人教版数学九年级下册考点提分练习专题28 投影与视图与模拟精练（2份，原卷版+解析版）

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专题28 投影与视图最新中考真题与模拟精练1．（2022·安徽·定远县育才学校一模）学习投影后,小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律.如图,在同一时间,身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3 m,而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点,并测得HB=6 m.(1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G;(2)求路灯灯泡的垂直高度GH;(3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去,当小明走到BH的中点B1处时,其影子长为B1C1;当小明继续走剩下路程的 SKIPIF 1 < 0 到B2处时,其影子长为B2C2;当小明继续走剩下路程的 SKIPIF 1 < 0 到B3处,…,按此规律继续走下去,当小明走剩下路程的 SKIPIF 1 < 0 到Bn处时,其影子BnCn的长为 SKIPIF 1 < 0  　m.(直接用含n的代数式表示) 【答案】(1)详见解析；（2）路灯灯泡的垂直高度GH是4.8 m；（3）BnCn= SKIPIF 1 < 0 .【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出；（2）要求垂直高度GH可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中△ABC∽△GHC由它们对应成比例可以求出GH；（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律．【详解】解:(1)形成影子的光线如图所示,路灯灯泡所在的位置为点G.(2)根据题意,得△ABC∽△GHC,∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,解得GH=4.8 m.答:路灯灯泡的垂直高度GH是4.8 m.(3)提示:同理可得△A1B1C1∽△GHC1,∴ SKIPIF 1 < 0 ,设B1C1长为x m,则 SKIPIF 1 < 0 ,解得x=1.5,即B1C1=1.5 m.同理 SKIPIF 1 < 0 ,解得B2C2=1 m,∴ SKIPIF 1 < 0 ,解得BnCn= SKIPIF 1 < 0 .【点睛】本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题．2．（2019·江苏扬州·中考真题）如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题.（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）= ；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）. 【答案】（1）2 ；（2）△ABC的面积=39；（3）T（BC，CD）= SKIPIF 1 < 0 【分析】(1)如图1，过C作CH⊥AB，根据正投影的定义求出BH的长即可；(2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，由正投影的定义可知AH=4，BH=9，再根据相似三角形的性质求出CH的长即可解决问题；(3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，求出CD、DK即可得答案.【详解】(1)如图1，过C作CH⊥AB，垂足为H，∵T(AC，AB)=3，∴AH=3，∵AB=5，∴BH=AB-AH=2，∴T(BC，AB)=BH=2，故答案为2； (2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，则∠AHC=∠CHB=90°，∴∠B+∠HCB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°∴∠A=∠HCB，∴△ACH∽△CBH，∴CH：BH=AH：CH，∴CH2=AH·BH，∵T(AC，AB)=4，T(BC，AB)=9，∴AH=4，BH=9，∴AB=AH+BH=13，CH=6，∴S△ABC=(AB·CH)÷2=13×6÷2=39； (3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，∵∠ACD=90°，T(AD，AC)=2，∴AC=2，∵∠A=60°，∴∠ADC=∠BDK=30°，∴CD=AC·tan60°=2 SKIPIF 1 < 0 ，AD=2AC=4，AH= SKIPIF 1 < 0 AC=1，∴DH=4-1=3，∵T(BC，AB)=6，CH⊥AB，∴BH=6，∴DB=BH-DH=3，在Rt△BDK中，∠K=90°，BD=3，∠BDK=30°，∴DK=BD·cos30°= SKIPIF 1 < 0 ，∴T(BC，CD)=CK=CD+DK= SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 . 【点睛】本题是三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，理解题意，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题问题的关键.3．（2020·四川攀枝花·中考真题）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 SKIPIF 1 < 0 的距离皆为 SKIPIF 1 < 0 ．王诗嬑观测到高度 SKIPIF 1 < 0 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 SKIPIF 1 < 0 ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度 SKIPIF 1 < 0 ，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为 SKIPIF 1 < 0 ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 SKIPIF 1 < 0 ？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 SKIPIF 1 < 0 ，则高圆柱的高度为多少 SKIPIF 1 < 0 ？【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得：x=120，经检验：x=120是分式方程的解，王诗嬑的的影子长为120cm；（2）正确，因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，过点F作FG⊥CE于点G，由题意可得：BC=100，CF=100，∵斜坡坡度 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中， SKIPIF 1 < 0 ，解得：m=20，∴CG=60，FG=80，∴BG=BC+CG=160，过点F作FH⊥AB于点H，∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，可知四边形HBGF为矩形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴AH= SKIPIF 1 < 0 =200，∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，故高圆柱的高度为280cm.【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．4．（2011·全国·中考模拟）如图所给的A、B、C三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设A、B、C三个几何体的主视图分别是A SKIPIF 1 < 0 、B SKIPIF 1 < 0 、C SKIPIF 1 < 0 ；左视图分别是A SKIPIF 1 < 0 、B SKIPIF 1 < 0 、C SKIPIF 1 < 0 ；俯视图分别是A3、B3、C3．（1）请你分别写出A SKIPIF 1 < 0 、A SKIPIF 1 < 0 、A SKIPIF 1 < 0 、B SKIPIF 1 < 0 、B SKIPIF 1 < 0 、B SKIPIF 1 < 0 、C SKIPIF 1 < 0 、C SKIPIF 1 < 0 、C SKIPIF 1 < 0 图形的名称；（2）小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A SKIPIF 1 < 0 、A SKIPIF 1 < 0 、A SKIPIF 1 < 0 的三张卡片放在甲口袋中，画有B SKIPIF 1 < 0 、B SKIPIF 1 < 0 、B SKIPIF 1 < 0 的三张卡片放在乙口袋中，画有C SKIPIF 1 < 0 、C SKIPIF 1 < 0 、C SKIPIF 1 < 0 的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片．①画出树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；②小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？【答案】(1)见解析；（2）① SKIPIF 1 < 0 ;②不公平，详见解析. 【分析】（1）通过观察几何体，直接写出它们三种视图的名称则可；（2）按照题意画出树状图，获胜的概率相同游戏就公平．【详解】（1）由已知可得A1、A2是矩形，A3是圆；B1、B2、B3都是矩形；C1是三角形，C2、C3是矩形；（2）①补全树状图如下：由树状图可知，共有27种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都相同的结果有12种，∴三张卡片上的图形名称都相同的概率是 SKIPIF 1 < 0 ；②游戏对双方不公平．由①可知，三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，即P（小刚获胜）= SKIPIF 1 < 0 ，三张卡片上的图形名称完全不同的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，即P（小亮获胜）= SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ＞ SKIPIF 1 < 0 ，∴这个游戏对双方不公平．【点睛】本题比较容易，考查三视图和考查立体图形的三视图和学生的空间想象能力．还考查了通过画树状图求随机事件的概率．用到的知识点为：三视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形；概率=所求情况数与总情况数之比．5．（2022·陕西·中考真题）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．【答案】旗杆的高AB为3米．【分析】证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解．【详解】解：∵AD∥EG，∴∠ADO=∠EGF．又∵∠AOD=∠EFG=90°，∴△AOD∽△EFG．∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ．同理，△BOC∽△AOD．∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴AB=OA−OB=3（米）．∴旗杆的高AB为3米．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．6．（2022·江西·模拟预测）如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在 SKIPIF 1 < 0 处，点C落在 SKIPIF 1 < 0 处， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)BD的长为______．(2)如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时．①求 SKIPIF 1 < 0 的度数；（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）．【答案】(1)250cm(2)①35°；② SKIPIF 1 < 0 【分析】（1）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在 SKIPIF 1 < 0 处，点C落在 SKIPIF 1 < 0 处，可得 SKIPIF 1 < 0 ，代入数据求解即可；（2）①过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；②根据题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据正投影是一个圆，根据圆的面积公式求解即可．（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0 当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在 SKIPIF 1 < 0 处，点C落在 SKIPIF 1 < 0 处，可得 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 cm（2）①如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 cm， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 cm， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ②如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 根据题意可知 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 伞能遮雨的面积为 SKIPIF 1 < 0 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正投影，理解题意是解题的关键．7．（2018·江苏扬州·中考模拟）如图 1，在平面直角坐标系中，图形 W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点 P( SKIPIF 1 < 0   ,  SKIPIF 1 < 0  ) ，Q( SKIPIF 1 < 0  ,  SKIPIF 1 < 0 ) 是图形 W 上的任意两点，若 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 m ，则图形 W 在 x 轴上的投影长度为 lx    m ；若 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 n ，则图形 W 在 y 轴上的投影长度为 ly    n ．如图 1，图形 W 在 x 轴上的投影长度为 lx    SKIPIF 1 < 0   4 ；在 y 轴上的 投影长度为 ly    SKIPIF 1 < 0  3 ．（1）已知点 A(1, 2) ， B(2, 3) ， C (3,1) ，如图 2 所示，若图形 W 为四边形 OABC ，则 lx    ， ly    ；（2）已知点 C ( SKIPIF 1 < 0 , 0) ，点 D 在直线 y   SKIPIF 1 < 0 x  1(x  0) 上，若图形 W 为 OCD ，当 lx    ly时，求点 D 的坐标；（3 ）若图形 W 为函数 y  x 2(a  x  b) 的图象，其中 (0  a  b) ，当该图形满足lx    ly    1时，请直接写出 a 的取值范围．图 1                      图 2【答案】（1）4,3;(2)（- SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（-10，-14）;(3)  SKIPIF 1 < 0 .【分析】（1）确定出点A在y轴的投影的坐标、点B在x轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；（2）过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=|2x+6|．PC=|3-x|，然后依据lx=ly，列方程求解即可；（3）设A（a，a2）、B（b，b2）．分别求得图形在y轴和x轴上的投影，由lx=ly可得到b+a=1，然后根据0≤a＜b可求得a的取值范围．【详解】解：（1）∵A（3，3），∴点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）．∴△OAB在y轴上的投影长度ly=3．∵B（4，1），∴点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）．∴△OAB在x轴上的投影长度lx=4．故答案为4；3．（2）如图1所示；过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=2x+6．∵PD⊥x轴，∴P（x，0）．∴PC=4-x．∵lx=ly，∴2x+6=4-x，解得；x=- SKIPIF 1 < 0 ．∴D（- SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．如图2所示：过点D作DP⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=-2x-6．∵PD⊥x轴，∴P（x，0）．∴PC=4-x．∵lx=ly，∴-2x-6=4-x，解得；x=-10．∴D（-10，-14）．综上所述，点D的坐标为（- SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（-10，-14）．（3）如图3所示：设A（a，a2）、B（b，b2）．则CE=b-a，DF=b2-a2=（b+a）（b-a）．∵lx=ly，∴（b+a）（b-a）=b-a，即（b+a-1）（b-a）=0．∵b≠a，∴b+a=1．又∵0≤a＜b，∴a+a＜1，∴0≤a＜ SKIPIF 1 < 0 .【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用、解答本题主要应用了图形W在坐标轴上的投影长度定义、一次函数、二次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，依据lx=ly列出关于x的方程和不等式是解题的关键．8．（2022·江苏无锡·模拟预测）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，点O是正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心 SKIPIF 1 < 0 垂直于地面，是正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子 SKIPIF 1 < 0 的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 表示．（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，金字塔甲的影子是 SKIPIF 1 < 0 ，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m．（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形 SKIPIF 1 < 0 边长为 SKIPIF 1 < 0 ，金字塔乙的影子是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．【答案】（1）100；（2） SKIPIF 1 < 0 ．【分析】（1）如图2中，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ；（2）如图1中，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于 SKIPIF 1 < 0 ,勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ．【详解】（1）如图2中，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  ， SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设金子塔的高度为 SKIPIF 1 < 0 ，物体的长度与影子的长度成比例， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：100．（2）如图，根据图1作出俯视图，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 乙金字塔的高度为 SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，俯视图，物长与影长成正比等知识，正确的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．9．（2021·全国·九年级专题练习）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点 SKIPIF 1 < 0 处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体 SKIPIF 1 < 0 上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）见详解【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论．【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2- SKIPIF 1 < 0 ×2×1=3，∴站在监控盲区的概率=3÷20= SKIPIF 1 < 0 ；（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2× SKIPIF 1 < 0 ×1×2=2，若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积= SKIPIF 1 < 0 ×(CM+2)×2＞2．【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键．10．（2019·陕西西安·中考模拟）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？【答案】（1）18米；（2） SKIPIF 1 < 0 米【分析】（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP＝ SKIPIF 1 < 0 AB，即得BQ＝ SKIPIF 1 < 0 AB，则 SKIPIF 1 < 0 AB+12+ SKIPIF 1 < 0 AB＝AB，解得AB＝18（m）；（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用比例性质求出BN即可．【详解】解：（1）如图1，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴AP＝ SKIPIF 1 < 0 AB，∵QB=AP，∴BQ＝ SKIPIF 1 < 0 AB，而AP+PQ+BQ＝AB，∴ SKIPIF 1 < 0 AB+12+ SKIPIF 1 < 0 AB＝AB，∴AB＝18．答：两路灯的距离为18m；（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得BN＝3.6．答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法．11．（2021·全国·九年级专题练习）小华想用学过的测量知识来测量家门前小河BC的宽度：如图所示，他们在河岸边的空地上选择一点C，并在点C处安装了测倾器CD，选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点B，顶部作为点A，现测得古树的项端A的仰角为37°，再在BC的延长线上确定一点F，使CF＝5米，小华站在F处，测得小华的身高EF＝1.8米，小华在太阳光下的影长FG＝3米，此时，大树AB在太阳光下的影子为BF．已知测倾器的高度CD＝1.5米，点G、F、C、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于BG，求小河的宽度BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【答案】10米【分析】过点D作DH⊥AB所在直线于点H，可得四边形DCBH是矩形，BC＝DH，BH＝CD＝1.5，设BC＝DH＝x，在Rt△ADH中，用x表示出AH，再根据同一时刻物高与影长的比相等，列出等式即可求出小河的宽度BC．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB所在直线于点H，可得四边形DCBH是矩形，∴BC＝DH，BH＝CD＝1.5，设BC＝DH＝x，根据题意可知：在Rt△ADH中，∠ADH＝37°，∴AH＝DH•tan37°≈0.75x，∴AB＝AH＋BH＝0.75x＋1.5，BF＝FC＋CB＝5＋x，根据同一时刻物高与影长的比相等，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得x＝10，所以BC＝10（米），答：小河的宽度BC为10米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、平行投影，解决本题的关键是设出未知数，利用同一时刻物高与影长的比相等建立方程．12．（2021·全国·九年级专题练习）在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学测量树的高度时，发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米”；小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长”．（1）你认为小玲和小强的说法对吗？（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度；（3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？【答案】（1）小玲的说法不对，小强的说法对；（2）树的高度为8米；（3）树的影子长度是4.8米．【分析】（1）根据题意可得小玲的说法不对，小强的说法对；（2）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，DE=0.3，EH=0.18，进而可求大树的影长AF，所以可求大树的高度；（3）结合（2）即可得树的影长．【详解】（1）小玲的说法不对，小强的说法对，理由如下（2）可得；（2）根据题意画出图形，如图所示，根据平行投影可知： SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，DE＝0.3，∴EH＝0.3×0.6＝0.18，∵四边形DGFH是平行四边形，∴FH＝DG＝0.2，∵AE＝4.42，∴AF＝AE+EH+FH＝4.42+0.18+0.2＝4.8，∵ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴AB＝ SKIPIF 1 < 0 ＝8（米）．答：树的高度为8米．（3）由（2）可知：AF＝4.8（米），答：树的影子长度是4.8米．【点睛】考查了相似三角形的应用、平行投影，解题关键是掌握并运用平行投影．13．（2021·全国·九年级专题练习）为方便住校生晚自习后回到宿舍就寝，新安装了一批照明路灯；一天上午小刚在观看新安的照明灯时，发现在太阳光的正面照射下，照明灯的灯杆的投影的末端恰好落在2.5米高文化走廊墙的顶端，小刚测得照明灯的灯杆的在太阳光下的投影从灯杆的杆脚到文化走廊的墙脚的影长为4.6米，同一时刻另外一个前来观看照明路灯小静测得身高1.5米小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米，请同学们画出与问题相关联的线条示意图并求出新安装的照明路灯的灯杆的高度？【答案】线条示意图见解析，新安装的照明路灯的灯杆的高度为9.4m.【分析】利用同一时刻投影的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ,进而得出答案．【详解】解:如图所示:过点E作EB⊥AC于点B,由题意可得:DC=BE=4．6m，DE=BC=2. 5m,∵同一时刻身高1．5米小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米, SKIPIF 1 < 0 解得: AB=6.9,∴AC=AB+BC=6.9+2.5=9.4 (m),答:新安装的照明路灯的灯杆的高度为9.4m．【点睛】此题主要考查了投影的应用，利用同一时刻影子与高度的关系得出比例式是解题关键．14．（2011·四川达州·中考模拟）已知：如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻，AB在阳光下的投影BC＝4m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影长时，同时测出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．【答案】（1）答案见解析；（2）7.5m【详解】解：（1）作法：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，则EF就是DE的投影．     （2）∵太阳光线是平行的，∴AC∥DF ．                                   ∴∠ACB=∠DFE．                          又∵∠ABC=∠DEF=90°，∴△ABC∽△DEF．                              ∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵AB=5m，BC=4m，EF=6m，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴DE=7.5(m) ．【点睛】本题难度中等，主要考查学生对投影问题与相似三角形相结合解决实际问题的能力．15．（2021·全国·九年级专题练习）某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长．（用图（2）解答）【答案】（1）树AB的高约为4 SKIPIF 1 < 0 m；（2）8 SKIPIF 1 < 0 m．【分析】（1）在直角△ABC中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函数即可求得AB的长；（2）在△AB1C1中，已知AB1的长，即AB的长，∠B1AC1=45°，∠B1C1A=30°．过B1作AC1的垂线，在直角△AB1N中根据三角函数求得AN，BN；再在直角△B1NC1中，根据三角函数求得NC1的长，再根据当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解．【详解】解：（1）AB=ACtan30°=12×  SKIPIF 1 < 0  =  SKIPIF 1 < 0 （米）．答：树高约为 SKIPIF 1 < 0  米．（2）如图（2），B1N=AN=AB1sin45°= SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0  = SKIPIF 1 < 0 （米）．NC1=NB1tan60°= SKIPIF 1 < 0  × SKIPIF 1 < 0  = SKIPIF 1 < 0  （米）．AC1=AN+NC1= SKIPIF 1 < 0  + SKIPIF 1 < 0  ．当树与地面成60°角时影长最大AC2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）AC2=2AB2= SKIPIF 1 < 0  ；16．（2015·江苏镇江·中考真题）某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；（2）求小明原来的速度．【答案】（1）作图见试题解析；（2）1.5m/s．【分析】（1）利用中心投影的定义作图；（2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=（4x﹣1.2）m，EG=3xm，BM=13.2﹣4x，由△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即代入解方程即可．【详解】解：（1）如图，（2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，EG=2×1.5x=3xm，BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x，∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB，∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得x=1.5，经检验x=1.5为方程的解，∴小明原来的速度为1.5m/s．答：小明原来的速度为1.5m/s．【点睛】本题考查相似三角形的应用以及中心投影，掌握中心投影的定义以及相似三角形的判定与性质是解题关键．17．（2015·甘肃兰州·中考真题）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．(1)该小组的同学在这里利用的是　 　投影的有关知识进行计算的；(2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．【答案】(1) 平行；(2)电线杆的高度为7米．【分析】（1）有太阳光是平行光线可得利用的是平行投影；（2）连接AM、CG，过点E作EN⊥AB于点N，过点G作GM⊥CD于点M，根据平行投影时同一时刻物体与他的影子成比例求出电线杆的高度．【详解】（1）平行；（2）连接AM、CG，过点E作EN⊥AB于点N，过点G作GM⊥CD于点M，则BN=EF=2,GH=MD=3，EN=BF=10，DH=MG=5所以AN=10-2=8，由平行投影可知：即解得CD=7所以电线杆的高度为7m．18．（2020·甘肃白银·二模）如图，一棵被大风吹折的大树在 SKIPIF 1 < 0 处断裂，树梢着地．经测量,折断部分 SKIPIF 1 < 0 与地面的夹角 SKIPIF 1 < 0 ,树干 SKIPIF 1 < 0 在某一时刻阳光下的影长 SKIPIF 1 < 0 米，而在同时刻身高 SKIPIF 1 < 0 米的人的影子长为 SKIPIF 1 < 0 米．求大树未折断前的高度(精确到 SKIPIF 1 < 0 米)． (参考数据： SKIPIF 1 < 0 )【答案】 SKIPIF 1 < 0 米【分析】利用比例式求得BC的长，然后在Rt△ACB中求得AB的长，两者相加即可得到铁塔的高度．【详解】解：依题意，得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 （米） SKIPIF 1 < 0 （米）答：大树未折断前的高度为 SKIPIF 1 < 0 米【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形并求解．19．（2019·台湾·中考真题）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为 SKIPIF 1 < 0 公分．敏敏观察到高度 SKIPIF 1 < 0 公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为 SKIPIF 1 < 0 公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：（1）若敏敏的身高为 SKIPIF 1 < 0 公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为 SKIPIF 1 < 0 公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．【答案】（1）敏敏的影长为 SKIPIF 1 < 0 公分；（2）高圆柱的高度为 SKIPIF 1 < 0 公分．【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ．分别求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长即可解决问题．【详解】解：（1）设敏敏的影长为 SKIPIF 1 < 0 公分．由题意： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （公分），经检验： SKIPIF 1 < 0 是分式方程的解．∴敏敏的影长为 SKIPIF 1 < 0 公分．（2）如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 公分，设 SKIPIF 1 < 0 公分，由题意 SKIPIF 1 < 0 落在地面上的影从为 SKIPIF 1 < 0 公分． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （公分）， SKIPIF 1 < 0 （公分），答：高圆柱的高度为 SKIPIF 1 < 0 公分．【点睛】本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（2021·江苏·南闸实验学校九年级阶段练习）如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m．(1)求灯杆AB的高度；(2)小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长．【答案】（1）6.4米；（2）不能完全落在地面上；墙上的影长为1米．【分析】（1）由相似三角形对应成比例即可求出AB的长．（2）假设全部在地上，设影长为x，同样求出影长x，而9+7+影长＞18．故有部分影子落在墙上．超过的影长，相当于墙上影长在地上的投影，设落在墙上的影长为y，则有y：6.4= SKIPIF 1 < 0 ：( SKIPIF 1 < 0 +18)，求出y的值即可．【详解】解：（1）∵AB∥CD，∴△CDF∽△ABF，∴CD：AB=DF：BF，∴1.6：AB=3：12，解得：AB=6.4．答：灯杆AB的高度为6.4米．（2）假设全部在地上，设影长为x，则CD：AB=DF：BF，∴1.6：6.4=x：(9+7+x)，解得：x= SKIPIF 1 < 0 ，而9+7+ SKIPIF 1 < 0 -18= SKIPIF 1 < 0 ＞0．故有部分影子落在墙上．因为超过的影长为 SKIPIF 1 < 0 ，相当于墙上影长在地上的投影，故设落在墙上的影长为y，则有y：6.4= SKIPIF 1 < 0 ：( SKIPIF 1 < 0 +18)，解得：y=1．故落在墙上的影子长为1米．