湖北省武汉市外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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命题教师：田玉 审题教师：赵永志
考试时间：2024年10月9日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线，直线，且，则（ ）
A. 1B. C. 4D.
2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上的对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 四棱柱的底面ABCD是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（ ）
A. B. C. 3D.
4. 已知四边形内接于圆，且满足，，，则圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
5. 一条经过点的入射光线的斜率为，若入射光线经轴反射后与轴交于点，为坐标原点，则的面积为（ ）
A 16B. 12C. 8D. 6
6. 如图，在棱长均为的直三棱柱中，是的中点，过、、三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点所在部分的体积为（ ）

A. B. C. D.
7. A、B两位同学各有2张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止，那么恰好掷完6次硬币时游戏终止的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在三棱锥中，，点在平面内，过作于，当与面所成最大角的正弦值是时，与平面所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100人中随机抽取10人，每个人被抽到的可能性不相等
B. 一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色的围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为300颗
C. 一组数据53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，.已知这组数据的极差为40，则这组数据的第百分位数为79
D. 数据，，的方差为，则，，的平均数为7
10. 已知集合直线，其中是正常数，，下列结论中正确的是（ ）
A. 当时，中直线的斜率为
B. 中所有直线均经过同一个定点
C. 当时，中两条平行线间的距离的最小值为
D. 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
11. 如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥的四个面都是直角三角形
B. 三棱锥的体积最大值为
C. 异面直线与的距离是定值
D. 当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的一般方程为__________．
13. 中，，，对应的边为，，，边上的高长为，则的取值范围为___________.
14. 若二次函数在区间上存在零点，则的最小值为___________.
四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知三个顶点为，，.
（1）求边上高AD的直线方程；
（2）求过点B且与A、C距离相等的直线方程.
16. 在三棱柱中，已知，，点在底面投影是线段的中点.
（1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）若，，求边上的角平分线长；
（2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.
18. （1）甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币.甲抛掷次，乙抛掷次，，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率.
（2）某单位进行招聘面试，已知参加面试的50名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为10.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场.若B，C两所学校参加面试的学生人数比为1：3，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率.
19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.
（1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的一个方向向量；
（2）已知集合，，
，记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合中所有点构成的几何体为.
（ⅰ）求和的值；
（ⅱ）求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值.