湖北省武汉市常青联合体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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命题学校：武汉市第十七中学 命题教师：黄冲 审题教师：杨昌环
考试时间：2024年11月14日8:00-10:00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法．十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．下图是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（ ）

A. B. C. D.
4. 设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ）
A. B. C. 1D.
5. 设A，B为随机事件，则的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
6. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
A B. C. D.
7. 椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 直线过点，且与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ）
A 5B. 8C. 9D. 10
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知直线：和直线：，下列说法正确是（ ）
A. 始终过定点B. 若，则或
C. 若，则或2D. 当时，始终不过第三象限
10. 已知F为椭圆的一个焦点，A，B为该椭圆的两个顶点，若，则满足条件的椭圆方程为（ ）
A. B.
C. D.
11. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 直线与所成角余弦值为
C. 三棱锥的体积为
D. 存在实数使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的方程为__________.
13. 王先生忘记了自己电脑的密码，但记得密码是由两个3，一个6和一个9组成的四位数，于是他用这四个数字随意排成一个四位数输入电脑，则其能一次就打开电脑的概率是________．
14. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为．”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆的离心率为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的方程．
16. 垃圾分类（Garbage classificatin），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为p，小亮每轮答对的概率为且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知一轮活动中，“明亮队”至少答对1道题概率为．
（1）求p的值；
（2）求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率．
17. 如图，在四棱锥中，， ，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）点Q在棱上，与平面所成角正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为，且经过点．
（1）求的方程；
（2）若直线与相交于不同于的，两点，的中点为，当时，
①求证：为直角．
②求的值．
19. 在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，
（1）设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值；
（2）记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值；
（3）记集合T中所有点构成的几何体为W．求W的体积的值．