湖北省武汉外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

武汉外国语学校 2024-2025 学年度上学期期中考试 高二数学试卷命题教师:刘小博 审题教师:张德涛考试时间:2024 年 11 月 14 日考试时长:120 分钟 试卷满分:150 分一、单选题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题 目要求的.1. 已知 是虚数单位，则复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用复数的除法运算法则，再将结果化成的形式即可得答案.【详解】,故选：B2. 已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解方程组求得交点坐标，由点到直线距离公式计算出距离．【详解】由得，即，所以点到直线 的距离为，故选：A．3. 在不超过 9 的质数中， 随机选取两个不同的数， 其和为偶数的概率为（ ）A. B. C. D. 23【答案】C【解析】【分析】用列举法写出所有可能，计数后计算概率．【详解】不超过9的质数有共4个，任取两个求和有：，，，，，共6个，其中和为偶数的有3个：，，，和为偶数的概率为，故选：C．4. 已知椭圆的左､右焦点分别为上一点满足，且，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的定义求出，再利用勾股定理得出的齐次式，进而可得出答案.【详解】由题意，在中，，则AF22+AF12=F1F22，即，整理得，所以的离心率.故选：D.5. 已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角形外接圆半径求法求底面的外接圆半径，再由平面，根据线面垂直模型求外接球半径，进而求球体面积.【详解】由题设，底面的外接圆半径，又平面，且，则三棱锥的外接球半径，所以外接球表面积为.故选：B6. 在平面直角坐标系中，已知点，， 为平面上一动点且满足， 当实数变化时，的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用已知等式可求得点轨迹为圆，根据圆上点到定点最小值和二次函数最值的求法可求得结果.【详解】设Mx,y，则，整理可得：，点轨迹是以C0,1为圆心，半径的圆，，当时，，.故选：B.7. 在梯形 中，满足 ，则 （ ）A. 4 B. 6 C. 10 D. 12【答案】C【解析】【分析】由向量线性运算得，然后由计算．【详解】∵，∴，，故选：C．8. 已知为锐角三角形，且满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题设，应用边角关系及，得到关于的不等式组求解集，即可得答案.【详解】因为，由正弦定理可得，由题设，所以，即，而，则，显然恒成立，所以，可得.故选：B【点睛】关键点点睛：根据题设得为关键.二、多选题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.9. 下列说法正确的是（ ）A. 已知一组数据1，2，4，3，1，2，1，则这组数据中位数为 2B. 已知五个数据5，5，10，10，20，则这组数据的分位数为10C. 若，则事件与互为对立事件D. 若事件相互独立，，则【答案】AD【解析】【分析】利用中位数、百分数定义分别求A、B中的中位数和百分数，由对立事件的定义及独立事件性质判断C及求概率判断D.【详解】A：数据从小到大为，显然中位数为2，对；B：由，则，错；C：由且互斥时，互为对立事件，错；D：由题设且也是相互独立，故，对.故选：AD10. 在棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点，为平面 上的一动点，则下列选项正确的是（ ）A. 二面角 的平面角的正切值为 2B. 三棱锥 体积为 C. 以点 为球心作一个半径为 的球，则该球被平面 所截的圆面的面积为 D. 线段 的最小值为 【答案】ACD【解析】【分析】设交于点，证明是二面角的平面角，计算其正切判断A，由体积公式计算体积判断B，设交于点，证明平面，由球性质得为截面圆圆心求出半径后再计算圆面积判断C，作出点关于平面的对称点，建立空间直角坐标系，计算的长判断D．【详解】如图，设交于点，平面，平面，则，同理，又，，平面，所以平面，而平面，所以，所以是二面角的平面角，由已知，，所以，A正确；由正方体性质知，B错；如图，设交于点，由且得，即，，由平面，平面，得，同理可得，而，平面，所以平面，（易得实际上等边是的中心）以点为球心作一个半径为的球，则该球被平面所截的圆面，为圆心，设是圆周上一点，则，圆面积为，C正确；延长至点，使得，则，即是关于平面的对称点，因此，当且仅当是与平面的交点时，等号成立，以为原点，o 轴建立空间直角坐标系，如上图，则，，，∴，，D正确．故选：ACD．11. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，圆，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（ ）A. 若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是B. 若，则的最大值为4C. 若存在点P使得，则D. 若存在点Q使得，则【答案】ACD【解析】【分析】A根据已知，数形结合得时椭圆C和圆M没有交点，进而求离心率范围；B令，求得，结合椭圆有界性得，即可判断；C由题设，令，进而得到，结合点在椭圆上得到公共解求范围；D将问题化为圆心为，半径为的圆与圆有交点.【详解】由椭圆中，圆中圆心，半径为1，如下图示，A：由于，由图知：当时椭圆C和圆M没有交点，此时离心率，对；B：当时，令，则，而，所以，又，故，所以的最大值为，错；C：由，若，则，由，令，且，则，即，所以，则，且，故，对；D：令，若，所以，则，所以，轨迹是圆心为，半径为的圆，而与的距离为，要使点Q存在，则，可得，且，即，对；故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C，根据已知得到，设，利用两点距离公式得到方程组，求出公共解为关键；对于D，问题化为圆心为，半径为的圆与圆有交点为关键.三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.12. 已知椭圆 ，过右焦点的直线交 于 两点，则 的最小值为_____.【答案】3【解析】【分析】过焦点的弦长最短的是通径，通径为．【详解】由已知，，通径长为，则 AB 的最小值．故答案为：3.13. 设向量 满足 ，则 最大值等于_____.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的坐标表示列式，再利用圆的性质求出最大值.【详解】依题意，，在平面直角坐标系中，令，设，则，由，得，整理得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，是该圆上的点到原点的距离，又原点在该圆上，所以的最大值等于.故答案为：14. 已知球的表面积为，正四面体的顶点均在球的表面上，球心为的外心，棱AB与球面交于点.若平面平面平面平面 且与之间的距离为同一定值，棱分别与交于点，则的值为_____.【答案】【解析】【分析】结合球的表面积公式，根据正三角形外接圆的性质求得边长，利用三点共线及数量积的运算律求得，然后利用平行平面的性质求得，再利用余弦定理求得，应用余弦定理即可求结果.【详解】设和之间距离为，球的半径为，由题意，解得，所以，则，所以，由共线，则存在实数使且，所以，即，整理得，可得，所以，即，所以，又且与之间的距离为，则，故，所以，且，在中，.故答案为：【点睛】关键点点睛：关键是找到点的位置，应用正四面体的性质结合球的半径，求出边长，利用平行平面的距离，得到的边长.四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知双曲线 的实轴长为 4，离心率等于 2 .（1）求双曲线的方程；（2）已知定点 ，若双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值.【答案】（1） （2）9【解析】【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程；（2）首先利用双曲线的定义，结合数形结合，求距离和的最小值.【小问1详解】由条件可知，，，得，，所以双曲线方程为：；【小问2详解】∵是双曲线的左焦点，∴，，，， 设双曲线的右焦点为，则，由双曲线的定义可得，则， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立，因此，的最小值为916. 已知点 ，直线 .（1）求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程；（2）光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可；（2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程.【小问1详解】因为直线与直线平行，直线的方程为，故可设直线的方程为，因为点在直线上，所以，所以，所以直线的方程为【小问2详解】设点关于直线的对称点为．由题意得，解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为．17. 已知满足圆的方程.（1）求的取值范围；（2）若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）将问题化为直线与圆有公共点，应用点线距离公式求范围；（2）设坐标分别为x1,y1，x2,y2，联立直线与圆，应用判别式、韦达定理及求参数k范围.【小问1详解】由，即，设直线，即该直线与圆有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，即，解得，则．【小问2详解】设的坐标分别为x1,y1，x2,y2，将直线代入，整理，得，则，，且，即，当为锐角时，，解得，又，综上，可得的取值范围为．18. 如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点.（1）求证: 平面 ；（2）若四面体的体积为 ，求；（3）若 ，求直线 AD 与平面 所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】分析】（1）证明，可证线面垂直；（2）由已知四面体体积求得体积，再由体积公式可得；（3）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．【小问1详解】.的中点为，则..，则，故，即.因为，，平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为，所以.而，所以，解得：.【小问3详解】过作轴垂直平面，以方向分别为则，，设平面法向量为由得，所以为平面的一个法向量，设与平面所成角为， 所以所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，短轴长为，且经过点.过左焦点 的直线交于两点，过点与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）证明:直线过定点，并求定点坐标；（3）设为直线与直线BD的交点，求面积的最小值.【答案】（1）； （2）证明见解析，定点； （3）.【解析】【分析】（1）根据短轴长及椭圆上点求椭圆参数，即可得方程；（2）设直线，联立椭圆并应用韦达定理求中点坐标，利用垂直关系确定坐标，进而写出直线的方程，即得定点；（3）由，结合（2）及弦长公式求关于m表达式，最后应用基本不等式求面积的最值.【小问1详解】由题设，，可得，故.【小问2详解】由点B，D在x轴上方，直线l斜率存在且不为0，设直线，联立椭圆，消去得，由韦达定理得，且，则中点，由，则代替m，得， 所以，故，化简得，则过定点．当时，取，，则过定点；当时，取，，则过定点；综上，直线MN过定点．【小问3详解】由点M，N分别为AB，DE的中点，由， 由（2）知，以代替m，得，所以，当且仅当，即时，．【点睛】关键点点睛：第三问，数形结合得到为关键.