江苏省无锡市八校联考2024-2025学年上学期九年级11月数学试卷

这是一份江苏省无锡市八校联考2024-2025学年上学期九年级11月数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中是一元二次方程的是( )
A. x2+2x+3=x2B. y2+x+1=0C. x2-2=0D. x-1x=0
2.用配方法解一元二次方程x2-4x+2=0，配方后得到的方程，正确的是( )
A. (x+4)2=4B. (x-4)2=4C. (x+2)2=2D. (x-2)2=2
3.下列四组线段中，是成比例线段的是( )
A. 5cm，15cm，2cm，6cmB. 4cm，6cm，3cm，5cm
C. 1cm，2cm，3cm，4cmD. 3cm，4cm，2cm，5cm
4.已知⊙O的直径为10cm，若线段OA的长为6cm，则点A与⊙O的位置关系是( )
A. 点在圆上B. 点在圆外C. 点在圆内D. 无法确定
5.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=68∘，则∠ABC度数为( )
A. 22∘
B. 30∘
C. 32∘
D. 68∘
6.下列说法正确的是( )
A. 直径所对的角是直角B. 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
C. 三点确定一个圆D. 相等的圆心角所对的弧相等
7.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(3,0).以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A'OB'，则A'，B'的坐标是( )
A. (1,32)，(32,0)B. (4,5)，(5,0)C. (4,6)，(6,0)D. (6,9)，(9,0)
8.如图，等边△ABC沿DE折叠，点A的对应点A'恰好落在BC上(端点除外).下列结论，一定成立的是( )
A. AD=BD
B. △BDA'∽△A'ED
C. A'CBD=CEBA'=DA'A'E
D. △BA'D的周长△CEA'的周长=DA'A'E
9.如图，AB，CD相交于点E，点A，B，C，D都在格点上，则AEBE的值为( )
A. 43
B. 54
C. 65
D. 76
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=1，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，线段CE的延长线交AB于点F，连接BE，DF.如下结论：①DB2=DE⋅DA；②BE平分∠DEF；③BF=13 2；④S△BDF：S△AEF=2：3.其中正确结论为( )
A. ①③B. ②③C. ①②④D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在比例尺为1：36000的无锡旅游地图上，某条道路的长为10cm，则这条道路的实际长度为______km.
12.如果α、β是关于x的一元二次方程x2-4x+n=0的两个实数根，那么α+β=______.
13.某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为______.
14.学校报告厅舞台的宽AB为10m，小明作为新选任的主持人，想利用学过的黄金分割知识选持合适的位置站立，则他选择的位置离A点______m.(写出所有可能，精确到0.1m)
15.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC=150∘，则∠B=______.
16.在△ABC中，∠C=90∘，AB=6，点O为△ABC的重心，连接OC，则OC=______.
17.如图，△ABC中，AB=7，AC=4，BC上的高AD=3.则△ABC外接圆的半径长为______.
18.如图，在四边形ABCD中，AB=3，AD=4，连接AC，BD，若∠CBD=2∠CDB=60∘，则AC长度的最大值为______.
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解方程：
(1)x2-3x-2=0；
(2)(x+3)2=x+3.
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+2k-1=0(k为常数).
(1)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根.
21.(本小题10分)
如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C.
(1)求证：△ABD∽△ACB；
(2)若AB=5，CD=4，求AD的长.
22.(本小题10分)
如图，已知AB.
(1)在AB上求作点C，使AC与BC的长度比为1：3；(用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接AB，若AB=8，AB上的点到AB的大距离为2，求AB所在圆的半径长.(如果需要图形，请使用备用图)
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90∘，以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E.
(1)若∠B=28∘，求DE的度数；
(2)若BE=EC=4，求AD的长.
24.(本小题10分)
某服装大卖场以每件60元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量m(件)与每件的销售价x(元)之间的函数关系为m=300-3x.
(1)当每天的销售量为45件时，求销售这种服装的毛利润；
(2)如果商场想销售这种服装每天获得900元的毛利润，同时又考虑薄利多销，那么每件服装的销售价应定为多少元？
25.(本小题10分)
如图，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小明在D处测得自己的影长DH=2m，在F处测得自己的影长FG=3m.小明身高1.5m.
(1)若测出BD=am，求灯杆AB的长；(用含a的代数式表示)
(2)若测出FH=1m，求灯杆AB的长.
26.(本小题10分)
先阅读下列例题，再按要求解答问题：
例题：求代数式x2+4x+5的最小值.
解：x2+4x+5=(x2+4x+4)+1=(x+2)2+1.
∵(x+2)2≥0，∴(x+2)2+1≥1.
∴x2+4x+5的最小值是1.
(1)求代数式-2x2+12x+15的最大值；
(2)某商场将进价为2000元的某品牌电视机以2500元售出，平均每天能售出8台.为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出2台.试问商场每天最多盈利多少元？
27.(本小题10分)
【探究活动】如图，BE是△ABC的中线，点D在BC上，BE交AD于点F.
(1)当CDBD=12时，求AFFD的值；
(2)当CDBD=1n时，则AFFD=______；(用含n的代数式表示)
【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BE是△ABC的中线，点D在直线BC上，射线BE交AD于点F.若CD=2，BD=6，AC=4时，求BF的值.
28.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=3cm，动点P以1cm/s的速度沿着折线AB，BC运动到点C时停止.已知△PA'D与△PAD关于直线PD对称，连接AA'.设运动时间为ts.
(1)当点A'落在对角线BD上时，t=______；
(2)当点P在BC上运动时，点A，P，A'能否在同一条直线上？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由，并求出△APA'的面积的最小值；
(3)连接BA'，若△ABA'是直角三角形，请直接写出t的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.∵原方程可整理得2x+3=0，未知数的最高次数是1，
∴方程x2+2x+3=x2不是一元二次方程，选项A不符合题意；
B.∵方程y2+x+1=0含有两个未知数，
∴方程y2+x+1=0不是一元二次方程，选项B不符合题意；
C.方程x2-2=0是一元二次方程，选项C符合题意；
D.∵方程x-1x=0不是整式方程，
∴方程x-1x=0不是一元二次方程，选项D不符合题意．
故选：C.
根据一元二次方程的定义，逐一分析各选项中的方程即可．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：x2-4x+2=0，
x2-4x=-2，
x2-4x+4=2，
(x-2)2=2，
故选：D.
先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2即可完成配方．
本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤．
3.【答案】A
【解析】解：A、∵5：15=2：6，∴这一组线段成比例．
B、∵4：6≠3：5，∴这一组线段不成比例．
C、∵1：2≠3：4，∴这一组线段不成比例．
D、∵3：4≠2：5，∴这一组线段不成比例．
故选：A.
根据成比例线段的定义逐项判断即可．
本题主要考查了成比例线段的判断，理解定义是解题的关键．即如果四条线段a，b，c，d满足a：b=c：d，那么这四条线段称为比例线段．
4.【答案】B
【解析】解：∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的半径为5cm，
∵OA=6cm>5cm，
∴点A在⊙O外．
故选：B.
先求出⊙O的半径，再根据点与圆的位置关系即可求解．
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d>r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d0，
∴x=3± 172×1=3± 172，
∴x1=3+ 172，x2=3- 172.
(2)(x+3)2=x+3，
(x+3)2-(x+3)=0，
(x+3)(x+3-1)=0，
∴x+3=0或x+2=0，
∴x1=-3，x2=-2.
【解析】(1)利用公式法求解即可；
(2)利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵Δ=[-(k+2)]2-4(2k-1)
=k2+4k+4-8k+4
=k2-4k+4+4
=(k-2)2+4，
∵(k-2)2≥0，
∴Δ>0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：∵方程的一个根为3，
∴9-3(k+2)+2k-1=0，
∴k=2，
∴方程为x2-4x+3=0，
∴x1=3，x1=1，
∴另一个根为1，k=2.
【解析】(1)证明Δ>0，可得结论；
(2)根据方程解的定义求出k的值，再求出方程的根可得结论．
本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根与系数关系，属于中考常考题型．
21.【答案】(1)证明：∵∠ABD=∠C，∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB；
(2)设AD=x，
∵AB=5，CD=4，
∴AC=AD+CD=x+4，
∵△ABD∽△ACB，
∴AB：AC=AD：AB，
∴AB2=AD⋅AC，
∴52=x(x+4)，
整理得：x2+4x-25=0，
解得：x= 29-2，x=- 29-2(不合题意，舍去)，
∴AD=x= 29-2.
【解析】(1)根据∠ABD=∠C，∠BAD=∠CAB即可得出结论；
(2)设AD=x，AC=AD+CD=x+4，根据△ABD和△ACB相似得AB：AC=AD：AB，将AB=5，AD=x，AC=x+4代入比例式整理得x2+4x-25=0，由此解出x即可得AD的长．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)如图1中，点C即为所求；
(2)如图2中，设圆心为O，半径OC⊥AB于点D，设OA=OC=r，
∵OC⊥AB，
∴AD=DB=4，
在Rt△ADO中，r2=42+(r-2)2，
解得r=5.
∴AB所在圆的半径为5.
【解析】(1)连接AB作线段AB的垂直平分线交AB于点D，连接AD，作线段AD的垂直平分线交AD于点C，点C即为所求；
(2)如图2中，设圆心为O，半径OC⊥AB于点D，设OA=OC=r，利用勾股定理构建方程求解．
本题考查作图-复杂作图，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：(1)如图，连接CD.
∵∠C=90∘，∠B=28∘，
∴∠A=90∘-∠B=62∘，
∵CA=CD，
∴∠ADC=∠A=62∘，
∴∠BCD=∠ADC-∠B=62∘-28∘=34∘，
∴DE的度数是34∘.
(2)延长BC交圆C于点F.
∵BE=EC=4，
∴BC=BE+EC=8，CF=AC=EC=4，
∴BF=BC+CF=12，
在Rt△ABC中利用勾股定理，得AB= AC2+BC2= 42+82=4 5，
设AD=x，则BD=AB-AD=4 5-x，
根据切割线定理，得BD⋅AB=BE⋅BF，
∴4 5(4 5-x)=4×12，
∴x=8 55，
∴AD的长为8 55.
【解析】(1)连接CD，求出∠A的度数，根据等腰三角形的性质求出∠ADC的度数，再由三角形外角的性质计算∠BCD的度数即可；
(2)延长BC交圆C于点F，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB；设AD=x，用x将BD表示出来，根据切割线定理列方程并求解即可．
本题考查圆心角、弧、弦的关系，切割线定理，掌握三角形外角的性质、圆心角、弧、弦的关系，切割线定理，勾股定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)当m=45时，45=300-3x，
解得：x=85，
∴45×(85-60)=1125(元)，
答：当每天的销售量为45件时，销售这种服装的毛利润为1125元；
(2)设每件服装的销售价应定为x元，
由题意得：(x-60)(300-3x)=900，
整理得：x2-160x+6300=0，
解得：x1=70，x2=90，(不符合题意，舍去)，
答：每件服装的销售价应定为70元．
【解析】(1)根据m=300-3x求出x的值，即可解决问题；
(2)设每件服装的销售价应定为x元，根据商场想销售这种服装每天获得900元的毛利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵AB//CD，
∴△ABH∽△CDH，
∴ABCD=BHDH，
∵CD=1.5m，DH=2m，BD=am，
∴AB1.5=a+22，
∴AB=(34a+32)m；
(2)∵EF//AB，
∴△GEF∽△GAB，
∴GFGB=EFAB，
∵CD//AB，
∴△HCD∽△HAB，
∴HDHB=CDAB，
∵CD=EF，
∴GFGB=HDHB，
∴33+1+BH=2BH，
∴BH=8，
∴28=1.5AB，
∴AB=6m.
【解析】(1)判定△ABH∽△CDH，推出ABCD=BHDH，得到AB1.5=a+22，求出AB=(34a+32)m；
(2)判定△GEF∽△GAB，推出GFGB=EFAB，判定△HCD∽△HAB，推出HDHB=CDAB，而CD=EF，得到GFGB=HDHB，求出BH=8，得到28=1.5AB，求出AB=6m.
本题考查相似三角形的应用，列代数式，中心投影，关键是判定△GEF∽△GAB，推出GFGB=EFAB，判定△HCD∽△HAB，推出HDHB=CDAB，得到关于BH的方程．
26.【答案】解：(1)-2x2+12x+15=-2(x-3)2+33≤33，
即代数式-2x2+12x+15的最大值为33；
(2)设降低x元时，盈利w最大，
由题意得：w=(2500-200-x)(8+125x)=-125(x-150)2+4900≤4900(元)，
故商场每天最多盈利4900元．
【解析】(1)由-2x2+12x+15=-2(x-3)2+33≤33，即可求解；
(2)设降低x元时，盈利w最大，由题意得：w=(2500-200-x)(8+125x)=-125(x-150)2+4900≤4900，即可求解．
本题考查了二次函数的应用，主要考查了完全平方式和偶次方的非负性，掌握完全平方公式的结构特点和偶次方的非负性是解决本题的关键．
27.【答案】n+1n
【解析】解：(1)如图，过点D作DG//AC交BE于点G，
则∠ADG=∠DAC，∠BGD=∠BEC，
∵∠AFE=∠DFG，
∴△AFE∽△DFG，
∴AFFD=AEGD，
∵∠DBG=∠CBE，
∴△BDG∽△BCD，
∴GDCE=BDBC，
∵CDBD=12，
∴BDBC=23，
∴GDCE=BDBC=23，
∵BE是中线，
∴AE=CE，
∴GDAE=GDCE=23，
∴AFFD=AEGD=32，
(2)如图，过点D作DG//AC交BE于点G，
同(1)中方法可知AFFD=AEGD=CEGD=BCBD，
∵CDBD=1n，
∴BCCD=n+1n，
∴AFFD=n+1n，
故答案为：n+1n；
【解决问题】分两种情况，
①当点D在线段BC上时，如图所示，
∵BD=6，CD=2，
∴CDBD=13，
由前述结论可知AFFD=43，
∴DFAD=37，
过F作FH⊥BC于点H，则∠BHF=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACB=∠BHF，
∵∠FDH=∠ADC，
∴△FDH∽△ADC，
∴DHCD=FHAC=DFAD=37，
∴DH=67，FH=127，
∴BH=BD+DH=487，
在Rt△BFH中，BF= BH2+FH2=12 177；
②当点D在线段BC延长线上时，如图所示，
同(1)中方法，可求得AFFD=23，
∴FDAD=35，
过F作FH⊥BC于点H，则∠BHF=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD=∠BHF，
∵∠FDH=∠ADC，
∴△FDH∽△ADC，
∴DHCD=FHAC=DFAD=35，
∴DH=65，FH=125，
∴BH=BD-DH=245，
在Rt△BFH中，BF= BH2+FH2=12 55.
综上，BF的值为12 177或12 55.
(1)过点D作DG//AC交BE于点G，利用△AFE∽△DFG，△BDG∽△BCD，得到AFFD=AEGD=CEGD=BCBD，即可得解；
(2)同(1)思路一样；
【解决问题】由射线BE交AD于点F可知，点D有可能在线段BC上，有可能在线段BC延长线上，所以分两种情况讨论，再利用前述结论得出AFFD，然后构造直角三角形，利用相似求出直角边长，再结合勾股定理求出BF的长即可．
本题主要考查了平行分线段成比例、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，作出合适的辅助线是解题的关键．
28.【答案】43
【解析】解：(1)如图1，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，AD=4cm，AB=3cm，
∴∠BAD=90∘，
在Rt△ABD中，BD= AB2+AD2= 32+42=5(cm)，
由题意得PA=tcm，
∴PB=(3-t)cm，
∵△PA'D与△PAD关于直线PD对称，且点A'落在对角线BD上，
∴DA'=AD=4cm，PA'=PA=tcm，∠DA'P=∠DAP=90∘，
∴A'B=BD-DA'=5-4=1(cm)，
∵∠PA'B=180∘-∠DA'P=90∘，
∴PA'2+A'B2=PB2，即t2+12=(3-t)2，
解得：t=43，
故答案为：43；
(2)∵△PA'D与△PAD关于直线PD对称，
∴AA'⊥DP，AE=A'E，
∴∠AED=90∘，
∴S△APA'=2S△APE，
当S△APA'最小时，S△APE最小，
∵S△APD=12S矩形ABCD=12×4×3=6，
∴S△ADE=6-S△APE为最大值，
∵AD=4cm，
∴当∠DAE=45∘时，S△ADE最大，
如图2，过点E作EF⊥AD于点F，
则F为AD的中点，
∴EF=12AD=2(cm)，
∴S△ADE=12AD⋅EF=12×4×2=4(cm2)，
∴S△APE=6-4=2(cm2)，
∴S△APA'的最大值=4cm2；
(3)连接A'B，如图3，
当∠AA'B=90∘时，
则∠AA'B=∠AEP=90∘，
∴DP//A'B，
∴△APE∽△ABA'，
∴APAB=AEAA'=12，
∴AP=12AB=32cm，
∴t=32；
当∠ABA'=90∘时，如图4，
由题意得：A'P=AP=tcm，PB=(3-t)cm，
∵∠AED=∠DAB=∠B=90∘，
∴∠ADP+∠DAE=∠DAE+∠BAA'=90∘，
∴∠ADP=∠BAA'，
∴△ADP∽△BAA'，
∴A'BAB=APAD，即A'B3=t4，
∴A'B=34t，
∵PB2+A'B2=A'P2，
∴(3-t)2+(34t)2=t2，
解得：t=16-4 73或t=16+4 73(舍去)；
当∠BAA'=90∘时，如图5，
∵A、A'关于DP对称，
∴点P与点C重合，
∴t=7；
综上所述，当△ABA'是直角三角形时，t的值为32或16-4 73或7.
(1)连接BD，利用勾股定理可得BD=5cm，由题意得PA=tcm，则PB=(3-t)cm，再运用勾股定理建立方程求解即可得出答案；
(2)由对称得AA'⊥DP，AE=A'E，进而推出S△APA'=2S△APE，当S△APA'最小时，S△APE最小，S△ADE=6-S△APE为最大值，当∠DAE=45∘时，S△ADE最大，过点E作EF⊥AD于点F，则F为AD的中点，运用三角形面积公式即可求得答案；
(3)分三种情况：当∠AA'B=90∘时，当∠ABA'=90∘时，当∠BAA'=90∘时，分别利用相似三角形的判定和性质即可求得答案．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，轴对称的性质，三角形面积，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键．