湖北省武汉外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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考试时间:2024 年 11 月 14 日考试时长:120 分钟 试卷满分:150 分
一、单选题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题 目要求的.
1. 已知 是虚数单位，则复数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用复数的除法运算法则，再将结果化成的形式即可得答案.
【详解】,
故选：B
2. 已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解方程组求得交点坐标，由点到直线距离公式计算出距离．
【详解】由得，即，
所以点到直线 的距离为，
故选：A．
3. 在不超过 9 的质数中， 随机选取两个不同的数， 其和为偶数的概率为（ ）
A. B. C. D. 23
【答案】C
【解析】
【分析】用列举法写出所有可能，计数后计算概率．
【详解】不超过9的质数有共4个，任取两个求和有：，，，，，共6个，
其中和为偶数的有3个：，，，
和为偶数的概率为，
故选：C．
4. 已知椭圆的左､右焦点分别为上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的定义求出，再利用勾股定理得出的齐次式，进而可得出答案.
【详解】由题意，
在中，，
则AF22+AF12=F1F22，
即，
整理得，
所以的离心率.
故选：D.
5. 已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形外接圆半径求法求底面的外接圆半径，再由平面，根据线面垂直模型求外接球半径，进而求球体面积.
【详解】由题设，底面的外接圆半径，
又平面，且，则三棱锥的外接球半径，
所以外接球表面积为.
故选：B
6. 在平面直角坐标系中，已知点，， 为平面上一动点且满足， 当实数变化时，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用已知等式可求得点轨迹为圆，根据圆上点到定点最小值和二次函数最值的求法可求得结果.
【详解】设Mx,y，则，
整理可得：，
点轨迹是以C0,1为圆心，半径的圆，
，
当时，，
.
故选：B.
7. 在梯形 中，满足 ，则 （ ）
A. 4B. 6C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】由向量线性运算得，然后由计算．
【详解】∵，∴，
，
故选：C．
8. 已知为锐角三角形，且满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题设，应用边角关系及，得到关于的不等式组求解集，即可得答案.
【详解】因为，由正弦定理可得，
由题设，所以，即，
而，则，显然恒成立，
所以，可得.
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据题设得为关键.
二、多选题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知一组数据1，2，4，3，1，2，1，则这组数据中位数为 2
B. 已知五个数据5，5，10，10，20，则这组数据的分位数为10
C. 若，则事件与互为对立事件
D. 若事件相互独立，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用中位数、百分数定义分别求A、B中的中位数和百分数，由对立事件的定义及独立事件性质判断C及求概率判断D.
【详解】A：数据从小到大为，显然中位数为2，对；
B：由，则，错；
C：由且互斥时，互为对立事件，错；
D：由题设且也是相互独立，故，对.
故选：AD
10. 在棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点，为平面 上的一动点，则下列选项正确的是（ ）
A. 二面角 的平面角的正切值为 2
B. 三棱锥 体积为
C. 以点 为球心作一个半径为 的球，则该球被平面 所截的圆面的面积为
D. 线段 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】设交于点，证明是二面角的平面角，计算其正切判断A，由体积公式计算体积判断B，设交于点，证明平面，由球性质得为截面圆圆心求出半径后再计算圆面积判断C，作出点关于平面的对称点，建立空间直角坐标系，计算的长判断D．
【详解】如图，设交于点，
平面，平面，则，同理，
又，，平面，
所以平面，而平面，所以，
所以是二面角的平面角，
由已知，，
所以，A正确；
由正方体性质知，B错；
如图，设交于点，由且得，
即，，
由平面，平面，得，同理可得，
而，平面，所以平面，
（易得实际上等边是的中心）
以点为球心作一个半径为的球，则该球被平面所截的圆面，
为圆心，设是圆周上一点，则，
圆面积为，C正确；
延长至点，使得，则，即是关于平面的对称点，
因此，当且仅当是与平面的交点时，等号成立，
以为原点， 轴建立空间直角坐标系，如上图，
则，，，∴，
，D正确．
故选：ACD．
11. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，圆，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（ ）
A. 若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是
B. 若，则的最大值为4
C. 若存在点P使得，则
D. 若存在点Q使得，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A根据已知，数形结合得时椭圆C和圆M没有交点，进而求离心率范围；B令，求得，结合椭圆有界性得，即可判断；C由题设，令，进而得到，结合点在椭圆上得到公共解求范围；D将问题化为圆心为，半径为的圆与圆有交点.
【详解】由椭圆中，圆中圆心，半径为1，如下图示，
A：由于，由图知：当时椭圆C和圆M没有交点，
此时离心率，对；
B：当时，令，则，而，
所以，又，故，
所以的最大值为，错；
C：由，若，则，
由，令，且，
则，即，
所以，则，且，故，对；
D：令，若，所以，
则，所以，
轨迹是圆心为，半径为的圆，
而与的距离为，要使点Q存在，
则，可得，且，即，对；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：对于C，根据已知得到，设，利用两点距离公式得到方程组，求出公共解为关键；对于D，问题化为圆心为，半径为的圆与圆有交点为关键.
三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12. 已知椭圆 ，过右焦点的直线交 于 两点，则 的最小值为_____.
【答案】3
【解析】
【分析】过焦点的弦长最短的是通径，通径为．
【详解】由已知，，通径长为，
则 AB 的最小值．
故答案为：3.
13. 设向量 满足 ，则 最大值等于_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的坐标表示列式，再利用圆的性质求出最大值.
【详解】依题意，，在平面直角坐标系中，令，设，
则，由，得，
整理得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
是该圆上的点到原点的距离，又原点在该圆上，
所以的最大值等于.
故答案为：
14. 已知球的表面积为，正四面体的顶点均在球的表面上，球心为的外心，棱AB与球面交于点.若平面平面平面平面 且与之间的距离为同一定值，棱分别与交于点，则的值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】结合球的表面积公式，根据正三角形外接圆的性质求得边长，利用三点共线及数量积的运算律求得，然后利用平行平面的性质求得，再利用余弦定理求得，应用余弦定理即可求结果.
【详解】设和之间距离为，球的半径为，
由题意，解得，所以，
则，所以，
由共线，则存在实数使且，
所以，
即，整理得，可得，
所以，即，所以，
又且与之间的距离为，
则，故，
所以，且，
在中，.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：关键是找到点的位置，应用正四面体的性质结合球的半径，求出边长，利用平行平面的距离，得到的边长.
四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知双曲线 的实轴长为 4，离心率等于 2 .
（1）求双曲线的方程；
（2）已知定点 ，若双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
【答案】（1）
（2）9
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程；
（2）首先利用双曲线的定义，结合数形结合，求距离和的最小值.
【小问1详解】
由条件可知，，，得，，
所以双曲线方程为：；
【小问2详解】
∵是双曲线的左焦点，
∴，，，，
设双曲线的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，

当且仅当三点共线时，等号成立，
因此，的最小值为9
16. 已知点 ，直线 .
（1）求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程；
（2）光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可；
（2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程.
【小问1详解】
因为直线与直线平行，直线的方程为，
故可设直线的方程为，
因为点在直线上，
所以，
所以，
所以直线的方程为
【小问2详解】
设点关于直线的对称点为．
由题意得，
解得，所以点的坐标为，
所以反射光线所在直线斜率为，
直线方程为．
17. 已知满足圆的方程.
（1）求的取值范围；
（2）若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）将问题化为直线与圆有公共点，应用点线距离公式求范围；
（2）设坐标分别为x1,y1，x2,y2，联立直线与圆，应用判别式、韦达定理及求参数k范围.
【小问1详解】
由，即，
设直线，即该直线与圆有公共点，
圆心到直线的距离小于等于半径，即，
解得，则．
【小问2详解】
设的坐标分别为x1,y1，x2,y2，
将直线代入，整理，得，
则，，且，即，
当为锐角时，
，解得，又，
综上，可得的取值范围为．
18. 如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点.
（1）求证: 平面 ；
（2）若四面体的体积为 ，求；
（3）若 ，求直线 AD 与平面 所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
分析】（1）证明，可证线面垂直；
（2）由已知四面体体积求得体积，再由体积公式可得；
（3）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．
【小问1详解】
.的中点为，则.
.
，则，
故，即.
因为，，平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为，所以.
而，
所以，解得：.
【小问3详解】
过作轴垂直平面，以方向分别为
则，
，
设平面法向量为
由得，
所以为平面的一个法向量，
设与平面所成角为，


所以
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，短轴长为，且经过点.过左焦点 的直线交于两点，过点与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明:直线过定点，并求定点坐标；
（3）设为直线与直线BD的交点，求面积的最小值.
【答案】（1）；
（2）证明见解析，定点；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据短轴长及椭圆上点求椭圆参数，即可得方程；
（2）设直线，联立椭圆并应用韦达定理求中点坐标，利用垂直关系确定坐标，进而写出直线的方程，即得定点；
（3）由，结合（2）及弦长公式求关于m表达式，最后应用基本不等式求面积的最值.
【小问1详解】
由题设，，可得，故.
【小问2详解】
由点B，D在x轴上方，直线l斜率存在且不为0，
设直线，联立椭圆，消去得，
由韦达定理得，且，
则中点，由，则代替m，得，
所以，故，
化简得，则过定点．
当时，取，，则过定点；
当时，取，，则过定点；
综上，直线MN过定点．
【小问3详解】
由点M，N分别为AB，DE的中点，
由
，
由（2）知，
以代替m，得，
所以，
当且仅当，即时，．
【点睛】关键点点睛：第三问，数形结合得到为关键.