江苏省靖江市八校联考2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试卷

这是一份江苏省靖江市八校联考2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.方程x2+16=0的根是( )
A. x=-4B. x1=4，x2=-4
C. x1=x2=4D. 无实数根
2.以Rt△ABC的斜边BC为直径作⊙O，则点A与⊙O的位置关系是( )
A. 点A在⊙O内B. 点A在⊙O上C. 点A在⊙O外D. 不能确定
3.如图，D，E是△ABC边AB，AC边上的两点，且DE/​/BC，若S△ADE：S△ABC=1：9，则△ADE与△ABC的周长之比为( )
A. 1：81
B. 1：9
C. 1：3
D. 1：2
4.已知关于x的一元二次方程x2+2x-1=0，对该方程的根的判断，正确的是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
5.如图，在等边三角形ABC中，点E，F分别在AC，BC上，且AE⋅AC=AP⋅AF，则下列不正确的是( )
A. △AEP∽△AFC
B. △ABF∽△BCE
C. △ABP∽△PAE
D. △PBF∽△CBE
6.如图，矩形OABC的顶点O(0,0)，A(4,0)，点C在y轴正半轴上，D是AB上一点，连接OD，作点A关于OD的对称点E，连接OE，DE，当tan∠DOA=12时，OE的延长线恰好经过点B，则点B的坐标为( )
A. (4,5)
B. (4,163)
C. (4,112)
D. (4,265)
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.已知a，b，c，d是成比例线段，且a=1，b=2，c=3，那么d= ______．
8.关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有一个根为x=1，则k的值为______．
9.把6米长的绳子剪成每段长13米的小段，可剪成______段，每段是全长的______．
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧所在圆的半径长是______．
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，若csA=513，则sinA的值为______．
12.某商店10月份的利润是10000元，要使12月份的利润达到14400元，则平均每月利润增长的百分率是______．
13.在平面直角坐标系xOy中，直线y=-12x+2分别交x轴，y轴于点A，点B，则△ABO的外心坐标是______．
14.如图，在长方形ABCD中，内接三个大小相同的正方形，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，AD上，若AB=6cm，AD=5cm，则每个小正方形的面积为______cm2．
15.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AD=4，tan∠DAC=12，则BC的长为______．
16.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0没有实数根.甲由于看错了某一项的符号，误求得两根为-1和4，则2b+3c的值为______．
三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
解下列方程：
(1)(x+1)2-9=0；
(2)x2+4x-5=0．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，AD=8，BC=12．
(1)求AB的长．
(2)求△EDC的周长．
19.(本小题8分)
如图，在14×7的长方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，线段ED和三角形ABC的顶点都在格点上.请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留画图痕迹(作图结果用实线表示，作图过程用虚线表示)；
(1)画出△ABC的高BH；
(2)在线段ED右侧找一点F，使得△ABC≌△DFE；
(3)在(2)的条件下，在线段ED上找一点G，使∠EFG=45°．
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程(n+2)x2-4nx+4(n-2)=0(n≠-2)．
(1)求证：该方程一定有两个不相等的实数根；
(2)小明说：该方程总有一个固定的实数根.请你判断小明的说法是否正确？若正确，请求出该实数根；若不正确，请说明理由．
21.(本小题10分)
阳光明媚的一天，小明与同学计划测量学校周围一栋古建筑AB的高度，由于古建筑底部不可到达，他们在古建筑AB的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆DC，经测量，同一时刻标杆的影子CE=1米，接下来他们沿着BE方向从E点出发走了9米到达点F处(即EF=9米)，利用无人机测得GF=12米，并用无人机在G处测得B点的俯角为37°，AB⊥BF，DC⊥BF，GF⊥BF，点B、C、E、F在一条直线上，求古建筑AB的高.(参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45,tan37°≈34)
22.(本小题10分)
小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的75%卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的90%卖．
(1)小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？
(2)写出甲、乙两个商店中，收款y(元)关于购买本数x(本)(x>10)的关系式．
(3)小明现有24元钱，最多可买多少个本子？
23.(本小题10分)
尺规作图问题：
如图1，弦DE交⊙O直径AB于点F，连结AD，AD=AF，用尺规作弦DG//AB，CG/​/AD，C是直径AB上一点．

小蔡：如图2，以E为圆心，AE长为半径作弧，交⊙O于另一点G，连结DG，以A为圆心，DG长为半径作弧，交直径AB于点C，连结CG，则DG//AB，CG/​/AD．
小通：以B为圆心，AD长为半径作弧，交⊙O于点G，连结DG，以A为圆心，DG长为半径作弧，交直径AB于点C，连结CG，则DG//AB，CG/​/AD．
小蔡：小通，你的作法有问题．
小通：哦——我明白了．
(1)求证：DG//AB，CG/​/AD．
(2)指出小通作法中存在的问题．
24.(本小题10分)
图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．

(1)在图①中的△ABC内部画一个格点D，连结AD，使∠DAC=∠ACB．
(2)在图②中的△ABC边AC上画一个格点E，连结BE，使∠AEB=∠BAC．
(3)在图③中的△ABC外部画一个格点F，连结BF、CF，使∠BFC=∠ABC．
25.(本小题12分)
如果关于x的一元二次方程x2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=-1，则方程x2+x=0是“邻根方程”．
(1)已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值；
(2)若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数，且a>0)是“邻根方程”，令t=12a-b2，试求t的最大值．
26.(本小题14分)
数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=4，BC=DE=3，∠ABC=∠ADE=90°．
【感知】如图①，连结BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，求BDCE的值．
【探究】如图②，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的高线BM的延长线上时，则CE的长为______．
【拓展】如图③，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BN的延长线上时，则△ACE的周长为______．
1.【答案】D
【解析】解：∵x2+16=0，
∴x2=-16，
由偶次方的非负性可知，原方程无实数根，
故选：D．
根据偶次方的非负性判断即可．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：根据圆周角定理可知，点A与⊙O的位置关系是点A在⊙O上．
故选：B．
根据圆周角定理可得答案．
此题考查的是点与圆的位置关系、圆周角定理，掌握其定理是解决此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵S△ADE：S△ABC=1：9，
∴△ADE与△ABC周长之比为1：3，
故选：C．
由平行易证△ADE∽△ABC，由面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求解．
本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：由题意可得：
Δ=22-4×1×(-1)=8>0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
根据Δ=b2-4ac与0的关系直接求解即可得到答案．
本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵AE⋅AC=AP⋅AF，
∴AEAF=APAC，
∵∠PAE=∠CAF，
∴△PAE∽△CAF，
∴∠APE=∠C=60°，
∵∠APE=∠ABP+∠BAP=60°，∠BAP+∠CAF=60°，
∴∠CAF=∠ABE，
∴∠BAF=∠CBE，
∵∠ABF=∠C，
∴△ABF∽△BCE，
∵∠BPF=∠APE=∠C，∠PBF=∠CBE，
∴△PBF∽△CBE，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
首先证明△PAE∽△CAF，推出∠APE=∠C=60°，再证明△ABF∽△BCE，△PBF∽△CBE，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是证明△PAE∽△CAF，推出∠APE=∠C=60°．
6.【答案】B
【解析】解：由矩形OABC，A(4,0)，tan∠DOA=12，
得AD=12OA=2，
由点A关于OD的对称点E，OE的延长线恰好经过点B，
得DE=DA=2，∠E=90°，
得△BED∽△BAO，
得BDBO=BEBA=DEAO，即BDBE+4=BEBD+2=24，
解得：BE=83，BD=103，
故AB=AD+BD=163，
故B(4,163).
故选：B．
先求得AD=12OA=2，进而得DE=DA=2，∠E=90°，即可得△BED∽△BAO，得BDBO=BEBA=DEAO，再解得：BE=83，BD=103，即可得答案．
本题主要考查了对折和相似三角形，解题关键是正确得出比例式．
7.【答案】6
【解析】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴ab=cd或ac=bd，
∵a=1，b=2，c=3，
∴12=3d或13=2d，
解得：d=6，
故答案为：6．
根据成比例线段的定义得到ab=cd或ac=bd，代入数值求解即可．
此题考查了成比例线段，根据成比例线段得到比例式是解题的关键．
8.【答案】-4
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有一个根为x=1，
∴12+3×1+k=0，
解得k=-4．
故答案为：-4．
首先把x=1代入一元二次方程x2+3x+k=0可得k的值．
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是：明确方程的解一定使原方程成立．
9.【答案】18 118
【解析】解：6÷13=6×3=18(段)，
即把6米长的绳子剪成每段长13米的小段，可剪成18段，每段是全长的118．
故答案为：18，118．
根据有理数的除法法则以及分数的意义解答即可．
本题考查了分数的认识以及分数的除法，正确列出算式是解答本题的关键．
10.【答案】 5
【解析】解：如图所示，作弦AB和BC的垂直平分线交于点O，连接OB，设BC的中点为D，
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
∴点O即为圆心，
∵BD=1，OD=2，
∴OB= BD2+OD2= 5，
故答案为： 5．
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，根据勾股定理即可求得半径．
本题考查垂径定理，解题的关键是根据垂径定理找到圆心的位置．
11.【答案】1213
【解析】解：令Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∵∠C=90°，csA=513=bc，
可设b=5k，c=13k，
∴a= c2-b2=12k，
∴sinA=ac=1213，
故答案为：1213．
根据勾股定理以及锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查同角的三角函数的关系，掌握勾股定理，锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
12.【答案】20%
【解析】解：设平均每月利润增长的百分率是x，
根据题意得：10000(1+x)2=14400，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(不符合题意，舍去)．
即平均每月利润增长的百分率是20%，
故答案为：20%．
设平均每月利润增长的百分率是x，根据某商店10月份的利润是10000元，要使12月份的利润达到14400元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】(2,1)
【解析】解：直线y=-12x+2于x轴的交点A的坐标为(4,0)，于y轴的交点B的坐标为(0,2)，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB为直角三角形，
∴△ABO的外心斜边AB的中点，即(2,1)，
故答案为：(2,1)．
根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A，点B的坐标，再根据直角三角形外心是斜边的中点解答即可．
本题考查的是三角形是外接圆与外心，掌握圆周角定理、直角三角形外心的定义是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：在长方形ABCD中，内接三个大小相同的正方形，
∴EH=FE=2FG，∠HEF=90°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠AEH+∠BEF=∠BFE+∠BEF=90°，
∴∠AEH=∠BFE，
在△AEH和△BFE中，
∠A=∠B∠AEH=∠BFEEH=FE，
∴△AEH≌△BFE(AAS)，
∴BF=AE=5-CF，
∵∠CFG+∠BFE=∠BFE+∠BEF=90°，
∴∠CFG=∠BEF，
∴△BEF∽CFG，
∴CFBE=CGBF=FGEF=12，
∴BE=2CF，CG=12BF，
∴5-CF+2CF=AB=6cm，
∴CF=1cm，
∴BF=5-CF=4，CG=12BF=2，
∴FG= CF2+CG2= 5，
∴每个小正方形的面积为FG2=( 5)2=5(cm2).
故答案为：5．
证明△AEH≌△BFE(AAS)，根据全等三角形的性质得BF=AE=5-CF，证明△BEF∽CFG，根据相似三角形的性质得CFBE=CGBF=FGEF=12，可得BE=2CF，CG=12BF，利用勾股定理求出FG= 5，即可求解．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识点，证明△BEF∽CFG是解此题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：∵AD⊥BC，tan∠DAC=12，
∴CDAD=12，
∵AD=4，
∴CD=2，
AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2CD=4．
故答案为：4．
解直角三角形求得CD=2，再利用三线合一即可求解．
此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，解直角三角形求出CD=2是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：由题知，
因为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0没有实数根，
所以b2-4c0，
故不符合题意，舍去．
当甲看错c的符号时，
-1+4=-b，-1×4=-c，
解得b=-3，c=4，
此时b2-4c0，
∴关于x的一元二次方程(n+2)x2-4nx+4(n-2)=0(n≠-2)一定有两个不相等的实数根；
(2)解：小明的说法是正确的，理由：
由求根公式得：x=4n± 642(n+2)=4n±82(n+2)，
∴x1=2，x2=2n-4n+2，
∴该方程总有一个固定的实数根，
∴小明的说法是正确的．
【解析】(1)根据一元二次方程的根的判别式Δ>0来证明即可；
(2)利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式Δ=b2-4ac.当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ10时，y=1×90%x，即y=0.9x；
(3)将y=24代入y=0.75x+2.5得：
0.75x+2.5=24
x=2823，
所以24元钱最多在甲商店可买28本，
将y=24代入y=0.9x得：
0.9x=24
x=2623，
所以24元钱最多在乙商店可买26本，
答：小明用24元最多可买28本．
【解析】(1)根据题意，到甲购买10本以上，第11本按标价的75%卖，如果买20本，则付款10×1+1×75%×(20-10)，到乙买收款：20×90%×1即可得到答案；
(2)当x>10时，分别根据题意列出函数关系式，即可得到答案；
(3)将y=24分别代入(2)中函数关系式，进行求解即可．
此题考查了一次函数的应用，解题时首先认真审题，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，然后解答即可．
23.【答案】(1)证明：∵AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF．
∵EG=AE，
∴∠FDG=∠ADF．
∴∠FDG=∠AFD，
∴DG/​/AB．
∵DG=AC，
∴四边形ACGD为平行四边形，
∴CG/​/AD．
(2)解：点G还可能在AEB上，此时DG与AB相交，不满足结论，如图3．

【解析】(1)利用等腰三角形性质得到∠ADF=∠AFD，根据圆周角定理得到∠ADF=∠FDG，再结合等量代换和平行线判定得到DG//AB，最后根据平行四边形的判定和性质，即可推出CG/​/AD；
(2)根据“以B为圆心，AD长为半径作弧，”作图可知点G还可能在AEB上，此时DG与AB相交，即可判断解题．
本题考查了等腰三角形性质，圆周角定理，平行线判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键在于根据题意作出草图，并结合相关定理性质求解．
24.【答案】解：(1)如图①，在BC上取格点M，
AM=MC=4，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴∠D1AC=∠ACB=45°，
∴点D1(或D2或D3)即为所求；
(2)如图②，
AB=BE= 42+22=2 5，
∴∠AEB=∠BAC，
∴点E即为所求；
(3)如图③，由题意可得△ABC外接圆圆心O，

∴点F1(或F2或F3)即为所求．
【解析】(1)在BC上取格点M，根据网格可知△AMC是等腰直角三角形，则点D在AM上即可；
(2)根据网格可知AB=BE= 42+22=2 5，等腰三角形的性质可得∠AEB=∠BAC；
(3)找出△ABC外接圆圆心O，再根据圆周角定理即可求解．
本题考查了无刻度直尺作图，网格与勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵关于x的方程x2-(m-1)x-m=0是邻根方程，
∴解方程可得：x1=m，x2=-1，
∴|x1-x2|=|m-(-1)|=|m+1|=1，
∴m1=0，m2=-2，
∴m=0或m=-2；
(2)∵关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数a>0)是邻根方程，
设两个根分别为x1，x2，
∴|x1-x2|=1，
由韦达定理：x1+x2=-ba,x1⋅x2=1a，
∴|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2= b2-4aa2=1，
∴b2=a2+4a，
∴t=12a-b2=12a-(a2+4a)=-a2+8a=-(a-4)2+16，
∴当a=4时，t有最大值，最大值为16．
答：t的最大值为16．
【解析】(1)先利用公式法解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是1，即可得到结果；
(2)根据“邻根方程”的定义和韦达定理即可列出a与b的关系式，再由 t=12a-b2可列出t与a的关系式，最后利用完全平方公式求出最大值．
本题考查一元二次方程的解，读懂题意、理解“邻根方程”，掌握利用完全平方式确定最大值、最小值等知识点是解决本题的关键．
26.【答案】6 18
【解析】解：【感知】已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=4，BC=DE=3，∠ABC=∠ADE=90°，
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠ABC=∠ADEBC=DE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴AC=AE，
在直角三角形ACE中，由勾股定理得：
AC=AE= 32+42=5，
∴AC=AE=5，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠CAE=∠BAD，
∵ADAB=AEAC=1，
∴△ADB∽△AEC，
∴BDCE=ABAC，
∵AB=4，AC=5，
∴BDCE=45；
【探究】由题意得：BM⊥AC，
同理“感知”可得：△ADB∽△AEC，
∴BDCE=45，
∵AB=4，BC=3，AC=5，且S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BM，
∴BM=AB⋅BCAC=125，
∵AB=AD=4，
∴BM=12BD=125，
∴BD=245，
∴CE=54BD=6；
故答案为：6；
【拓展】∵∠ABC=90°，BN是△ABC的中线，AC=5，
∴BN=AN=CN=12AC=52，
∴∠ABN=∠BAN，
∵AB=AD=4，
∴∠ABD=∠ADB=∠BAN，
∵∠ABN=∠DBA，
∴△ABN∽△DBA，
∴BNAB=ABBD，即AB2=BN⋅BD，
∴BD=325，
由“感知”可知：△ADB∽△AEC，
∴BDCE=45，
∴CE=54BD=8，
∴C△ACE=AC+AE+EC=5+5+8=18，
故答案为：18．
【感知】证明△ADE≌△ABC(SAS)，求出AC=AE=5，可得∠DAE=∠BAC，故∠CAE=∠BAD，又ADAB=AEAC=1，可得△ADB∽△AEC，从而BDCE=ABAC=35；
【探究】由题意得：BM⊥AC，同理“感知”可得：△ADB∽△AEC，则有BDCE=45，然后可得BD=245，进而问题可求解；
【拓展】由题意易得BN=AN=CN=12AC=52，则有∠ABN=∠BAN，然后可得△ABN∽△DBA，进而可得BD=325，最后根据BDCE=45可进行求解．
本题主要考查相似三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边中线定理、全等三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边中线定理、全等三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键．