江苏省泰州市靖江市2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省泰州市靖江市2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）方程x2＝2的解是（ ）
A．2B．C．﹣D．
2．（3分）已知⊙O的半径为6，在⊙O外取一点P，连接OP，则OP的长可以是（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC．若，下列式子一定正确的是（ ）
A．CE：BD＝3：4B．AE：AD＝3：4C．DE：BC＝3：4D．BC：AB＝3：4
4．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．B．﹣1C．D．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝80°，AC＝4，BC＝6．将△ABC沿图中的虚线剪开，按照下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①②D．④
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边为c，∠A，∠B所对的直角边分别为a，b（a≠b），斜边上的高CD＝h．下列结论错误的是（ ）
A．asinA+bsinB＝cB．acsA+bcsB＝c
C．htanA+htanB＝cD．acsB+bcsA＝c
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）已知线段a＝4，b＝9，若线段c是a、b的比例中项，则c＝ ．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有一个根为x＝1，则k的值为 ．
9．（3分）在比例尺为1：6000000的地图上，小聪量得我市和某市的直线距离是2.5cm，则实际距离是 km．
10．（3分）已知AB＝4cm，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 cm．
11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若csA＝，则sinA的值为 ．
12．（3分）某商店10月份的利润是10000元，要使12月份的利润达到14400元，则平均每月利润增长的百分率是 ．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，则△ABO的外心坐标是 ．
14．（3分）如图，点G是△ABC的重心，GP∥AB，GQ∥AC．若△GPQ的面积为2，则△ABC的面积为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，tanB＝2，点D是AC的中点，点E在AB上．当时，AE长为 ．
16．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0没有实数根．甲由于看错了某一项的符号，误求得两根为﹣1和4，则2b+3c的值为 ．
三、解答题（本大题共有10题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
17．（12分）（1）解方程：x2﹣9＝3﹣x；
（2）计算：．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝5，BC＝8，CD⊥AB，垂足为点D．求AC的长和∠A的余弦值．
19．（8分）如图，以AB为直径的半圆O上有一点C，过点C作CD⊥OA，垂足为点D，过点A作AE⊥OC，垂足为点E（不与点O，C重合），AE的延长线交半圆O于点F．求证：．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程（n+2）x2﹣4nx+4（n﹣2）＝0（n≠﹣2）．
（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根；
（2）小明说：该方程总有一个固定的实数根．请你判断小明的说法是否正确？若正确，请求出该实数根；若不正确，请说明理由．
21．（10分）“复矩尺”是我国唐朝时期张遂（也称一行和尚）研究天文时制作的工具，其构造如图：组成直角的两边一长一短，角间有一弧形刻度，角顶点处有一丝线系一铜锤，用来测量北极星方向与水平线的夹角（图中的α角）．小明用自制的复矩尺用来测量操场上的旗杆高度，小明将复矩尺的长边对准旗杆顶部，测得点A到地面距离AB＝1.95m，旗杆底部C到B的距离CB＝9m，α＝37°．请帮小明计算出旗杆的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
22．（10分）某剧院举办文艺演出．经调研，票价每张30元时，1200张门票可以全部售出．为增加收入，剧院合理调高单价，发现实际销售门票数和票价满足如下一次函数关系：
要使门票收入达到36750元，该剧院应将票价调高几元？
23．（10分）如图，⊙O的直径AB＝12，半径OC⊥AB，D为弧BC上一动点（不包括B、C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E．F．
（1）求EF的长．
（2）若点E为OC的中点，
①求弧CD的度数．
②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的动点（不包括B，C两点），以点D为顶点作∠ADE＝∠ACB，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD，交射线DE于点F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）探索：点D在BC边上运动的过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其值．
25．（12分）定义：ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程．
（1）x2﹣6x+5＝0的友好方程是 ；
（2）互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根；
（3）如果ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝m，x2＝n．求友好方程的两个根．
26．（14分）如图1，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，连接BD，CE交于点O．
（1）设BC＝a，CD＝b（a＞b）．若点E是边AD的中点，且CE⊥BD．求a：b的值；
（2）如图2，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接FO并延长交AD于点N，交BC于点M．
①当点E是边AD的中点时，＝ ，＝ （填比值），从而得出猜想：点M是BC的中点（无需证明）；
②当点E是边AD上任意一点时，求证：点M是BC的中点；
（3）如图3，矩形ABCD的顶点都在圆上，仅用无刻度直尺作出图3中垂直于BC的一条直径（不用写作法，保留作图痕迹）．
2024-2025学年江苏省泰州市靖江市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）方程x2＝2的解是（ ）
A．2B．C．﹣D．
【分析】方程利用平方根定义开方即可求出x的值．
【解答】解：方程开方得：x＝±，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
2．（3分）已知⊙O的半径为6，在⊙O外取一点P，连接OP，则OP的长可以是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】由⊙O的半径及点P在⊙O外，可得出OP的长大于6，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为6，点P在⊙O外，
∴OP的长大于6．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，牢记“①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r”是解题的关键．
3．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC．若，下列式子一定正确的是（ ）
A．CE：BD＝3：4B．AE：AD＝3：4C．DE：BC＝3：4D．BC：AB＝3：4
【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【解答】解：∵＝3，AD+BD＝AB，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
故C正确，符合题意；
根据题意，无法求解CE：BD，AE：AD，BC：AB，
故A、B、D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
4．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．B．﹣1C．D．
【分析】由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关系式，求得b2＝8a，代入计算即可求出值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0有两个相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝b2+8a＝0，
∴b2＝﹣8a，
∴4a＝﹣，
则＝＝﹣1，
故选：B．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的关系是解本题的关键．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝80°，AC＝4，BC＝6．将△ABC沿图中的虚线剪开，按照下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①②D．④
【分析】根据相似三角形的判定定理对各项进行逐项判断即可．
【解答】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③剪下的三角形与原三角形两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似；④剪下的三角形与原三角形对应边不一定成比例，故两三角形不一定相似；
综上所述，①②③剪下的三角形与原三角形相似．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键．
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边为c，∠A，∠B所对的直角边分别为a，b（a≠b），斜边上的高CD＝h．下列结论错误的是（ ）
A．asinA+bsinB＝cB．acsA+bcsB＝c
C．htanA+htanB＝cD．acsB+bcsA＝c
【分析】由余角的性质推出∠A＝∠BCD，∠B＝∠ACD，由锐角的正弦定义得到asinA+bsinB＝a×+b×＝AB＝c，由锐角的余弦定义得到acsA+bcsB＝a×+b×＝2h，由锐角的正切定义得到htanA+htanB＝h×+h×＝AB＝c，由锐角的余弦定义得到acsB+bcsA＝a×+b×＝AB＝c．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
同理：∠B＝∠ACD，
∴asinA+bsinB＝asin∠BCD+bin∠ACD＝a×+b×＝AD+BD＝AB＝c，
故A不符合题意；
∵csA＝cs∠BCD＝，csB＝cs∠ACD＝，
∴acsA+bcsB＝a×+b×＝2CD＝2h，
故B符合题意；
∵tanA＝tan∠BCD＝，tanB＝tan∠ACD＝，
∴htanA+htanB＝h×+h×＝BD+AD＝AB＝c，
故C不符合题意；
∵csA＝cs∠BCD＝，csB＝cs∠ACD＝，
∴acsB+bcsA＝a×+b×＝BD+AD＝AB＝c，
故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是熟练掌握锐角的三角函数定义．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）已知线段a＝4，b＝9，若线段c是a、b的比例中项，则c＝ 6 ．
【分析】根据线段比例中项平方等于两线段的积．
【解答】解：∵a＝4，b＝9，线段c是a、b的比例中项，
∴c2＝4×9，
解得：c＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查线段的比例线段，正确记忆相关知识点是解题关键．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有一个根为x＝1，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】首先把x＝1代入一元二次方程x2+3x+k＝0可得k的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有一个根为x＝1，
∴12+3×1+k＝0，
解得k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是：明确方程的解一定使原方程成立．
9．（3分）在比例尺为1：6000000的地图上，小聪量得我市和某市的直线距离是2.5cm，则实际距离是 150 km．
【分析】根据比例尺的定义进行解题即可．
【解答】解：2.5×6000000÷100÷1000＝150（km）．
故答案为：150．
【点评】本题考查比例尺，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
10．（3分）已知AB＝4cm，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 2 cm．
【分析】经过线段AB最小的圆即为以AB为直径的圆，求出半径即可．
【解答】解：根据题意得：经过线段AB最小的圆即为以AB为直径的圆，则此时半径为2cm．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段AB最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键．
11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若csA＝，则sinA的值为 ．
【分析】根据勾股定理以及锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：令Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∵∠C＝90°，csA＝＝，
可设b＝5k，c＝13k，
∴a＝＝12k，
∴sinA＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查同角的三角函数的关系，掌握勾股定理，锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
12．（3分）某商店10月份的利润是10000元，要使12月份的利润达到14400元，则平均每月利润增长的百分率是 20% ．
【分析】设平均每月利润增长的百分率是x，根据某商店10月份的利润是10000元，要使12月份的利润达到14400元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设平均每月利润增长的百分率是x，
根据题意得：10000（1+x）2＝14400，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
即平均每月利润增长的百分率是20%，
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，则△ABO的外心坐标是 （2，1） ．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A，点B的坐标，再根据直角三角形外心是斜边的中点解答即可．
【解答】解：直线y＝﹣x+2于x轴的交点A的坐标为（4，0），于y轴的交点B的坐标为（0，2），
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB为直角三角形，
∴△ABO的外心斜边AB的中点，即（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查的是三角形是外接圆与外心，掌握圆周角定理、直角三角形外心的定义是解题的关键．
14．（3分）如图，点G是△ABC的重心，GP∥AB，GQ∥AC．若△GPQ的面积为2，则△ABC的面积为 18 ．
【分析】连接AG，延长AG交BC于D，由三角形重心的性质得到DG：AD＝1：3，判定△DPG∽△DBA，推出PG：AB＝DG：AD＝1：3，由平行线的性质推出∠B＝∠GPQ，∠C＝∠GQP，判定△GPQ∽△ABC，推出＝＝，即可求出△ABC的面积．
【解答】解：连接AG，延长AG交BC于D，
∵点G是△ABC的重心，
∴DG：AD＝1：3，
∵GP∥AB，
∴△DPG∽△DBA，
∴PG：AB＝DG：AD＝1：3，
∵GP∥AB，GQ∥AC，
∴∠B＝∠GPQ，∠C＝∠GQP，
∴△GPQ∽△ABC，
∴＝＝，
∵△GPQ的面积为2，
∴△ABC的面积为18．
故答案为：18．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的重心，关键是由△GPQ∽△ABC，推出＝．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，tanB＝2，点D是AC的中点，点E在AB上．当时，AE长为 5或3 ．
【分析】先分别求出AC＝，AD＝CD＝，DE＝，AB＝10，①当DE∥BC时，则点E是AB的中点时，由此可得AE＝5，②当点E不是AB的中点时，设为E'，过点D作DH⊥AB于H，证明△ADH和△ABC相似得DH＝2，进而得E'H＝1，则EE'＝2，从而得AE'＝3，综上所述即可得出AE的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，tanB＝2，
∴tanB＝＝2，
∴AC＝2BC＝，
∵点D是AC的中点，
∴＝，AD＝CD＝AC＝，
∴＝＝，
∴DE＝2BC＝，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝10，
①当DE∥BC时，则DE是△ABC的中位线，
∴点E是AB的中点，
∴AE＝5，
②当DE和BC不平行时，设为E'，过点D作DH⊥AB于H，如图所示：
则∠AHD＝∠C＝90°，
又∵∠DAH＝∠BAC，
∴△ADH∽△ABC，
∴＝，
∴DH＝＝＝2，
∵DE＝DE'，
∴EH＝E'H，
在△DE'H中，由勾股定理得：E'H＝2＝＝1，
∠EE'＝2，
∴AE'＝AE﹣EE'＝5﹣2＝3，
综上所述：AE的长为5或3．
故答案为：5或3．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行运算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．
16．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0没有实数根．甲由于看错了某一项的符号，误求得两根为﹣1和4，则2b+3c的值为 6 ．
【分析】对甲看错的符号进行分类讨论，再结合误求的两根，利用根与系数的关系得出b，c的值，进一步根据此方程没有实数根对b，c的值进行取舍，最后代入2b+3c即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0没有实数根，
所以b2﹣4c＜0．
因为因为甲看错了某一项的符号，误求得两根为﹣1和4，
则当甲看错b的符号时，
﹣1+4＝b，﹣1×4＝c，
解得b＝3，c＝﹣4，
此时b2﹣4c＞0，
故不符合题意，舍去．
当甲看错c的符号时，
﹣1+4＝﹣b，﹣1×4＝﹣c，
解得b＝﹣3，c＝4，
此时b2﹣4c＜0，
故符合题意，
所以2b+3c＝2×（﹣3）+3×4＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
17．（12分）（1）解方程：x2﹣9＝3﹣x；
（2）计算：．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）原式第一项化简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果．
【解答】解：（1）x2﹣9＝3﹣x，
（x+3）（x﹣3）+（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x+3+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+4＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣4．
（2）原式＝2﹣4×+1
＝2﹣2+1
＝1．
【点评】本题主要考查实数的运算，解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝5，BC＝8，CD⊥AB，垂足为点D．求AC的长和∠A的余弦值．
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出BD及CD的长，进而得出AD的长，最后根据勾股定理及余弦的定义即可解决问题．
【解答】解：∵CD⊥AB，∠B＝60°，BC＝8，
∴sinB＝，csB，
则CD＝，BD＝4．
∵AB＝5，
∴AD＝AB﹣BD＝1．
在Rt△ACD中，
AC＝，
csA＝．
【点评】本题主要考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形及勾股定理，熟知特殊角的三角函数值、勾股定理及余弦的定义是解题的关键．
19．（8分）如图，以AB为直径的半圆O上有一点C，过点C作CD⊥OA，垂足为点D，过点A作AE⊥OC，垂足为点E（不与点O，C重合），AE的延长线交半圆O于点F．求证：．
【分析】利用垂径定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可．
【解答】证明：∵AE⊥OC，
∴AE＝FE＝AF，∠AEO＝90°，
∴∠A+∠AOE＝90°，
∵CD⊥OA，
∴∠CDO＝90°，
∴∠C+∠AOE＝90°，
∴∠A＝∠C，
在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴AE＝CD，
∴CD＝AF．
【点评】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，证明△AOE≌△COD是解题的关键．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程（n+2）x2﹣4nx+4（n﹣2）＝0（n≠﹣2）．
（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根；
（2）小明说：该方程总有一个固定的实数根．请你判断小明的说法是否正确？若正确，请求出该实数根；若不正确，请说明理由．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式Δ＞0来证明即可；
（2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4n）2﹣4×4（n﹣2）（n+2）＝16n2﹣16n2+64＝64＞0，
∴关于x的一元二次方程（n+2）x2﹣4nx+4（n﹣2）＝0（n≠﹣2）一定有两个不相等的实数根；
（2）解：小明的说法是正确的，理由：
由求根公式得：x＝＝，
∴x1＝2，x2＝，
∴该方程总有一个固定的实数根，
∴小明的说法是正确的．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．本题也考查了不等式的解法．
21．（10分）“复矩尺”是我国唐朝时期张遂（也称一行和尚）研究天文时制作的工具，其构造如图：组成直角的两边一长一短，角间有一弧形刻度，角顶点处有一丝线系一铜锤，用来测量北极星方向与水平线的夹角（图中的α角）．小明用自制的复矩尺用来测量操场上的旗杆高度，小明将复矩尺的长边对准旗杆顶部，测得点A到地面距离AB＝1.95m，旗杆底部C到B的距离CB＝9m，α＝37°．请帮小明计算出旗杆的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【分析】过点A作AE⊥CD于E，根据正切的定义求出DE，进而求出DC．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CD于E，
则四边形ABCE为矩形，
∴AE＝BC＝9m，EC＝AB＝1.95m，
由题意可知：∠DAE＝α＝37°，
在Rt△DAE中，AE＝9m，∠DAE＝37°，
∵tan∠DAE＝，
∴DE＝AE•an∠DAE≈9×0.75＝6.75（m），
∴DC＝6.75+1.95＝8.7（m），
答：旗杆的高度约为8.7m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（10分）某剧院举办文艺演出．经调研，票价每张30元时，1200张门票可以全部售出．为增加收入，剧院合理调高单价，发现实际销售门票数和票价满足如下一次函数关系：
要使门票收入达到36750元，该剧院应将票价调高几元？
【分析】利用待定系数法求出实际销售门票数关于票价的函数关系式，根据“票价×实际销售门票数＝门票收入”列方程并求解，再由调高票价之前的票价计算出该剧院应将票价调高几元即可．
【解答】解：设调高单价后票价是x元，实际销售门票数是y张．
设x与y之间的函数关系为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将x＝31，y＝1170和x＝32，y＝1140分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴x与y之间的函数关系为y＝﹣30x+2100，
当票收入达到36750元时，得（﹣30x+2100）x＝36750，即（x﹣35）2＝0，
解得x1＝x2＝35，
35﹣30＝5（元）．
答：该剧院应将票价调高5元．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．
23．（10分）如图，⊙O的直径AB＝12，半径OC⊥AB，D为弧BC上一动点（不包括B、C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E．F．
（1）求EF的长．
（2）若点E为OC的中点，
①求弧CD的度数．
②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．
【分析】（1）求出圆的半径，再判断出四边形OFDE是矩形，然后根据矩形的对角线相等解答即可；
（2）①根据线段中点的定义得到OE＝OC＝OD，根据三角形的内角和得到∠DOE＝60°，于是得到结论；
②延长CO交⊙O于G，l连接DG交AB于P，则PC+PD的最小值＝DG，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OD，
∵⊙O的直径AB＝12，
∴圆的半径为12÷2＝6，
∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，
∴四边形OFDE是矩形，
∴EF＝OD＝6；
（2）①∵点E为OC的中点，
∴OE＝OC＝OD，
∴∠EDO＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴弧CD的度数为60°；
②延长CO交⊙O于G，l连接DG交AB于P，
则PC+PD的最小值＝DG，
∵∠G＝∠COD＝30°，
∵EG＝9，
∴DG＝＝＝6，
∴PC+PD的最小值为6．
【点评】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，轴对称﹣最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的动点（不包括B，C两点），以点D为顶点作∠ADE＝∠ACB，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD，交射线DE于点F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）探索：点D在BC边上运动的过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其值．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠B＝∠DCE，再证∠BAD＝∠CDE，然后由相似三角形的判定即可得出结论；
（2）过点A作AM⊥BC于M，由等腰三角形的性质得BM＝BC＝8，再由锐角三角函数定义得cs∠ADE＝csB＝＝，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠EDC，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：点D在BC边上运动的过程中，的值不变化，理由如下：
过点A作AM⊥BC于M，则∠AMB＝90°，
∵AB＝AC，BC＝16，
∴BM＝BC＝8，
∵∠ADE＝∠B，
∴cs∠ADE＝csB＝＝＝，
∵AF⊥AD，
∴∠DAF＝90°，
在Rt△ADF中，cs∠ADF＝＝，
即的值不变化．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
25．（12分）定义：ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程．
（1）x2﹣6x+5＝0的友好方程是 5x2﹣6x+1＝0 ；
（2）互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根；
（3）如果ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝m，x2＝n．求友好方程的两个根．
【分析】（1）根据定义x2﹣6x+5＝0的友好方程是5x2﹣6x+1＝0；
（2）设这个公共根为t，可得at2+bt+c＝0，ct2+bt+a＝0，有（a﹣c）t2+c﹣a＝0，可解得t＝1或t＝﹣1；
（3）由ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝m，x2＝n，知am2+bm+c＝0，an2+bn+c＝0，故a+b•+c•（）2＝0，a+b•+c•（）2＝0，即可得cx2+bx+a＝0的两根为，．
【解答】解：（1）根据定义x2﹣6x+5＝0的友好方程是5x2﹣6x+1＝0；
故答案为：5x2﹣6x+1＝0；
（2）设这个公共根为t，
则at2+bt+c＝0，ct2+bt+a＝0，
∴（a﹣c）t2+c﹣a＝0，
∵a≠c，
∴t2＝1，
解得t＝1或t＝﹣1；
∴这个公共根为1或﹣1；
（3）∵ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝m，x2＝n，
∴am2+bm+c＝0，an2+bn+c＝0，
∵ac≠0，
∴m≠0，n≠0，
∴a+b•+c•（）2＝0，a+b•+c•（）2＝0，
即c•（）2+b•+a＝0，c•（）2+b•+a＝0，
∴cx2+bx+a＝0的两根为，．
【点评】本题考查一元二次方程的解，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“互为友好方程”的定义．
26．（14分）如图1，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，连接BD，CE交于点O．
（1）设BC＝a，CD＝b（a＞b）．若点E是边AD的中点，且CE⊥BD．求a：b的值；
（2）如图2，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接FO并延长交AD于点N，交BC于点M．
①当点E是边AD的中点时，＝ ，＝ （填比值），从而得出猜想：点M是BC的中点（无需证明）；
②当点E是边AD上任意一点时，求证：点M是BC的中点；
（3）如图3，矩形ABCD的顶点都在圆上，仅用无刻度直尺作出图3中垂直于BC的一条直径（不用写作法，保留作图痕迹）．
【分析】（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质得到，利用直角三角形的相似的判定定理与性质得到DE2＝OE•EC，CD2＝OC•EC，代入a，b值并化简即可得出结论；
（2）①利用线段的中点的定义，相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；
②利用①中 的方法类比解答即可；
（3）利用矩形的对角线即可得到该圆的圆心，再利用（2）中的方法找到BC的中点M，过O，M画直线即可得出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝90°，AD∥BC，
∴△OED∽△OCB，
∴，
∵点E是边AD的中点，
∴DE＝AD＝BC＝a，
∴．
∵∠ADC＝90°，CE⊥BD，
∴△DEO∽△CED，△COD∽CDE，
∴，，
∴DE2＝OE•EC，CD2＝OC•EC，
∴，
∴，
∴＝2，
∵a＞b＞0，
∴a：b＝．
（2）①解：∵点E是边AD的中点，
∴DE＝AD＝BC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴△FDE∽△FBC，
∴．
∵AD∥BC，
∴△FEN∽△FBM，
∴；
∵AD∥BC，
∴△OED∽△OCB，
∴，
同理可证：△OEN∽△OCM，
∴．
故答案为：；；
从而，可以得到：点M是BC的中点；
②证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴△FDE∽△FBC，△OED∽△OCB，
∴，，
∴．
∵AD∥BC，
∴△FEN∽△FBM，△OEN∽△OCM，
∴，，
∴，
∴BM＝CM，
∴点M是BC的中点；
（3）解：1．连接AC，BD，AC与BD交于点O．则点O为圆心，
2．在边AD上任意取一点E，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接CE交BD于点G，连接FG并延长交AD于点N，交BC于点M，
3．过点O，M作直线，交圆于点Q，H，
则线段QH为垂直于BC的一条直径．如图，
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的性质，线段的中点的定义，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，基本作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质，准确理解题干中的结论并熟练运用是解题的关键.票价（元）
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