湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附答案）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则
A．B．C．D．
2．函数定义在上的可导函数，若，则
A．2B．3C．D．
3．函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知椭圆的离心率为，则
A．B．C．D．1
5．张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则
A．B．C．D．
6．已知等差数列公差不为零，为其前项和，若，下列说法正确的是
A． B．C．成等比数列
D．中数值不同的有995个
7．已知，函数．若依次成等比数列，则平面上的点的轨迹是
A．直线和焦点在轴的椭圆B．直线和焦点在轴的椭圆
C．直线和焦点在轴的双曲线D．直线和焦点在轴的双曲线
8．斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为
A． B．2 C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是
A． B． C．当时，取得最小值 D．
10．设点，若直线关于对称的直线与圆没有公共点，则的值可以为
A．0 B． C． D．
11．已知抛物线焦点为，经过点的直线与交于两点，且抛物线在两点处的切线交于点，为中点，则
A．抛物线方程为
B．点在直线上
C．轴
D．
12．已知正方体的棱长为2，M是棱的中点．P是正方体表面上的动点(如图)，则下列说法正确的是
A．若平面，则动点P的轨迹长度为
B．若，则动点P的轨迹长度为
C．若，则动点P的轨迹为双曲线的一部分
D．以的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥体积的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，则函数在处的切线方程为 ．
14．已知动点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，则的轨迹方程为____________．
15．已知数列中，，，，则____________．
16．已知圆的方程为，是圆上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的范围为_____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等比数列满足：，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列，求数列的前项和．
18．（12分）在锐角中，内角所对边分别为，．
（1）求角；
（2）若，求面积的取值范围．
19．（12分）设数列的前项和为，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）已知数列，求数列的前项和．
20．（12分）在三棱柱中，，点为中点．
（1）求的长；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，右顶点为，设点为坐标原点，点为椭圆上异于左右顶点的动点，的面积最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线交轴于，其中，直线交椭圆于另一点，直线分别交直线于点和，是否存在实数使得四点共圆，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知点在抛物线的准线上，过点作直线与抛物线交于两点，斜率为2的直线与抛物线交于两点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2） ① 求证：直线过定点；
② 若的面积为，且满足，求直线斜率的取值范围．