初中数学第二十九章 投影与视图综合与测试学案

投影与视图—知识讲解

【学习目标】

1.以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；
2.通过讨论简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化，经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力；
3.通过制作立体模型的学习，在实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识，在实践活动中培养实际操作能力.
 

【要点梳理】

要点一、平行投影
　　1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：
　　(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
　　　　　　　　
　　(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
　　2. 物高与影长的关系

（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.
　　（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
　　即：.
　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
要点诠释：
　　1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.
　　2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.
 

要点二、中心投影
　　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.
　　　　　　　　　　　　　
　　(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
要点诠释：
    光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
 

要点三、中心投影与平行投影的区别与联系
1.联系：
　　（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.
　　（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.

2.区别：
　　（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.
　　（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.
要点诠释：
　　在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.
 

要点四、正投影

　  正投影的定义：
　　　　　　　　　　　
　　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
　　(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示.
　　　　　　　　　　　　　
　　  ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；
　　  ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；
　　  ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.
　　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.
　　　　　　　　　　　　
　　  ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；
　　  ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.
　　  ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.
　　(3)立体图形的正投影.
　　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.
要点诠释：
　　(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.
　　(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影.
　　(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的.
 

要点五、三视图

1.三视图的概念
　　（1）视图
　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.
　　（2）正面、水平面和侧面
　　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.
　　（3）三视图
　　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.

2.三视图之间的关系

（1）位置关系
　　三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示.
　　　　　　　　　　　　　
　　（2）大小关系
　　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.
要点诠释：
　　物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.
要点六、画几何体的三视图

画图方法：
　　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
　　(1)确定主视图的位置，画出主视图；
　　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
　　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
　　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.
要点诠释：
　　画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.
 

要点七、由三视图想象几何体的形状
　　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.
要点诠释：
　　由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.

 

【典型例题】

类型一、投影的作图问题

1．如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明．

【答案与解析】

(1)如图所示．可在同一方向上画出与原长相等的影长，此时为平行投影．

(2)如图所示，可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点．相交于点P．此时为中心投影，P点即为光源位置．

【总结升华】连结物体顶点与其影长的顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到相交直线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本做法．但若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不可能同时与原长相等，所以点光源可以选在两树之间．特别提醒：易错认为只有平行投影才能使两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，从而漏掉上图这一情形．

举一反三：

【变式】与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花CD和一棵树AB．晚上，幕墙反射路灯，灯光形成那盆花的影子DF，树影BE是路灯灯光直接形成的，如图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗?

【答案】作法如下：

       ①连结FC并延长交玻璃幕墙于O点；

②过点O作直线OG垂直于玻璃幕墙面；

③在OC另一侧作∠POG＝∠FOG且交EA延长线于点P．

P点即此时路灯光源位置，如图所示．

类型二、投影的应用

2．如图所示，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC＝30m，由地面向上依次为第一层，第二层，…，第十层，每层高度为3 m，假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC＝h，太阳光线与水平线的夹角为α．

    (1)用含α的式子表示h(不必指出α的取值范围)；

    (2)当α＝30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层?若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光?

【答案与解析】

(1)过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示，

在Rt△BEF中，∠BEF＝α，BF＝(30－h)(米)，EF＝AC＝30(米)，

∴  ，∴  ，解得．

(2)当时，h＝30-30tan30°≈12.68(米)．

∵  每层楼的高度为3米，∴  12.68÷3≈4.23，故当时，

甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第五层．

当h＝0时，，，∴  ．∴  ．

∴  从此时起1小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．

【总结升华】(1)过E点作EF⊥AB，垂足为F，显然解Rt△BEF即可；(2)把α＝30°代入(1)中的结论即可求出h的值，从而得出所求的结论．要使甲楼的影子刚好不影响乙楼采光，即阳光刚好充分照进底楼，此时h＝0，从而计算α的度数，然后根据α每小时增加15°，即可求出时间．在解答与投影有关的问题时，常转化为解直角三角形或相似三角形进行求解．

类型三、由三视图描述物体的形状

3．在图中，根据下列主视图和俯视图(大致形状)，找出对应的物体．

【答案与解析】(1)D；(2)A；(3)B；(4)C

【总结升华】此类问题要求能正确描述基本几何体的三种视图与实物原形之间的相互转换过程，并在平面图形与几何体的相互转换中发展空间观念．

类型四、三视图的有关计算

4．某工厂要对一机器零件表面进行喷漆，设计者给出了该零件的三视图(如图所示)，请你根据三视图确定其喷漆的面积．

【答案与解析】

长方体的表面积为(30×40+40×25+25×30)×2＝5900(cm2)，

圆柱体的侧面积为3.14×20×32＝2010(cm2)，

其喷漆的面积为5900+2010＝7910(cm2)．

【总结升华】由该机械零件的三视图，可想象它是一个组合体，是由一个长方体和一个圆柱体组成．其表面积是一个长方体的六个面与圆柱体的侧面构成．(圆柱体的上表面补在长方体的上表面被圆柱体遮挡的部分).该组合体是由一长方体与一圆柱体组合而成，但不能认为组合体的表面积就是两几何体的表面积之和．

举一反三：

【高清课程名称：投影与视图    高清ID号： 398414

关联的位置名称（播放点名称）：课题学习】

【变式】某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如图所示)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积(单位：mm)．

【答案】由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(如图(1)所示)．

密封罐的高为50mm，底面正六边形的对角线为100mm，边长为50 mm，如图(2)所示．

由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为

S＝6×50×50+2×6××50×50×sin60°

＝6×50°×≈27990(mm2)．