B． C．3 D．49．如图，E为的边CB的延长线上一点，若，则的值为（       ） A． B． C．2 D．310．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（       ） A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1二、填空题11．如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是_________．12．如图，已知相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是________． 13．如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知，又因为________，可证明△AOB∽△DOC．14．如图，，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形共有_____组．15．如图，、相交于点，要使，则要补充的条件可以是________． 16．如图所示，在中，是高，，，，，则________． 17．如图，线段AC与BD相交于点O，且OA＝12，OC＝54，OD＝36，OB＝18，则△ABO与△DCO_______相似．(填“一定”或“不”)18．如图，点F在平行四边形ABCD的边CD上，射线AF交BC的延长线于点E.∵AD∥BC，∴△EFC∽△________．∵AB∥CD，∴△EFC∽△________．19．如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=______．20．如图，在平行四边形中，延长至点，使，连接与交于点，则的值是______．三、解答题21．已知：如图所示， AC、BD相交于点O，连接AB，CD，且∠ABD=∠ACD.   求证：△AOB∽△DOC22．如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝78cm，BO＝42cm，CD＝159cm，求CO和DO．23．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1) 求证：△AEF∽△CBF；(2) 若BE⊥AC，求AE：ED．24．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边BC上一点，连接BD、AE，它们相交于点F，且∠BDA＝∠BAE．(1) 求证：BE2＝EF•AE；(2) 若BE＝4，EF＝2，DF＝6，求AB的长．25．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．(1) 求证：四边形ABCG是平行四边形；(2) 若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．26．如图，已知线段ABCD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点，（1）若BK＝KC，求的值；（2）联结BE，若BE平分∠ABC，则当AE＝AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明；（3）试探究：当BE平分∠ABC，且AE＝AD（n＞2）时，线段AB、BC，CD三者之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不必证明．参考答案1．D【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．B、由∠AOB＝∠DOC、∠C＝∠B能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．C、由 、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．D、已知两组对应边的比相等： ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．故选：D【点拨】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．2．D【分析】根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，即可判断△AOB∽△COD．解：∵四边形的对角线相交于点，∴∠AOB=∠COD，在△AOB和△COD中，∴△AOB∽△COD．故选：D．【点拨】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握两边对应成比例且夹角相等则这两个三角形相似是解题的关键．3．D【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．故选：D【点拨】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．4．C【分析】根据相似三角形的判定条件进行逐项分析即可．解：由题意得：∠AOB=∠COD，A、∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△DOC，故此选项不符合题意；B、∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB=∠COD，∴△BOA∽△COD，故此选项不符合题意；C、，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△COB，并不能证明△AOB与△COD相似，故此选项符合题意；D、，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△DOC，故此选项不符合题意；故选C．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．5．B【分析】通过证明△ADF∽△EBF，可求解．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE：EC＝2：3，∴BE：AD＝2：5，∵AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴BF：FD＝BE：AD＝2：5，故选：B．【点拨】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质定理和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．6．A【分析】由条件可证明△DEF∽△BAF，结合面积比可求得相似比，可求得答案．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DEAB，∴△DEF∽△BAF，∴，∴，故选：A．【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．C【分析】根据中线BE、CD交于点O，可得DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得出，可判断A，根据平行线分线段成比例可判断B，由平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质可判断C，D．解：∵BE和CD是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DEBC，，∴，故A选项不符合题意；∵，∴，故B选项不符合题意；∵，∴△DOE∽△COB，∴（）2＝（）2，故C选项符合题意；∵，∴△ADE∽△ABC，故D选项不符合题意；故选：C．【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．B【分析】通过证明△ABE∽△DEC，可得，即可求解．解：∵， ∴△ABE∽△DEC， ∴ ， 而，AB＝2，∴ ∴， 故选：B．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．9．C【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质即可得．解：四边形是平行四边形，，，，，即，又，，，故选：C．【点拨】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．10．D【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．解：如图：由题意可知，，， ∴，而，∴四边形DCBM为平行四边形，∴，∴，，∴，∴．故选：D．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．11．【分析】根据DE∥BC，可得 ，从而得到,即可求解．解：∵DE∥BC，，∴，∴，∵，DE＝1，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．12．∠B=∠C（答案不唯一）【分析】根据题意有∠AOB=∠DOC，因此根据相似三角形的判定条件只需要添加∠B=∠C或∠A=∠D即可证明△AOB∽△DOC．解：∵∠AOB=∠DOC，∴当添加条件∠B=∠C时可以证明△AOB∽△DOC，故答案为：∠B=∠C（答案不唯一）．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．13．∠AOB＝∠DOC【分析】根据相似三角形的判定，两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似解答．解：∵，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．故答案为：∠AOB＝∠DOC．【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟记“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”是解题的关键．14．3【分析】根据，即可得到△DEA∽△FGA∽△BCA，由此即可得到答案．解：∵，∴△DEA∽△FGA∽△BCA，∴一共有3组相似三角形，故答案为：3．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定方法．15．（答案不唯一）【分析】要使两个三角形相似, 满足对应角相等即可.解：补充条件∠A=∠D即可;∠AOB=∠COD (对顶角) , ∠A=∠D,△AOB∽△DOC所以填∠A=∠D.【点拨】熟练掌握相似三角形的判定方法.16．2.4【分析】根据可以得到△AEF∽△ABC，然后根据相似三角形的对应高的比等于相似比，即可求得AG的长，进而可求出GD的长．解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC， 即 解得：   ∴ 故答案为2.4.【点拨】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的高之比等于相似比是解题的关键.17．一定【分析】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.即：，∠AOB=∠DOC.，进而得到结论解：因为，,,所以, 又因为∠AOB=∠DOC,所以，△ABO∽△DCO.故答案为一定【点拨】本题考核知识点：相似三角形的判定. 解题关键点：熟记相似三角形的判定.18．     AFD；     EAB分析：由平行四边形的性质可得出AD∥BC、AB∥CD，根据相似三角形判定的预备定理（平行于三角形一边的直线，截其它两边所得的三角形与原三角形相似）即可得到结论．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．∵AD∥BC，∴△EFC∽△AFD．∵AB∥CD，∴△EFC∽△EAB．故答案为AFD，EAB．【点拨】本题考查了相似三角形判定的预备定理以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形判定的预备定理是解题的关键．19．.试题分析：由∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD的长．解：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE∴△ABC∽△ADE∴AC：AE=BC：DE∴DE=∴考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理.20．##0.5【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质得出，结合题意即可得出结论．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CE，AB=CD∴∆ABF~∆CEF，∴，∵DE=DC，∴，故答案为：．【点拨】题目主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．21．见分析试题分析：根据AAA判断两个三角形相似.证明：∵∠ABD=∠ACD     ∠AOB=∠COD   ∴△AOB∽△DOC　22．试题分析：根据题意，易证，根据相似三角形的判定与性质，列出比例式即可解得和的长．解：设 则 即 【点拨】两组角对应相等，两三角形相似.23．(1)见分析(2)1：3【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=x，则DE=x，从而可计算出AE：DE．(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；(2)设AB=x，则BC=2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴，即，∴AE=x，∴DE=AD-AE=，∴AE：DE==1：3．【点拨】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．24．(1)见分析(2)4【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AD∥BC，则∠DBC=∠ADB，然后证明△EBF∽△EAB，则利用相似三角形的性质得到结论；（2）先利用BE2=EF•AE计算出AE=8，则AF=6，再由BE∥AD，利用平行线分线段成比例定理计算出BF=2，然后利用△EBF∽△EAB，根据相似比求出AB的长．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠DBC=∠ADB，∵∠ADB=∠BAE，∴∠DBC=∠BAE，∵∠EBF=∠BAE，即∠BEF=∠BEA，∴△EBF∽△EAB， ∴EB：EA=EF：EB，∴BE2=EF•AE；(2)解：∵BE2=EF•AE，∴AE===8，∴AF=AE﹣EF=8﹣2=6，∵BE∥AD，∴=，即=，解得BF=2，∵△EBF∽△EAB，∴=，即=，∴AB＝4．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系是解题的关键．25．(1)证明见分析；(2)【分析】（1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝CD，可得AB＝CG，即可证明；（2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解．(1)证明：∵△AEB∽△DEC，∴∠B＝∠BCD，∴AB∥CD，即AB∥CG，∵CD＝2AB，CG＝CD，∴AB＝CG，∴四边形ABCG是平行四边形；(2)解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3，∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，∵∠GAD＝90°，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理可得：BE＝，即BE＝，∵△AEB∽△DEC，∴，∴CE＝2，∴BC＝BE+CE＝3，∴AG＝BC＝3．【点拨】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．26．（1）；（2）AB＝BC+CD；（3）AB＝BC+CD．【分析】（1）根据比例的性质得到，根据相似三角形的性质计算即可；（2）连接BD，取BD的中点F，连接EF交BC于G，根据三角形的中位线定理得到GF=CD，EF=AB，根据平行线的性质、角平分线的定义得到EG=BC，即可得到答案；（3）连接BD，作EFAB交BC于G，交BD于F，根据比例的性质、仿照（2）的作法解答即可．解：（1）∵BK＝KC，∴＝，∵ABCD，∴△CKD∽△BKA，∴＝＝；（2）猜想：AB＝BC+CD．证明：连接BD，取BD的中点F，连接EF交BC于G，由中位线定理，得EFABCD，∴G为BC的中点，∠GEB＝∠EBA，又∵∠EBA＝∠GBE，∴∠GEB＝∠GBE，∴EG＝BG＝BC，而GF＝CD，EF＝AB，∵EF＝EG+GF，即：AB＝BC+CD；∴AB＝BC+CD；（3）猜想：AB＝BC+CD．证明：连接BD，作EFAB交BC于G，交BD于F，∵AE＝AD，∴＝，∵EFAB，∴＝＝，即EF＝AB，∵EFAB，ABCD，∴EFCD，同理，BG＝BC，GF＝CD，∵EF＝EG+GF，即：AB＝BC+CD；∴AB＝BC+CD．【点拨】本题考查相似形综合题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质以及角形的中位线定理、平行线的性质、比例的性质．